108 身心障礙特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考「內鉸剛性構架」的平面靜力平衡。內鉸 $B$ 可以傳遞水平力與垂直力，但不能傳遞彎矩，因此可在 $B$ 處把構架分成左右兩個自由體，分別列寫平衡方程式。

取向右、向上及逆時針為正。依圖中尺寸，$A$ 到 $B$ 的水平距離為 $L$，$B$ 比 $A$ 高 $L$；$B$ 到下方轉折處的垂直距離為 $2L$，轉折處到 $C$ 的水平距離為 $3L$。

解題方法

令 $B_x、B_y$ 為內鉸作用於左側構件的水平、垂直分力；作用於右側構件的內鉸力則為 $-B_x、-B_y$。

一、左側構件平衡

左側構件受 $A_x、A_y$、內鉸力 $B_x、B_y$，以及圖示的水平向右 $P$ 與鉸點 $B$ 處向下 $P$。

取 $A$ 點力矩，水平力 $P$ 的力臂為 $L$，鉸點向下的力 $P$ 對 $A$ 的力矩也是順時針：

因此：

再列水平、垂直力平衡：

二、右側構件平衡

右側構件受內鉸反力 $-B_x、-B_y$、支承反力 $C_x、C_y$，以及下方轉折處水平向右的力 $P$。

取下方轉折處力矩。$B$ 與轉折處垂直距離為 $2L$，轉折處到 $C$ 的水平距離為 $3L$：

核心觀念

桁架各桿均為二力構件，桿力沿桿件軸線作用。以下以張力為正、壓力為負，並對各節點列寫 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。圖中斜桿均為 $45^\circ$，其水平、垂直分力大小皆為桿力的 $1/\sqrt{2}$ 倍。

解題方法

先由整體平衡求垂直反力，再從頂點 $D$ 開始，以節點法求出 $a$、$b$、$c$ 桿力；最後用 $A$ 點平衡求水平反力。

以 $A$ 點取矩，$AC=4L$，載重 $4P$ 作用於 $A$ 右方 $2L$ 處：

再由垂直力平衡：

在 $D$ 點，兩條對稱斜桿與水平夾角均為 $45^\circ$，垂直分力共同平衡向下的 $4P$：

兩桿對 $D$ 點提供向上的分力，故均受壓，因此

在 $B$ 點，兩條對稱斜桿的垂直分力方向相同，且沒有外力；因此兩桿桿力必為零，特別是題目所問的 $b$ 桿：

接著令左側外斜桿（從高度 $L$ 的左端節點連至高度 $2L$ 的左上節點）桿力為 $T_o$，左側下斜桿（從 $A$ 連至高度 $L$、水平距離 $L$ 的節點）桿力為 $T_d$。在 $A$ 左上方、連接 $c$ 桿與外斜桿的節點列水平平衡，可得：

核心觀念

本題考材料平面應力狀態下的強度判斷。圖中正向箭頭表示拉應力，故固定應力為 $\sigma_y=80\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\tau_{xy}=60\ \mathrm{kgf/cm^2}$；$\sigma_x$ 初值為 $120\ \mathrm{kgf/cm^2}$，且逐漸增加。

以莫耳圓判斷：

• 最大主應力不得超過拉力強度 $320\ \mathrm{kgf/cm^2}$。
• 最大剪應力不得超過剪力強度 $120\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

莫耳圓半徑同時是材料內的最大剪應力：

解題方法

先求剪力強度所對應的 $\sigma_x$：

因為 $\sigma_x$ 從 $120$ 開始增加，取大於 $80$ 的解：

核心觀念

本題使用桁架各接點的平衡條件：每一接點均須滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。桿件以拉力為正；計算值為負表示受壓。圖中斜桿的水平、垂直投影為 $4\,\text{m}$、$3\,\text{m}$，因此其方向比為 $4:3:5$，分力係數為 $4/5$、$3/5$。

解題方法

先對整體取平衡，再由左側接點推得 $a$、$b$ 桿內力，最後求右側的 $c$ 桿。

1. 求支承反力與桿件 $b$ 的關係

水平外力為零，且 A、C 為滾支承，因此整體的水平平衡給出 $B$ 點水平反力 $B_x=0$。

設 $d$ 為低處節點至 B 點的斜桿內力，拉力為正。在 B 點，該斜桿的水平分力為 $(4/5)d$；由 $\sum F_x=0$ 得 $d=0$。

左上端接點只有兩根不共線桿件，兩桿內力皆為零。在 A 點以 $\sum F_y=0$、$\sum F_x=0$ 可得斜桿內力為 $-5R_A/3$，水平桿內力為 $4R_A/3$。再看受力點下方的低處接點，列水平、垂直平衡可得：

$d=\frac{5}{3}R_A-\frac{5}{6}P$

代入 $d=0$：

$R_A=\frac{P}{2}$

2. 求支承反力 $R_C$

以 B 點取整體力矩，逆時針為正。A、C 支承反力對 B 點的力矩分別為 $-8R_A$、$+8R_C$；荷重 $P$ 的力矩為 $+4P$：

$-8R_A+8R_C+4P=0$

代入 $R_A=P/2$，得：

$R_C=0$

3. 求 $a$、$b$ 桿內力