112 身心障礙特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

112 年・身心障礙特考・四等・土木工程
試題代碼 工程力學概要

第 一 題25 分

有一平面桁架如下圖所示。此桁架於 AA 點為鉸支撐，於 GG 點及 HH 點為滾支撐，且於 CC 點受一向下之集中力 2P2P。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試求：

  1. AA 點、GG 點及 HH 點之反力，請註明反力之方向。
  2. 各桿件之內力，請註明壓力或張力。
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核心觀念

本題以節點法求桁架反力與各桿件軸力。桁架各節點受力平衡，且桿件皆為二力構件，內力沿桿件軸線作用。計算時先假設各桿件受拉，若結果為負值，表示該桿件實際受壓。

取向上反力為正，令 AA 點反力為 Ax,AyA_x,A_y，G,HG,H 點反力分別為 RG,RHR_G,R_H。圖中各相鄰水平跨距及各上弦節點高度均為 LL，斜桿與水平線夾角為 45∘45^\circ。

解題方法與推導

1. 先找零力桿件，並由右側節點求解

DD 點沒有外力，且只連接互不共線的 DEDE、DFDF 兩桿，因此：

NDE=NDF=0N_{DE}=N_{DF}=0

在 HH 點，設 FHFH、GHGH 桿件軸力以拉力為正。由節點平衡：

∑Fy=0:RH+NFH2=0⇒NFH=−2RH\sum F_y=0:\quad R_H+\frac{N_{FH}}{\sqrt2}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{FH}=-\sqrt2R_H ∑Fx=0:−NGH−NFH2=0⇒NGH=RH\sum F_x=0:\quad -N_{GH}-\frac{N_{FH}}{\sqrt2}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{GH}=R_H

在 FF 點，由水平、垂直方向平衡，並代入 NDF=0N_{DF}=0：

NEF=NFH=−2RH,NFG=2RHN_{EF}=N_{FH}=-\sqrt2R_H,\qquad N_{FG}=2R_H

在 GG 點，水平桿件的平衡給出：

NEG=NGH=RHN_{EG}=N_{GH}=R_H

2. 由 E,C,BE,C,B 點求出 RHR_H

在 EE 點，依桿件方向分解，可得：

NBE=2RH,NCE=−RHN_{BE}=\sqrt2R_H,\qquad N_{CE}=-R_H

在 CC 點，外力向下為 2P2P：

∑Fy=0:NBC−2P=0⇒NBC=2P\sum F_y=0:\quad N_{BC}-2P=0 \quad\Rightarrow\quad N_{BC}=2P ∑Fx=0:−NAC+NCE=0⇒NAC=NCE=−RH\sum F_x=0:\quad -N_{AC}+N_{CE}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AC}=N_{CE}=-R_H

在 BB 點，水平平衡得 NAB=NBEN_{AB}=N_{BE}；垂直平衡則為：

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第 二 題25 分

有一中空梁斷面，尺寸如下圖所示。試求 aa 及 bb 之長度，以確定斷面形心 OO 之位置；並求此斷面對 yy 軸及 zz 軸之慣性矩 IyI_y、IzI_z，以及慣性矩乘積 IyzI_{yz}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中尺寸單位為公尺。

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核心觀念

本題考複合截面的形心與慣性矩。先把截面分成矩形，利用面積加權平均求形心，再用平行軸定理求形心軸的慣性矩：

yˉ=∑Aiyi∑Ai,Iy=∑(Iy,i,c+Aizi2),Iz=∑(Iz,i,c+Aiyi2).\bar y=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}, \qquad I_y=\sum\left(I_{y,i,c}+A_i z_i^2\right), \qquad I_z=\sum\left(I_{z,i,c}+A_i y_i^2\right).

圖中截面左右對稱，因此形心在水平中央，且對稱軸兩側的慣性積互相抵銷，故 Iyz=0I_{yz}=0。

解題方法

將截面分成上翼板、下翼板及左右兩支腹板。依圖示尺寸，上翼板為 10×110\times1、下翼板為 8×18\times1，每支腹板為 1×21\times2，總面積為

A=10(1)+8(1)+2(1)(2)=22 m2.A=10(1)+8(1)+2(1)(2)=22\ \text{m}^2.

以截面頂面為垂直座標起點，各矩形形心位置如下：

部分面積 AiA_i形心距頂面 yiy_i
上翼板10100.50.5
下翼板883.53.5
左、右腹板合計4422

因此形心距頂面的距離為

a=yˉ=10(0.5)+8(3.5)+4(2)22=4122≈1.864 m.a=\bar y =\frac{10(0.5)+8(3.5)+4(2)}{22} =\frac{41}{22} \approx1.864\ \text{m}.

截面左右對稱，總寬為 1010 m，形心垂直軸位於寬度中央，所以

b=102=5 m.b=\frac{10}{2}=5\ \text{m}.

求 IyI_y 時，取形心垂直軸為基準。上、下翼板的形心均在此軸上；腹板形心距軸 1.51.5 m。故

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第 三 題25 分

有一尺寸為 a×aa\times a 之板如下圖所示，a=1 ma=1\ \mathrm{m}，板厚為 0.1 m0.1\ \mathrm{m}。此板於 xx 方向受到拉力 PP，於 yy 方向受到拉力 P/2P/2。

板之彈性係數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，柏松比 ν=0.3\nu=0.3。如板在 xx 方向之伸長量 δx=0.425 mm\delta_x=0.425\ \mathrm{mm}，試求：

  1. PP 力之大小。
  2. 板之正向應力 σx\sigma_x 及 σy\sigma_y。
  3. 板在 yy 方向之伸長量 δy\delta_y。
  4. 板在 xyxy 面之最大剪應力 (τxy)max⁡(\tau_{xy})_{\max}。
  5. 板在 xyxy 面之最大剪應變 (γxy)max⁡(\gamma_{xy})_{\max}。

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核心觀念

此題考查薄板的平面應力狀態與廣義虎克定律。板厚方向沒有外力，故取 σz=0\sigma_z=0；圖中也沒有剪力，因此 τxy=0\tau_{xy}=0，xx、yy 方向即為主應力方向。

板邊受力面積為 atat，所以正向應力由「拉力除以受力面積」求得。平面應力下的正向應變為

εx=σx−νσyE,εy=σy−νσxE.\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}, \qquad \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}.

解題方法

板的尺寸與厚度為

a=1 m,t=0.1 m,A=at=0.1 m2.a=1\ \mathrm{m},\qquad t=0.1\ \mathrm{m}, \qquad A=at=0.1\ \mathrm{m^2}.

xx 方向伸長量為 0.425 mm0.425\ \mathrm{mm}，故

εx=δxa=0.425×10−31=0.000425.\varepsilon_x=\frac{\delta_x}{a} =\frac{0.425\times10^{-3}}{1} =0.000425.

由圖中拉力大小，xx 方向拉力為 PP，yy 方向拉力為 P/2P/2，因此

σy=P/2at=12σx.\sigma_y=\frac{P/2}{at}=\frac{1}{2}\sigma_x.

代入平面應力的廣義虎克定律：

0.000425=σx−0.3(0.5σx)200×109=0.85σx200×109.0.000425 =\frac{\sigma_x-0.3(0.5\sigma_x)}{200\times10^9} =\frac{0.85\sigma_x}{200\times10^9}.

因此

σx=100 MPa,σy=50 MPa.\sigma_x=100\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_y=50\ \mathrm{MPa}.

由 σx=P/(at)\sigma_x=P/(at)，得到

P=σxat=(100×106)(0.1)=10×106 N=10 MN.P=\sigma_xat =(100\times10^6)(0.1) =10\times10^6\ \mathrm{N} =10\ \mathrm{MN}.

yy 方向應變與伸長量為

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第 四 題25 分

有一 ABCDEABCDE 梁於 BB 點鉸支撐，EE 點滾支撐。此梁於 ACAC 間受到 qq 之均佈載重，DD 點受到 PP 之集中載重。

已知 q=4 N/mq=4\ \mathrm{N/m}、P=10 NP=10\ \mathrm{N}、L=2 mL=2\ \mathrm{m}，試求：

  1. BB、EE 點之反力。
  2. 繪製此梁之剪力圖及彎矩圖。

梁各點間距離如下圖所示：AB=2LAB=2L、BC=LBC=L、CD=1.5LCD=1.5L、DE=1.5LDE=1.5L。

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核心觀念

本題考查有懸臂段的簡支梁靜力平衡，以及剪力圖、彎矩圖的繪製。

  • 支承反力由整梁的平衡方程 ∑Fy=0\sum F_y=0、∑M=0\sum M=0 求得。
  • 均佈載重 qq 可等效為作用在載重區段中點的合力，大小為 qℓq\ell。
  • 在向下分布載重區段，剪力隨位置線性變化，彎矩呈二次曲線；沒有分布載重的區段，剪力為常數，彎矩呈直線。
  • 以下採用剪力正值使彎矩沿梁向右增加、正彎矩為下凹（正彎矩）之慣例。

解題方法

以 AA 點為座標原點，依圖可得：

A=0,B=2L=4 m,C=3L=6 m,D=4.5L=9 m,E=6L=12 m.A=0,\quad B=2L=4\text{ m},\quad C=3L=6\text{ m}, \quad D=4.5L=9\text{ m},\quad E=6L=12\text{ m}.

均佈載重作用於 ACAC，長度為 6 m6\text{ m}，其合力為

Wq=q(AC)=4(6)=24 N,W_q=q(AC)=4(6)=24\text{ N},

作用位置在 ACAC 中點，也就是距 AA 點 3 m3\text{ m}。

1. 求支承反力

設 BB 點反力為 RBR_B，EE 點反力為 RER_E。取逆時針為正，以 BB 點取矩：

∑MB=0:24(4−3)−10(9−4)+RE(12−4)=0.\sum M_B=0: \quad 24(4-3)-10(9-4)+R_E(12-4)=0.

因此

24−50+8RE=0⟹RE=3.25 N.24-50+8R_E=0 \quad\Longrightarrow\quad R_E=3.25\text{ N}.

再由垂直力平衡：

∑Fy=0:RB+RE−24−10=0,\sum F_y=0: \quad R_B+R_E-24-10=0, RB=34−3.25=30.75 N.R_B=34-3.25=30.75\text{ N}.

梁沒有水平外力，因此 BB 點水平反力為 00。

2. 剪力圖

由 AA 向右取截面，分段寫出剪力：

V(x)={−4x,0<x<4,30.75−4x,4<x<6,6.75,6<x<9,−3.25,9<x<12.V(x)= \begin{cases} -4x, & 0<x<4,\\ 30.75-4x, & 4<x<6,\\ 6.75, & 6<x<9,\\ -3.25, & 9<x<12. \end{cases}

各重要位置的剪力值如下：

位置剪力
AA00
B−B^-−16 N-16\text{ N}
B+B^+14.75 N14.75\text{ N}
CC6.75 N6.75\text{ N}
D−D^-6.75 N6.75\text{ N}
D+D^+−3.25 N-3.25\text{ N}
E−E^-−3.25 N-3.25\text{ N}
E+E^+00
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