112 身心障礙特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

112 年・身心障礙特考・四等・土木工程
試題代碼 測量學概要

第 一 題25 分

如圖，十字路口街角 AA、BB、CC 三點，其 XYXY 坐標如表所示，其中 AA、PP、BB 近似直線，∠APC\angle APC（或 ∠CPB\angle CPB）接近 90∘90^\circ，欲藉由量測距離以測定 PP 點位置，則由：

（情境 1）自 AA、BB 兩點分別量測距離 S1S_1、S3S_3 定 PP 點；

（情境 2）自 AA、CC 兩點分別量測距離 S1S_1、S2S_2 定 PP 點。

那個情境的量測距離定點方式較佳？為什麼？並請由選定的情境以及表格所列的測距結果計算 PP 點的 XYXY 坐標。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

點號與坐標：

點號XX（m）YY（m）
AA50.0050.0090.0090.00
BB70.0070.0075.0075.00
CC70.0070.0090.0090.00

量距結果：

測線量距結果（m）
S1S_110.0010.00
S2S_215.0015.00
S3S_312.0012.00
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查以兩個已知點量取距離，利用距離交會法測定未知點坐標。測站至待定點的兩條測線交會角愈接近 90∘90^\circ，交會幾何愈強，距離誤差對坐標的影響通常愈小；交會角接近 0∘0^\circ 或 180∘180^\circ 時，定點較不穩定。

解題方法

已知 A(50.00,90.00)A(50.00,90.00)、B(70.00,75.00)B(70.00,75.00)、C(70.00,90.00)C(70.00,90.00)。由坐標計算：

AB=(70−50)2+(75−90)2=25 mAB=\sqrt{(70-50)^2+(75-90)^2}=25\text{ m}

AA、PP、BB 近似直線，因此情境 1 的兩條距離測線幾乎共線，交會角接近 180∘180^\circ，定點條件不佳。另以題列距離檢核，S1+S3=10+12=22 m<AB=25 mS_1+S_3=10+12=22\text{ m}<AB=25\text{ m}，不符合三角形邊長條件，這組距離也無法形成實際交會解。

情境 2 以 AA、CC 為已知點，且 AC=20 mAC=20\text{ m}。S1=AP=10 mS_1=AP=10\text{ m}、S2=CP=15 mS_2=CP=15\text{ m}，可以構成三角形；依圖示，PP 位於 ACAC 下方。取 AA 為原點，沿 ACAC 方向量得 PP 在 ACAC 上的投影距離 xx：

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第 二 題25 分

欲在沒有平面控制點的測區內測設新的平面控制點，並以衛星定位儀為主，全測站儀器為輔；若某待測點的位置恰在樹木下方而受到遮蔽，則應採取何種較適宜的施測方式與步驟？請說明並列出使用的平面坐標計算式。

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核心觀念

本題考查衛星定位測量與全測站儀器的聯合作業：新控制點附近若有樹木遮蔽，衛星訊號可能受阻或產生多路徑效應，不能直接在遮蔽點架設衛星定位儀。適宜作法是先在視野開闊處以衛星定位建立已知平面坐標點，再以全測站儀器由該點向樹下待測點施測，利用方位角與水平距離計算待測點坐標。

解題方法與施測步驟

  1. 選擇開闊的衛星測站：在待測點附近選一處天空視野良好、與待測點通視的位置，作為衛星定位測站；此測站不必與待測點重合。
  2. 以衛星定位測定測站坐標：使用 GNSS 靜態、快速靜態或即時動態等適當方式，測定測站平面坐標 (XA,YA)(X_A,Y_A)。測站成果須採用與工程一致的坐標系統及基準。
  3. 架設全測站儀器：在已測定坐標的測站 AA 架設、整平並定心，輸入測站坐標。另選一個可通視的定向點 BB，以已知坐標定向；若無既有定向點，則可在另一個開闊且適合 GNSS 測量的位置測定其坐標，再供全測站定向。
  4. 觀測樹下待測點：由測站 AA 瞄準待測點 PP 的稜鏡，量測水平距離 SAPS_{AP} 與水平角，據定向結果求得 AA 至 PP 的坐標方位角 αAP\alpha_{AP}。
  5. 計算並檢核坐標：由測站坐標、方位角及水平距離計算 PP 點坐標；可再以另一個已知測站或獨立觀測進行檢核。

平面坐標計算式

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第 三 題25 分

欲以水準儀及其配件、工具測設 11 條圍繞某一建築物的等高程水平線，請敘述可行的作法、可能產生的誤差，以及如何檢查、降低量測誤差的方法。

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核心觀念

本題考查以水準測量把指定高程傳遞到建築物周圍，並在各處標示同一高程，形成閉合的水平線。水準儀提供水平視準線，水準尺用來讀取已知點與待測點的高差；若已知點高程為 HAH_A，後視讀數為 aa，則儀器視線高為

HI=HA+aHI=H_A+a

待測點讀數為 bb 時，其高程為

HP=HI−b=HA+a−bH_P=HI-b=H_A+a-b

因此，同一圈各標記點都須設在同一指定高程 H0H_0。

解題方法與施測步驟

  1. 選定基準與設計高程 在建築物周圍選擇穩固、可通視且高程已知的水準點，作為起算基準。決定水平線的目標高程 H0H_0，並在建築物周圍規劃數個測點，包含轉角與適當間距處。

  2. 架設水準儀並求儀器視線高 將水準儀架在穩固位置，整平並確認儀器正常。對已知高程水準點立尺，讀取後視 aa，計算 HI=HA+aHI=H_A+a。儀器視線高應適當，避免視線過低、過高或受遮擋。

  3. 逐點測設目標高程 在各待測位置立尺讀取讀數 bb，計算該點高程 HP=HI−bH_P=HI-b。若要在該位置標出 H0H_0，應調整標記位置，使目標點的水準尺讀數符合

b目標=HI−H0b_{\text{目標}}=HI-H_0

可由尺上讀數指示目標位置，再以粉筆、墨線或其他適合的方式作記號。若建築物周邊不在同一站可視範圍內，則設轉點傳遞高程；轉點須穩固，並依序以前視、後視傳遞。

  1. 繞建築物完成閉合與複核 沿建築物周邊施測，回到起始水準點或另一已知水準點作閉合檢核。將閉合差與作業允許值比較；若超限，應查明原因並重測。完成後再以獨立架站或反向水準測量抽查各處標記高程，確認閉合線連續且各點高程一致。

可能誤差及檢查、降低方法

  • 儀器誤差：視準軸與水準管軸不平行、補償器失靈或儀器未整平，會造成視線不水平。施測前檢查儀器狀況與整平；
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第 四 題25 分

已知 EE、FF 兩點的 XYXY 坐標及其中誤差分別為：

E(100.00±0.02 m, 200.00±0.04 m)E(100.00\pm0.02\ \mathrm{m},\ 200.00\pm0.04\ \mathrm{m})

F(150.00±0.03 m, 50.00±0.01 m)F(150.00\pm0.03\ \mathrm{m},\ 50.00\pm0.01\ \mathrm{m})

則 EFEF 兩點的距離 SEFS_{EF} 及中誤差 σSEF\sigma_{S_{EF}}，以及 EE 到 FF 的方位角 θEF\theta_{EF} 及中誤差 σθEF\sigma_{\theta_{EF}}，各為多少？

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核心觀念

本題考查由兩點平面坐標求距離與方位角，並以誤差傳播律求兩者的中誤差。以下假設各坐標分量的誤差彼此獨立，題目所列中誤差即為各分量的標準差。

令

ΔX=XF−XE,ΔY=YF−YE\Delta X=X_F-X_E,\qquad \Delta Y=Y_F-Y_E

則

SEF=(ΔX)2+(ΔY)2S_{EF}=\sqrt{(\Delta X)^2+(\Delta Y)^2}

若方位角自北方向起算、順時針為正，則

θEF=atan2⁡(ΔX,ΔY)\theta_{EF}=\operatorname{atan2}(\Delta X,\Delta Y)

本題的 ΔX>0\Delta X>0、ΔY<0\Delta Y<0，方向位於西北象限。

誤差傳播律為：若 Q=f(x1,…,xn)Q=f(x_1,\ldots,x_n)，各變數互相獨立，則

σQ2=∑i(∂Q∂xi)2σxi2\sigma_Q^2=\sum_i\left(\frac{\partial Q}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2

解題方法

先算坐標差：

ΔX=150.00−100.00=50.00 m\Delta X=150.00-100.00=50.00\ \mathrm{m} ΔY=50.00−200.00=−150.00 m\Delta Y=50.00-200.00=-150.00\ \mathrm{m}

距離為

SEF=502+(−150)2=25000=158.1139 mS_{EF}=\sqrt{50^2+(-150)^2} =\sqrt{25000} =158.1139\ \mathrm{m}

對距離微分：

∂S∂XE=−ΔXS,∂S∂XF=ΔXS\frac{\partial S}{\partial X_E}=-\frac{\Delta X}{S},\quad \frac{\partial S}{\partial X_F}=\frac{\Delta X}{S} ∂S∂YE=−ΔYS,∂S∂YF=ΔYS\frac{\partial S}{\partial Y_E}=-\frac{\Delta Y}{S},\quad \frac{\partial S}{\partial Y_F}=\frac{\Delta Y}{S}

因此

σS2=(ΔXS)2(σXE2+σXF2)+(ΔYS)2(σYE2+σYF2)\sigma_S^2= \left(\frac{\Delta X}{S}\right)^2(\sigma_{X_E}^2+\sigma_{X_F}^2) +\left(\frac{\Delta Y}{S}\right)^2(\sigma_{Y_E}^2+\sigma_{Y_F}^2)

代入 σXE=0.02\sigma_{X_E}=0.02、σXF=0.03\sigma_{X_F}=0.03、σYE=0.04\sigma_{Y_E}=0.04、σYF=0.01\sigma_{Y_F}=0.01：

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