113 身心障礙特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

113 年・身心障礙特考・四等・土木工程
試題代碼 測量學概要

第 一 題25 分

將全測站儀設置於 PP 點，進行三角高程測量，分別對 AA、BB 兩點觀測角度及距離（圖 1）。但因條件限制，僅可測得部分數據如表 1-1 所示，且為解決無法觀測 BB 點之垂直角，難以求得 AA 點高程之問題，採以全測站儀望遠鏡水平觀測水準尺方式取代之，所得之觀測紀錄如表 1-2 所示。

請依所觀測之相關數據計算出 PP 點高程 HPH_P 及 AA 點之坐標及高程 (EA,NA,HA)(E_A,N_A,H_A)。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

表 1-1　全測站儀觀測紀錄

測站視點鏡位水平角讀數垂直角或天頂距讀數傾斜距離（m）
PPBB正69∘51′54′′69^\circ51'54''無法觀測無法觀測
PPBB倒249∘52′00′′249^\circ52'00''無法觀測無法觀測
PPAA正145∘53′00′′145^\circ53'00''102∘20′20′′102^\circ20'20''367.089367.089
PPAA倒325∘53′04′′325^\circ53'04''257∘39′50′′257^\circ39'50''367.089367.089

已知條件：

  • (EB,NB,HB)=(210.428 m,319.945 m,132.510 m)(E_B,N_B,H_B)=(210.428\ \mathrm{m},319.945\ \mathrm{m},132.510\ \mathrm{m})
  • (EP,NP,HP)=(630.828 m,930.345 m,未知高程)(E_P,N_P,H_P)=(630.828\ \mathrm{m},930.345\ \mathrm{m},\text{未知高程})
  • 儀器高：iP=1.650 mi_P=1.650\ \mathrm{m}、iB=1.780 mi_B=1.780\ \mathrm{m}、iA=1.800 mi_A=1.800\ \mathrm{m}

表 1-2　水準尺觀測紀錄

測站視點水準尺觀測讀數（m）
PPBB1.9901.990
BBPP1.4501.450
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題結合往返水準觀測、全測站儀正倒鏡觀測平均、坐標方位角與三角高程計算。

  • 水平角以正倒鏡讀數化算後取平均，可降低讀數誤差。
  • 天頂距正倒鏡讀數先化算至同一方向，再取平均。
  • 以全測站儀水平照準水準尺時，讀數可用來求測站間高差；正反方向觀測結果取平均，可削弱視準軸及曲率等影響。
  • 坐標增量依方位角計算：ΔE=Dsin⁡α\Delta E=D\sin\alpha、ΔN=Dcos⁡α\Delta N=D\cos\alpha。
  • 三角高程計算須同時計入測站儀器高及目標點儀器高。

解題方法

一、由往返水準觀測求 PP 點高程

PP 點設站、照準 BB 點水準尺時：

HP+iP=HB+rPBH_P+i_P=H_B+r_{PB}

因此：

HP−HB=1.990−1.650=0.340 mH_P-H_B=1.990-1.650=0.340\ \mathrm{m}

BB 點設站、照準 PP 點水準尺時：

HB+iB=HP+rBPH_B+i_B=H_P+r_{BP}

因此：

HP−HB=1.780−1.450=0.330 mH_P-H_B=1.780-1.450=0.330\ \mathrm{m}

往返觀測取平均：

HP−HB=0.340+0.3302=0.335 mH_P-H_B=\frac{0.340+0.330}{2}=0.335\ \mathrm{m}

已知 HB=132.510 mH_B=132.510\ \mathrm{m}，故：

HP=132.510+0.335=132.845 m\boxed{H_P=132.510+0.335=132.845\ \mathrm{m}}

二、求 PP 至 AA 的方位角

先由 B、PB、P 坐標求 PP 至 BB 方位角：

ΔEPB=210.428−630.828=−420.400 m\Delta E_{PB}=210.428-630.828=-420.400\ \mathrm{m} ΔNPB=319.945−930.345=−610.400 m\Delta N_{PB}=319.945-930.345=-610.400\ \mathrm{m}

兩增量皆為負，方位角位於西南象限，計得：

αPB≈214∘33′22′′\alpha_{PB}\approx214^\circ33'22''

正倒鏡水平角化算後取平均：

HˉB=69∘51′54′′+(249∘52′00′′−180∘)2=69∘51′57′′\bar H_B=\frac{69^\circ51'54''+(249^\circ52'00''-180^\circ)}{2} =69^\circ51'57'' HˉA=145∘53′00′′+(325∘53′04′′−180∘)2=145∘53′02′′\bar H_A=\frac{145^\circ53'00''+(325^\circ53'04''-180^\circ)}{2} =145^\circ53'02''

由 BB 方向順時針轉至 AA 方向的水平角為：

∠BPA=HˉA−HˉB=76∘01′05′′\angle BPA=\bar H_A-\bar H_B=76^\circ01'05''

因此：

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第 二 題25 分

在某路線中心樁 AA、BB、CC、DD 四個點位進行水準測量，現場已知 AA、DD 兩點之高程及各點位樁號，施測後計算所得之高程差如表 2 所示。

請先依觀測結果計算出 BB、CC 兩點平差後的高程。依照路線設計之計畫路面，須將 AA 點先挖土 55 公尺，並以 +0.2%+0.2\% 為計畫路面坡度。按計畫需求，請問原始地面 BB、CC、DD 點之高程，應挖土或填土多少公尺？

表 2　點位高程紀錄表

點位高程差 Δh\Delta h（m）點位樁號已知高程（m）
AA____2K+1002K+10071.62971.629
BB+4.838+4.8383K+6003K+600____
CC−2.913-2.9135K+6005K+600____
DD+3.272+3.2728K+1008K+10076.83876.838
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核心觀念

本題考水準測量的閉合差平差，以及依樁號計算縱坡設計高程與挖填方。將表中的高程差視為相鄰點間的觀測高差，閉合路線應符合：

∑Δh平差=HD−HA\sum \Delta h_{\text{平差}}=H_D-H_A

本題各段觀測精度相同，依各段距離比例分配閉合差。

解題方法

先由樁號求各段距離：

LAB=3K+600−2K+100=1,500 mL_{AB}=3K+600-2K+100=1{,}500\text{ m} LBC=5K+600−3K+600=2,000 mL_{BC}=5K+600-3K+600=2{,}000\text{ m} LCD=8K+100−5K+600=2,500 mL_{CD}=8K+100-5K+600=2{,}500\text{ m}

總長度為 6,000 m6{,}000\text{ m}。觀測高差合計為：

∑Δh觀測=4.838−2.913+3.272=5.197 m\sum\Delta h_{\text{觀測}} =4.838-2.913+3.272 =5.197\text{ m}

已知兩端高程差為：

HD−HA=76.838−71.629=5.209 mH_D-H_A=76.838-71.629=5.209\text{ m}

故需補入的閉合差為：

f=5.209−5.197=+0.012 mf=5.209-5.197=+0.012\text{ m}

依距離比例分配各段改正數：

cAB=0.012×1,5006,000=+0.003 mc_{AB}=0.012\times\frac{1{,}500}{6{,}000}=+0.003\text{ m} cBC=0.012×2,0006,000=+0.004 mc_{BC}=0.012\times\frac{2{,}000}{6{,}000}=+0.004\text{ m} cCD=0.012×2,5006,000=+0.005 mc_{CD}=0.012\times\frac{2{,}500}{6{,}000}=+0.005\text{ m}

因此平差後高差為：

ΔhAB=4.838+0.003=+4.841 m\Delta h_{AB}=4.838+0.003=+4.841\text{ m} ΔhBC=−2.913+0.004=−2.909 m\Delta h_{BC}=-2.913+0.004=-2.909\text{ m} ΔhCD=3.272+0.005=+3.277 m\Delta h_{CD}=3.272+0.005=+3.277\text{ m}

以已知 AA 點高程逐段推算：

HB=71.629+4.841=76.470 mH_B=71.629+4.841=\boxed{76.470\text{ m}}
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第 三 題25 分

一段平坦地距離以鋼捲尺重複施測 nn 次，所施測之觀測量及其權重分別以 LiL_i、PiP_i 表示（i=1,2,3,…,ni=1,2,3,\ldots,n）。假設此段距離為等權觀測，請計算其最或是值 Lˉ\bar{L}、剩餘誤差 viv_i、平均誤差 tt、觀測值中誤差 mm 及最或是值中誤差 MM。

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核心觀念

本題考查等權重複觀測的最或是值，以及觀測平差後的剩餘誤差與精度指標。各次觀測權重相同時，最或是值為算術平均數；剩餘誤差是各觀測值與最或是值之差。

令觀測次數為 nn，各次觀測值為 LiL_i，則：

Lˉ=1n∑i=1nLi\bar{L}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}L_i vi=Lˉ−Liv_i=\bar{L}-L_i

以下依測量平差常用定義，將「平均誤差」tt 定義為剩餘誤差絕對值的算術平均。

解題方法

先求觀測值的算術平均數，再逐筆計算剩餘誤差。接著以剩餘誤差平方和估計單次觀測的中誤差，最後利用平均值的精度關係求最或是值中誤差。

  1. 最或是值
Lˉ=L1+L2+⋯+Lnn\bar{L}=\frac{L_1+L_2+\cdots+L_n}{n}
  1. 剩餘誤差
vi=Lˉ−Li(i=1,2,…,n)v_i=\bar{L}-L_i \qquad (i=1,2,\ldots,n)

由此可驗算：

∑i=1nvi=0\sum_{i=1}^{n}v_i=0

若採相反的誤差符號慣例，定義成 vi=Li−Lˉv_i=L_i-\bar{L}，則各剩餘誤差的符號相反，但下列以平方或絕對值計算的精度指標不變。

  1. 平均誤差
t=1n∑i=1n∣vi∣t=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|v_i|
  1. 觀測值中誤差

估計一筆觀測值的中誤差時，自由度為 n−1n-1，故：

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第 四 題25 分

有一附合導線折角觀測紀錄如圖 2 所示（未依比例繪製），已知該導線起始方位角為 φAB=165∘15′18′′\varphi_{AB}=165^\circ15'18''，終邊方位角為 φCD=128∘53′45′′\varphi_{CD}=128^\circ53'45''。

請依各夾角觀測之結果，先檢核該導線之角度不符值 fwf_w，並在不浪費時間和成本考量的前提下，提出如何改正計算之作法。

各點夾角觀測值如下：

  • BB 點：83∘57′20′′83^\circ57'20''
  • 點 1：213∘14′27′′213^\circ14'27''
  • 點 2：165∘50′40′′165^\circ50'40''
  • CC 點：226∘23′56′′226^\circ23'56''

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核心觀念

本題考附合導線的角度閉合檢核，以及角度不符值的平差。依圖示，四個夾角均按同一方向觀測；由起始方位角逐站推算至終邊方位角，再與已知終邊方位角比較。

若在每一測站以「後視方位角加觀測夾角」求前視方位角，計算式為：

φ前視=(φ後視+180∘+β) mod 360∘\varphi_{\text{前視}} = \left(\varphi_{\text{後視}}+180^\circ+\beta\right)\bmod 360^\circ

解題方法

起始方位角為 φAB=165∘15′18′′\varphi_{AB}=165^\circ15'18''。在各測站依序計算：

φBA=165∘15′18′′+180∘=345∘15′18′′φB1=345∘15′18′′+83∘57′20′′=69∘12′38′′φ1B=69∘12′38′′+180∘=249∘12′38′′φ12=249∘12′38′′+213∘14′27′′=102∘27′05′′φ21=102∘27′05′′+180∘=282∘27′05′′φ2C=282∘27′05′′+165∘50′40′′=88∘17′45′′φC2=88∘17′45′′+180∘=268∘17′45′′φCD,計算=268∘17′45′′+226∘23′56′′=134∘41′41′′\begin{aligned} \varphi_{BA}&=165^\circ15'18''+180^\circ =345^\circ15'18''\\ \varphi_{B1}&=345^\circ15'18''+83^\circ57'20'' =69^\circ12'38''\\[2pt] \varphi_{1B}&=69^\circ12'38''+180^\circ =249^\circ12'38''\\ \varphi_{12}&=249^\circ12'38''+213^\circ14'27'' =102^\circ27'05''\\[2pt] \varphi_{21}&=102^\circ27'05''+180^\circ =282^\circ27'05''\\ \varphi_{2C}&=282^\circ27'05''+165^\circ50'40'' =88^\circ17'45''\\[2pt] \varphi_{C2}&=88^\circ17'45''+180^\circ =268^\circ17'45''\\ \varphi_{CD,\text{計算}}&=268^\circ17'45''+226^\circ23'56'' =134^\circ41'41'' \end{aligned}
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