115 身心障礙特考四等 電子工程 電子學概要 考古題詳解

115 年・身心障礙特考・四等・電子工程
試題代碼 電子學概要

第 一 題25 分

有一個理想運算放大器（Operational Amplifier）電路如圖一所示，輸入電壓信號分別為 V1(t)V_1(t) 與 V2(t)V_2(t)，輸出電壓信號為 Vo(t)V_o(t)。電路中 R=20 kΩR=20\,\mathrm{k}\Omega、C=3 μFC=3\,\mu\mathrm{F}，假設初始時間電容器 CC 中沒有電荷。請計算 Vo(t)V_o(t)。

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核心觀念

本題考查理想運算放大器的兩個基本條件：

  1. 輸入端電流為零： i+=i−=0i_+=i_-=0

  2. 負回授正常工作時，虛短路成立： v+(t)=v−(t)v_+(t)=v_-(t)

另外，兩個 RCRC 電路均須配合電容的電流公式：

iC=CdvC(t)dti_C=C\frac{dv_C(t)}{dt}

令

τ=RC=(20 kΩ)(3 μF)=0.06 s\tau=RC=(20\,\mathrm{k}\Omega)(3\,\mu\mathrm{F})=0.06\,\mathrm{s}

解題方法

一、求非反相端電壓 v+(t)v_+(t)

下方電路由 V2(t)V_2(t) 經電阻 RR 接至非反相端，並由電容 CC 接地。

因理想運算放大器輸入端不取電流，對非反相端套用 KCL：

V2(t)−v+(t)R=Cdv+(t)dt\frac{V_2(t)-v_+(t)}{R}=C\frac{dv_+(t)}{dt}

因此：

dv+(t)dt=V2(t)−v+(t)RC\frac{dv_+(t)}{dt} =\frac{V_2(t)-v_+(t)}{RC}

由虛短路條件：

v−(t)=v+(t)v_-(t)=v_+(t)

所以：

dv−(t)dt=V2(t)−v−(t)RC\frac{dv_-(t)}{dt} =\frac{V_2(t)-v_-(t)}{RC}

二、對反相端列 KCL

反相端透過電阻接收 V1(t)V_1(t)，並透過電容與輸出端相連。

反相端 KCL 為：

v−(t)−V1(t)R+Cd[v−(t)−Vo(t)]dt=0\frac{v_-(t)-V_1(t)}{R} +C\frac{d\left[v_-(t)-V_o(t)\right]}{dt}=0

展開後：

v−(t)−V1(t)R+C(dv−(t)dt−dVo(t)dt)=0\frac{v_-(t)-V_1(t)}{R} +C\left(\frac{dv_-(t)}{dt}-\frac{dV_o(t)}{dt}\right)=0

整理得：

dVo(t)dt=dv−(t)dt+v−(t)−V1(t)RC\frac{dV_o(t)}{dt} =\frac{dv_-(t)}{dt} +\frac{v_-(t)-V_1(t)}{RC}

代入

dv−(t)dt=V2(t)−v−(t)RC\frac{dv_-(t)}{dt} =\frac{V_2(t)-v_-(t)}{RC}

可得：

dVo(t)dt=V2(t)−v−(t)RC+v−(t)−V1(t)RC\frac{dV_o(t)}{dt} =\frac{V_2(t)-v_-(t)}{RC} +\frac{v_-(t)-V_1(t)}{RC}

中間項抵消，因此：

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第 二 題25 分

請使用 CMOS 電路實現布林函數

Y=(AB+C)D‾+EY=\overline{(AB+C)D}+E

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核心觀念

本題考查互補式金氧半導體（CMOS）邏輯閘的實現方式。靜態 CMOS 電路由上拉網路（PMOS）與下拉網路（NMOS）組成：

  • NMOS 導通條件為閘極輸入為 11，負責將輸出拉至低電位。
  • PMOS 導通條件為閘極輸入為 00，負責將輸出拉至高電位。
  • 上拉網路與下拉網路互為對偶：NMOS 串聯對應 PMOS 並聯，NMOS 並聯對應 PMOS 串聯。

解題方法

令輸出為

Y=(AB+C)D‾+EY=\overline{(AB+C)D}+E

先將輸出為 00 的條件寫出：

Y=0  ⟺  E=0 且 (AB+C)D=1Y=0 \iff E=0\ \text{且}\ (AB+C)D=1

因此，下拉網路必須在 E=0E=0，且 D=1D=1、AB+C=1AB+C=1 時導通。依據 NMOS 的串並聯規則：

  • DD 與 EE 的反相條件要求下拉支路含有 E‾\overline E 控制的 NMOS。
  • (AB+C)=1(AB+C)=1 表示 AB=1AB=1 或 C=1C=1，對應 A、BA、B 串聯支路與 CC 支路並聯。
  • 此組合再與 DD 串聯。

可先產生 E‾\overline E，再以 NMOS 實現下拉網路：

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第 三 題25 分

圖二為一個 NMOS 場效電晶體（FET）電路。電晶體 Q1Q_1、Q2Q_2 與 Q3Q_3 的參數如下：

所有電晶體的

kn′=μnCox=500 μA/V2k_n'=\mu_n C_{ox}=500\,\mu\mathrm{A}/\mathrm{V}^2

Vtn=0.5 VV_{tn}=0.5\,\mathrm{V}

λ1=λ2=λ3=0\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0

L1=L2=L3=0.5 μmL_1=L_2=L_3=0.5\,\mu\mathrm{m}

W1=2 μmW_1=2\,\mu\mathrm{m}

W2=W3=10 μmW_2=W_3=10\,\mu\mathrm{m}

當 IREF=50 μAI_{\mathrm{REF}}=50\,\mu\mathrm{A} 時：

（一）RR 值為何？

（二）同時計算 V1V_1、V2V_2、V3V_3 與 I2I_2。

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核心觀念

本題考查 NMOS 的：

  • 飽和區電流公式
  • 二極體接法電晶體的偏壓
  • 電流鏡比例關係
  • 串聯電路的電流相等
  • 電阻的歐姆定律

NMOS 在飽和區且 λ=0\lambda=0 時：

ID=12kn′WL(VGS−Vtn)2I_D=\frac{1}{2}k_n'\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{tn})^2

其中 VGS−VtnV_{GS}-V_{tn} 為過驅電壓 VOVV_{OV}。

解題方法

一、計算 Q1Q_1 的 V1V_1

由圖可知，Q1Q_1 為二極體接法，且其汲極、閘極皆接在 V1V_1，因此：

ID1=IREF=50 μAI_{D1}=I_{\mathrm{REF}}=50\,\mu\mathrm{A}

Q1Q_1 的尺寸比例為：

W1L1=20.5=4\frac{W_1}{L_1}=\frac{2}{0.5}=4

因此：

50 μA=12(500 μA/V2)(4)VOV1250\,\mu\mathrm{A} = \frac{1}{2}(500\,\mu\mathrm{A}/\mathrm{V}^2)(4)V_{OV1}^2 50=1000VOV1250=1000V_{OV1}^2 VOV1=0.05=0.2236 VV_{OV1}=\sqrt{0.05}=0.2236\,\mathrm{V}

所以：

VGS1=Vtn+VOV1=0.5+0.2236=0.7236 VV_{GS1}=V_{tn}+V_{OV1} =0.5+0.2236 =0.7236\,\mathrm{V}

Q1Q_1 的源極接於 −2 V-2\,\mathrm{V}，故：

V1−(−2)=0.7236V_1-(-2)=0.7236 V1=−1.2764 V\boxed{V_1=-1.2764\,\mathrm{V}}

二、計算電阻 RR

電阻兩端電壓為：

2−V1=2−(−1.2764)=3.2764 V2-V_1=2-(-1.2764)=3.2764\,\mathrm{V}

流經電阻的電流為 IREF=50 μAI_{\mathrm{REF}}=50\,\mu\mathrm{A}，因此：

R=3.2764 V50 μAR=\frac{3.2764\,\mathrm{V}}{50\,\mu\mathrm{A}} R=65.53 kΩ\boxed{R=65.53\,\mathrm{k}\Omega}

三、計算 Q2Q_2 的電流

Q1Q_1 與 Q2Q_2 的閘極相連，且源極皆接於 −2 V-2\,\mathrm{V}，所以兩者的 VGSV_{GS} 相同。

尺寸比例為：

W2/L2W1/L1=10/0.52/0.5=204=5\frac{W_2/L_2}{W_1/L_1} = \frac{10/0.5}{2/0.5} = \frac{20}{4}=5

因此電流鏡關係為：

ID2=5ID1I_{D2}=5I_{D1} ID2=5(50 μA)=250 μAI_{D2}=5(50\,\mu\mathrm{A}) =250\,\mu\mathrm{A}

四、計算 I2I_2 與 V3V_3

圖中 Q2Q_2 與 Q3Q_3 串聯，中間節點為 V2V_2，因此：

I2=ID2=250 μAI_2=I_{D2}=250\,\mu\mathrm{A}

6 kΩ6\,\mathrm{k}\Omega 電阻由 +2 V+2\,\mathrm{V} 供電，故其壓降為：

I2(6 kΩ)=250 μA×6 kΩ=1.5 VI_2(6\,\mathrm{k}\Omega) = 250\,\mu\mathrm{A}\times6\,\mathrm{k}\Omega =1.5\,\mathrm{V}

因此：

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第 四 題25 分

有一個串並（Series-Shunt）回授放大器電路如圖三所示，所有電晶體均工作在飽和區（Saturation Region）。為計算方便，未顯示其偏壓電路。NMOSFET 電晶體 Q1Q_1 與 PMOSFET 電晶體 Q2Q_2 的參數如下：

gm1=gm2=5 mA/Vg_{m1}=g_{m2}=5\,\mathrm{mA}/\mathrm{V}

ro1=ro2=∞r_{o1}=r_{o2}=\infty

電路中：

RD1=10 kΩR_{D1}=10\,\mathrm{k}\Omega

RD2=10 kΩR_{D2}=10\,\mathrm{k}\Omega

R1=2 kΩR_1=2\,\mathrm{k}\Omega

R2=18 kΩR_2=18\,\mathrm{k}\Omega

請計算：

（一）電壓增益 vovs\dfrac{v_o}{v_s}。

（二）輸入電阻 RinR_{\mathrm{in}}。

（三）輸出電阻 RoutR_{\mathrm{out}}。

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核心觀念

本題考查 MOSFET 小訊號等效電路、節點電壓法，以及串並回授放大器的三項基本參數：

  • 電壓增益：vovs\dfrac{v_o}{v_s}
  • 輸入電阻：RinR_{\mathrm{in}}
  • 輸出電阻：RoutR_{\mathrm{out}}

已知：

gm1=gm2=5 mSg_{m1}=g_{m2}=5\,\mathrm{mS} ro1=ro2=∞r_{o1}=r_{o2}=\infty

因此忽略兩個電晶體的 ror_o。

令：

  • vxv_x：Q1Q_1 汲極、Q2Q_2 閘極相接之節點電壓
  • vyv_y：Q1Q_1 源極電壓
  • vov_o：輸出電壓

（一）電壓增益 vovs\dfrac{v_o}{v_s}

1. vxv_x 節點方程式

Q1Q_1 為 NMOS，且其閘極電壓為 vsv_s，源極電壓為 vyv_y。

由 vxv_x 節點套用 KCL：

vxRD1+gm1(vs−vy)=0\frac{v_x}{R_{D1}}+g_{m1}(v_s-v_y)=0

代入 RD1=10 kΩR_{D1}=10\,\mathrm{k}\Omega、gm1=5 mSg_{m1}=5\,\mathrm{mS}：

vx=−RD1gm1(vs−vy)v_x=-R_{D1}g_{m1}(v_s-v_y) vx=−50(vs−vy)v_x=-50(v_s-v_y)

因此：

vx=50vy−50vsv_x=50v_y-50v_s

2. vyv_y 節點方程式

在 vyv_y 節點套用 KCL：

vyR1+vy−voR2+gm1(vy−vs)=0\frac{v_y}{R_1}+\frac{v_y-v_o}{R_2} +g_{m1}(v_y-v_s)=0

代入數值：

vy2 kΩ+vy−vo18 kΩ+5 mS(vy−vs)=0\frac{v_y}{2\,\mathrm{k}\Omega} +\frac{v_y-v_o}{18\,\mathrm{k}\Omega} +5\,\mathrm{mS}(v_y-v_s)=0

乘以 18 kΩ18\,\mathrm{k}\Omega，得：

100vy−vo−90vs=0100v_y-v_o-90v_s=0

所以：

vo=100vy−90vs(1)v_o=100v_y-90v_s \tag{1}

3. 輸出節點方程式

Q2Q_2 為 PMOS，源極接交流地，因此其由輸出節點流入電晶體的訊號電流為：

−gm2vx-g_{m2}v_x

在輸出節點套用 KCL：

voRD2+vo−vyR2−gm2vx=0\frac{v_o}{R_{D2}} +\frac{v_o-v_y}{R_2} -g_{m2}v_x=0

代入數值並乘以 18 kΩ18\,\mathrm{k}\Omega：

2.8vo−vy−90vx=0(2)2.8v_o-v_y-90v_x=0 \tag{2}

將

vx=50vy−50vsv_x=50v_y-50v_s

代入式 (2)(2)：

2.8vo−vy−90(50vy−50vs)=02.8v_o-v_y-90(50v_y-50v_s)=0 2.8vo−4501vy+4500vs=02.8v_o-4501v_y+4500v_s=0

再代入式 (1)(1)：

2.8(100vy−90vs)−4501vy+4500vs=02.8(100v_y-90v_s)-4501v_y+4500v_s=0

整理得：

4221vy=4248vs4221v_y=4248v_s vyvs=42484221≈1.0064\frac{v_y}{v_s}=\frac{4248}{4221} \approx 1.0064

因此：

vovs=100vyvs−90\frac{v_o}{v_s} =100\frac{v_y}{v_s}-90 vovs=100(42484221)−90=4990469\frac{v_o}{v_s} =100\left(\frac{4248}{4221}\right)-90 =\frac{4990}{469} vovs≈10.64\boxed{\frac{v_o}{v_s}\approx 10.64}
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