114 身心障礙特考四等 機械工程類科 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查剛體平衡與力矩平衡：

1. 桿件均質，因此重力作用於中點 $B$。
2. 彈簧力遵循虎克定律： $F_s=k\Delta x$
3. 以鉸接點 $O$ 為力矩中心，可消除鉸鏈反力。
4. 滑輪 $D$ 直徑忽略，因此繩張力 $T$ 直接沿著 $CD$ 方向作用於 $C$ 點。

由圖可知：

• $OC=L=10\ \mathrm{m}$
• $B$ 為桿件中點，$OB=BC=L/2$
• 彈簧未伸長時，$C$ 與 $A$ 重疊，因此自然長度為 $AB=L/2$
• 桿件重量為 $W=mg=10(9.81)=98.1\ \mathrm{N}$

解題方法

取 $O$ 為原點，令水平向右為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸。

桿件拉至與鉛直線成 $45^\circ$ 時，令

$a=\frac{L}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=7.071\ \mathrm{m}$

則

$C=(a,-a)$

因為 $B$ 為中點，

且由圖中 $A$ 位於 $O$ 正下方，

$A=(0,-L)=(0,-10)\ \mathrm{m}$

（一）彈簧的拉力

目前彈簧長度為

代入數值：

彈簧自然長度為

因此伸長量為

依虎克定律：

彈簧力方向為由 $B$ 指向 $A$。

（二）所需張力 $T$

1. 彈簧力對 $O$ 點的力矩

由 $B$ 指向 $A$ 的方向向量為

其長度為 $7.368\ \mathrm{m}$，因此彈簧力分量為

核心觀念

本題考查平面斜拋運動，將網球初速度 $V_A$ 分解為：

• 水平分量：$V_{Ax}=V_A\cos\theta_A$
• 鉛直分量：$V_{Ay}=V_A\sin\theta_A$

忽略空氣阻力時：

• 水平方向為等速度運動
• 鉛直方向為初速向上、加速度 $-g$ 的等加速度運動

由圖可知，網球由離地 $1.2\ \mathrm{m}$ 的 $A$ 點發出，經 $2.5\ \mathrm{s}$ 後落至前方 $50\ \mathrm{m}$ 的 $B$ 點。

解題方法

取發球點 $A$ 為座標原點，水平方向為 $x$ 軸，鉛直向上為 $y$ 軸。

水平方向

水平方向位移為 $50\ \mathrm{m}$，飛行時間為 $2.5\ \mathrm{s}$：

因此：

鉛直方向

網球由離地 $1.2\ \mathrm{m}$ 處發出，落地時相對地面高度為 $0$，所以鉛直位移為：

鉛直方向位移公式為：

代入 $t=2.5\ \mathrm{s}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

因此：

核心觀念

本題考查：

1. 貨物作鉛直向上加速運動，使用牛頓第二定律。
2. 理想繩索張力相同，故垂直段與斜段張力皆為 $T$。
3. 對無重桿 $AB$ 作受力分析，使用平衡方程式： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_A=0$

圖中 $AB=4\ \mathrm{m}$，斜繩與水平線夾角為 $30^\circ$。

解題方法

（一）繩索張力

貨物質量為 $m=50\ \mathrm{kg}$，向上加速度為 $a=6\ \mathrm{m/s^2}$。

貨物受力為向上張力 $T$ 與向下重量 $mg$，因此：

代入數值：

所以繩索張力為：

（二）$A$ 點之水平與垂直反力

在 $B$ 點，繩索對滑輪及桿 $AB$ 的作用力包括：

• 垂直繩段：向下 $T$
• 斜繩段：向右下方，其分量為 $T_x=T\cos30^\circ$ $T_y=T\sin30^\circ$

取向右、向上為正方向。

水平方向

故 $A$ 點水平反力為：

垂直方向

核心觀念

本題考查楔塊提升物體時的：

• 靜摩擦力方向判定
• 極限平衡
• 斜面接觸力分解
• 楔塊底面是否存在摩擦力對外力 $P$ 的影響

物體由垂直導輪限制，只能做鉛直運動；楔塊向左推動時，物體相對楔面沿斜面向右上方運動，因此：

• 物體所受摩擦力沿斜面向左下方
• 楔塊所受物體摩擦力沿斜面向右上方

極限狀態下，接觸面摩擦力為

其中

解題方法

（一）下方楔塊具有滾輪，底面摩擦可忽略

設物體與楔面間的正向力為 $N$。

對 $100\ \mathrm{kg}$ 物體作受力分析。斜面正向力的鉛直分量為 $N\cos\theta$，摩擦力的鉛直向下分量為 $\mu N\sin\theta$。

鉛直方向平衡：

因此

代入數值：

對楔塊作水平方向受力分析。物體對楔塊的接觸力向右，其水平方向分量為：

由於底部為滾輪，水平方向無摩擦力，所以

代入：