114 身心障礙特考四等 土木工程類科 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考二維平面座標的相似轉換：以旋轉角 $\alpha$、比例尺 $S$ 及平移量 $(X_0,Y_0)$，將 $(E,N)$ 轉換為 $(X,Y)$。相似轉換保持角度，並以同一比例尺作用於兩軸：

$$\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}X_0\\Y_0\end{bmatrix} + S \begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}E\\N\end{bmatrix}$$

亦即

$$X=X_0+S(E\cos\alpha-N\sin\alpha),\qquad Y=Y_0+S(E\sin\alpha+N\cos\alpha)$$

題目提供兩組對應點 A、B，可由兩點間向量求旋轉角與比例尺，再由任一控制點求平移量。各座標及平移量單位為公尺，比例尺為無因次，旋轉角以度分秒表示。

解題方法

先計算 A、B 兩點在兩套座標系中的差量：

$$\begin{aligned} \Delta E&=E_B-E_A=15007.340\ \text{m}\\ \Delta N&=N_B-N_A=-3135.709\ \text{m}\\ \Delta X&=X_B-X_A=12473.472\ \text{m}\\ \Delta Y&=Y_B-Y_A=-8917.580\ \text{m} \end{aligned}$$

平移量在兩點相減時消去，因此有

$$\begin{bmatrix}\Delta X\\\Delta Y\end{bmatrix} = S \begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta E\\\Delta N\end{bmatrix}$$

求比例尺 $S$

旋轉不改變向量長度，故

$$S=\frac{\sqrt{(\Delta X)^2+(\Delta Y)^2}} {\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2}} =\frac{15332.368\ \text{m}}{15331.303\ \text{m}} =1.0000695$$

求旋轉角 $\alpha$

令 $\theta_{EN}$ 為 $(\Delta E,\Delta N)$ 的方向角，$\theta_{XY}$ 為 $(\Delta X,\Delta Y)$ 的方向角，兩者皆以正 $X$ 軸逆時針為正方向。旋轉後方向角增加 $\alpha$，所以

$$\alpha=\theta_{XY}-\theta_{EN} =\operatorname{atan2}(\Delta Y,\Delta X) -\operatorname{atan2}(\Delta N,\Delta E)$$

代入差量並取符合上述轉換式的角度：

$$\alpha=-20.0483^\circ=-20^\circ02'54.0''$$

負號表示由 $(E,N)$ 轉到 $(X,Y)$ 須順時針旋轉約 $20^\circ02'54''$。

核心觀念

本題考查水準測量的高程計算、視準軸偏差，以及前後視距離相等的誤差抵消原理。

水準儀水平且無視準軸偏差時，先求儀器視線高程，再以視線高程減去前視讀數：

$$h_I=h_A+b_A,\qquad h_B=h_I-f_B$$

水準儀視準軸上仰角為 $\alpha$ 時，視線在距離 $d$ 處較水平視線高出 $d\tan\alpha$。若仍以水平視線原理計算讀數，距離不同的後、前視會造成高程誤差。前後視距離相等時，兩處受到相同的視線高差影響，誤差相消。

解題方法

先計算無視準軸偏差時的高程，再分別計算前後視距離不等與相等時，視線在各尺位的高度差。

已知：

$$h_A=23.456\ \mathrm{m},\quad b_A=1.415\ \mathrm{m},\quad f_B=1.890\ \mathrm{m}$$

基準高程差為：

$$b_A-f_B=1.415-1.890=-0.475\ \mathrm{m}$$

因此無偏差的高程為 $23.456-0.475=22.981\ \mathrm{m}$。

（一）無視準軸偏差

儀器視線高程為：

$$h_I=h_A+b_A=23.456+1.415=24.871\ \mathrm{m}$$

B 點高程為：

$$h_B=h_I-f_B=24.871-1.890 =\boxed{22.981\ \mathrm{m}}$$

（二）後視距離 $4\ \mathrm{m}$、前視距離 $116\ \mathrm{m}$

視準軸上仰 $30''$，換算為弧度：

$$\alpha=\frac{30}{206265}\ \mathrm{rad}$$

在小角度下 $\tan\alpha\approx\alpha$。後視與前視位置的視線高差分別為：

$$\delta_A=4\tan\alpha \approx 4\cdot\frac{30}{206265} =0.000582\ \mathrm{m}$$ $$\delta_B=116\tan\alpha \approx 116\cdot\frac{30}{206265} =0.016871\ \mathrm{m}$$

因視線上仰，前視位置的視線比水平視線高，水準尺前視讀數會減少；後視讀數則增加。將讀數代入高程差後，所得高程偏差為：

核心觀念

本題考全站儀測量中各項作業與高度量的定義，以及由斜距、縱角求兩點間垂直分量。題目未特別說明縱角基準，以下依測量學慣例，將縱角 $\alpha$ 視為相對水平面的仰角；仰角為正，表示由儀器望向目標的視線上升。

• 定心：使全站儀的豎軸通過測站點 $A$，確保儀器平面位置與測站點重合。
• 定平：調整儀器，使儀器的豎軸鉛直、水平度盤處於水平狀態，確保角度觀測基準正確。
• 儀器高 $i$：測站點 $A$ 至全站儀望遠鏡橫軸（儀器中心）的垂直距離。
• 瞄準高 $z$：未知點 $B$ 至目標標誌中心（如稜鏡中心）的垂直距離。

解題方法與計算

斜距 $S$ 與縱角 $\alpha$ 可分解為水平分量及垂直分量。儀器中心至目標中心的垂直分量為

$$V=S\sin\alpha$$

代入 $S=246.80\ \mathrm{m}$、$\alpha=1^\circ23'45''$：

$$\alpha=1+\frac{23}{60}+\frac{45}{3600} =1.395833^\circ$$ $$V=246.80\sin(1^\circ23'45'') \approx 6.010\ \mathrm{m}$$

因此，目標中心高於儀器中心約 $6.010\ \mathrm{m}$。但高程差 $\Delta h_{AB}$ 是地面點 $B$ 與地面點 $A$ 的高程差，還須扣除瞄準高並加上儀器高：

$$\Delta h_{AB}=h_B-h_A=i+V-z$$

核心觀念

方位角是由北方向起，順時針量至目標方向，範圍為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。以座標差表示方向向量 $(\Delta E,\Delta N)$ 時：

$$\alpha=\operatorname{atan2}(\Delta E,\Delta N)$$

水平角 $\angle ABC$ 是由 $BA$ 與 $BC$ 兩個水平投影方向所夾的較小角。水平距只使用東、北座標差：

$$D_h=\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2}$$

天頂距由天頂方向起算，水平面為 $90^\circ$；沿 $AB$ 方向由 A 指向 B，若 B 高於 A，天頂距小於 $90^\circ$。

解題方法

先求各方向的座標差。題目所求 $\overrightarrow{BA}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 都以 B 為起點：

$$\overrightarrow{BA} =A-B=(190.072,-4.420,-349.833)$$ $$\overrightarrow{BC} =C-B=(-184.385,133.483,47.179)$$

方位角以 $\operatorname{atan2}(\Delta E,\Delta N)$ 計算，並依象限換算為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$：

$$\alpha_{BA} =\operatorname{atan2}(190.072,-4.420) =91.3321358^\circ =91^\circ19'55.69''$$ $$\alpha_{BC} =\operatorname{atan2}(-184.385,133.483) =305.9021449^\circ =305^\circ54'07.72''$$

兩方位角的差為 $214.5700091^\circ$，大於 $180^\circ$；水平角取兩方向間的較小角：