114 身心障礙特考四等 土木工程類科 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為平面桁架，採用：

1. 整體結構平衡方程式 $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

2. 節點法求各桿件內力。

桿件受力判定：

• 以拉力假設：桿件拉離節點。
• 計算結果為正，表示桿件受拉。
• 計算結果為負，表示桿件受壓。

由圖可知：

• $AB=BC=12\text{ m}$
• $BD=5\text{ m}$
• $AD=DC=\sqrt{12^2+5^2}=13\text{ m}$
• $B$ 點承受向下 $10\text{ kN}$ 集中力。

一、支承反力

設 $A$ 點水平、垂直反力分別為 $A_x,A_y$；$C$ 點垂直反力為 $C_y$。

水平力平衡

全結構無水平外力，因此

取 $A$ 點力矩

因此

垂直力平衡

所以支承反力為：

二、各桿件受力

由結構左右對稱，$AD$ 與 $DC$ 的內力相同，$AB$ 與 $BC$ 的內力相同。

（一）$B$ 節點

$B$ 點連接 $AB、BC、BD$ 三根桿件，且 $AB、BC$ 為水平桿件。

在 $B$ 點取豎向平衡：

若 $BD$ 先假設為拉力，則其作用方向向上；配合外力 $10\text{ kN}$ 向下，可得：

實際上，$BD$ 桿對 $B$ 節點必須提供向上的作用力，因此桿件是受壓。

由於 $B$ 節點左右對稱，水平方向只能由 $AB$、$BC$ 互相平衡，故後續可由 $A$、$C$ 節點求得其大小。

（二）$A$ 節點

$AD$ 為斜桿，其幾何比例為：

在 $A$ 節點，設 $AD$ 為拉力。由豎向平衡：

核心觀念

本題考查簡支梁的：

• 支承反力：利用平衡方程式 $\sum F_y=0$、$\sum M=0$。
• 剪力圖：集中向下荷載使剪力圖產生向下跳躍。
• 彎矩圖：彎矩圖斜率等於剪力，集中力作用處彎矩連續。
• 簡支梁端點彎矩為零。

依圖示，梁長 $AB=30\text{ m}$，集中荷載為：

• $C$ 點：$15\text{ kN}$，距 $A$ 點 $10\text{ m}$
• $D$ 點：$30\text{ kN}$，距 $A$ 點 $20\text{ m}$

一、支承反力

設 $A$ 點垂直反力為 $A_y$，$B$ 點垂直反力為 $B_y$。

取 $A$ 點力矩

垂直方向力平衡

水平方向沒有外力，因此：

二、剪力圖

採「向上為正剪力」。

各區段剪力

$A$ 至 $C$

剛通過 $A$ 點後：

通過 $C$ 點

受 $15\text{ kN}$ 向下集中力，剪力下降 $15\text{ kN}$：

因此 $C$ 至 $D$：

通過 $D$ 點

受 $30\text{ kN}$ 向下集中力，剪力下降 $30\text{ kN}$：

因此 $D$ 至 $B$：

通過 $B$ 點

$B$ 點反力 $25\text{ kN}$ 使剪力回升：

剪力圖數值

示意如下：

V (kN)

 +20 ─────────────
 │ -15
 +5 ─────────
 │ -30
 -25 ─────────
 │ +25
 0 ─────────────────────────────────────────────
 A C D B
 0 m 10 m 20 m 30 m

三、彎矩圖

簡支梁兩端彎矩為零，且各區段彎矩依剪力呈線性變化。

$A$ 點

$C$ 點

核心觀念

本題考查矩形鋼筋混凝土柱承受「無偏心軸向壓力」時，混凝土與縱向鋼筋共同承擔軸力。

理論最大軸向承載力為：

達到理論最大承載力時，取：

• 混凝土壓應力：$f_c=f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 鋼筋壓應力：$f_s=f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$

其中混凝土有效受壓面積應扣除鋼筋所占面積：

解題方法

矩形柱全斷面積為：

混凝土面積：

混凝土所承擔之軸力：

鋼筋所承擔之軸力：

核心觀念

本題採用矩形梁之極限強度設計法，依據：

1. 鋼筋比 $\rho=\frac{A_s}{bd}$

2. 混凝土等效矩形壓力應力塊 $C=0.85f'_c ab$

其中 $a=\beta_1c$

當 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，取 $\beta_1=0.85$

3. 極限狀態內力平衡 $C=T$

4. 理論彎矩強度 $M_n=T\left(d-\frac{a}{2}\right)$

5. 設計彎矩強度 $M_{\mathrm{design}}=\phi M_n$

本題彎矩強度折減係數為 $\phi=0.9$。

（一）鋼筋比 $\rho$

已知：

$A_s=15.20\ \mathrm{cm^2}$

$b=40\ \mathrm{cm},\qquad d=53\ \mathrm{cm}$

因此：

所以：

$\boxed{\rho=0.00717=0.717\%}$

（二）中性軸位置 $c$

1. 判斷拉力鋼筋是否降伏

鋼筋降伏應變為：

極限狀態下，混凝土壓縮邊應變為：

$\epsilon_c=0.003$

若鋼筋降伏，拉力為：

由內力平衡：

$C=T$

而混凝土壓力為：

故：

因為：

$a=\beta_1c$

所以：

因此：

$\boxed{c=7.89\ \mathrm{cm}}$

2. 驗證鋼筋確實降伏

拉力鋼筋應變為：

由於：

$\epsilon_t=0.0172>\epsilon_y=0.002059$

故拉力鋼筋確實已降伏，前述取 $T=A_sf_y$ 合理。

（三）理論彎矩強度 $M_n$