108 一般警察特考三等 警察資訊管理人員 物件導向程式設計 考古題詳解

核心觀念

本題為經典的程式追蹤（Code Tracing）​題型，測驗考生對 C++ 基礎控制流程與基礎數論演算法的理解，主要包含以下核心要點：

1. 質數判別演算法（Primality Test）： 本題內層迴圈採用「試除法（Trial Division）」。數學上，若正整數 $n > 1$ 無法被區間 $[2, \lfloor n/2 \rfloor]$ 內的任何整數整除，則 $n$ 必為質數（Prime number）；反之若存在任一因數使得 $n \pmod i = 0$，則 $n$ 為合數（Composite number）。
2. 巢狀迴圈與旗標變數（Nested Loops & Flag Variable）： 變數 ans 作為布林旗標（Flag）。外層迴圈每讀入一個新數字，ans 均被重置為 1；若在區間內找到任一可整除的因數，ans 即被覆寫為 0。
3. 整數除法與餘數運算： 變數宣告皆為 int，運算式 h = n / 2 採用整數除法（自動無條件捨去小數點）；n % i 則計算 $n$ 除以 $i$ 的餘數。
4. 多向條件分支（Multi-way Branching）與干擾程式碼： if-else if-else 結構中包含 ans == 2（輸出 M）與 ans == 3（輸出 K）的條件分支，但分析整段邏輯可發現 ans 僅可能取值為 1 或 0，因此中間分支為典型的命題干擾項（Distractor）。
5. 標準輸出與換行控制： cout << ... << endl; 於印出字元後會立即輸出換行符號（\n）並清空緩衝區，故各筆輸入的輸出結果均獨立成行。

解題方法

本題切入點為「先掌握演算法整體語義，再循序進行變數追蹤」。

1. 演算法行為分析

• 外層迴圈：while (cin >> n) 持續讀入整數 $n$。
• 初始化：
• ans = 1;（先假設 $n$ 為質數）。
• h = n / 2;（計算檢查上限 $\lfloor n/2 \rfloor$）。
• i = 2;（測試除數從 2 開始）。
• 內層迴圈：while (i <= h) 逐一測試 $i = 2, 3, \dots, h$。
• 若 $n \pmod i == 0$，則設定 ans = 0（代表找到因數，判定為非質數）。
• 注意：此演算法在找到因數後並未使用 break 提早跳出，而是會跑滿完整迴圈直至 $i > h$。
• 輸出判斷：
• 若 ans == 1：輸出 Y（表示是質數）。
• 若 ans == 0：不符合 ans == 1、ans == 2、ans == 3，最終進入 else 輸出 N（表示非質數）。

2. 輸入數值詳細追蹤

針對使用者輸入的 17、18、19 逐筆追蹤：

• 第一筆輸入：$n = 17$
• $h = 17 / 2 = 8$。
• $i$ 從 2 遞增至 8，計算 $17 \pmod i$：
• $17 \pmod 2 = 1$

核心觀念

本題評量程式設計最基礎但也最關鍵的兩大概念：

1. 指派運算子（Assignment Operator）與記憶體覆寫（Variable Overwrite）： 在 C++ 中，單等號 = 是指派運算子，其語意為「評估右式（rvalue）的值，並複製寫入左式（lvalue）的變數記憶體中」。變數原先儲存的舊值在被賦予新值後會立即被覆寫消失。
2. 循序結構（Sequential Execution）與交換機制（Swap Pattern）： 程式碼由上而下逐行執行。若欲對調兩個變數的值，不能僅靠兩次相互指派；因為第一次指派會使其中一個變數的原始數值永久遺失，造成兩個變數最後持有相同數值。標準解法必須藉由「第三變數（暫存變數，Temporary Variable）」先備份其中一個數值，或呼叫標準函式庫提供的交換函式。

解題方法

(一) 與 (二) 的執行歷程與數值推導

透過「變數追蹤（Variable Trace）」逐步檢視記憶體狀態變化：

1. 初始狀態：

• 執行 int nA = 10;：記憶體配置整數變數 nA，其初始值為 $10$。
• 執行 int nB = 50;：記憶體配置整數變數 nB，其初始值為 $50$。

2. 第一道指派：

• 執行 nA = nB;：讀取 nB 的數值（$50$），並寫入 nA。
• 此時 nA 的舊值 $10$ 被覆蓋，nA 的值變為 $50$；nB 的值仍維持 $50$。

3. 第二道指派：

• 執行 nB = nA;：讀取 nA 當前的值（已是 $50$），並寫入 nB。
• 此時 nB 被寫入 $50$，其值依舊為 $50$。

4. 輸出結果：

• 執行 cout << "nA=" << nA << " nB=" << nB << endl;，印出 nA=50 nB=50。

推導結果：

• (一) $nA = 50$
• (二) $nB = 50$

(三) 程式修改方式說明（文字敘述）

核心觀念

本題測驗 C++ 的巢狀迴圈（Nested Loops）控制流程與字串跳脫字元（Escape Sequence）​的處理機制：

1. 巢狀迴圈與列印通式：外層迴圈控制輸出之「列數（Row）」，內層各獨立迴圈分別依據外層計數變數推導的通式，依序輸出指定數量的字元。
2. 跳脫字元機制：在 C/C++ 字串常數中，反斜線 \ 為跳脫字元（Escape Character）。欲輸出字元 \，必須寫成 "\\"，輸出時僅呈現單一反斜線。
3. 等差圖形對稱性：字元個數與列數 $i$ 呈線性代數關係。斜線數為遞減等差數列，星號數為奇數遞增等差數列。

解題方法

使用者輸入 $n = 5$。外層迴圈以變數 $i$ 計數，範圍為 $i = 1$ 至 $i = 5$（共 5 列）。各列執行順序如下：

1. 第 1 個內層迴圈：for (int j = 0; j < n - i; ++j) cout << "/"; 輸出正斜線 /，次數為 $n - i = 5 - i$ 次。
2. 第 2 個內層迴圈：for (int j = 0; j < i * 2 - 1; ++j) cout << "*"; 輸出星號 *，次數為 $2i - 1$ 次（即連續奇數數列）。
3. 第 3 個內層迴圈：for (int j = 0; j < n - i; ++j) cout << "\\"; 輸出反斜線 \，次數為 $n - i = 5 - i$ 次。
4. 換行指令：cout << endl; 換至下一列。

依各列逐一代入 $i$ 值進行追蹤（Trace Table）：

• 第 1 列（$i = 1$）：
• 正斜線 /：$5 - 1 = 4$ 個
• 星號 *：$2(1) - 1 = 1$ 個
• 反斜線 \：$5 - 1 = 4$ 個
• 該列輸出：////*\\\\
• 第 2 列（$i = 2$）：
• 正斜線 /：$5 - 2 = 3$ 個

核心觀念

本題為典型的「質因數分解（Prime Factorization）」演算法追蹤題，涵蓋以下核心程式邏輯與 C++ 語法觀念：

1. 質因數分解邏輯：從最小質數 $i = 2$ 開始嘗試整除，若能整除則重複除以 $i$ 並累計次數 $c$，直到無法整除為止。因為較小的合數因數早被其質因數除盡，故能整除的 $i$ 必定為質數。
2. 步進控制（三元運算子）：(i >= 3) ? (i += 2) : ++i;。當 $i=2$ 時執行 ++i 使 $i$ 變為 $3$；當 $i \ge 3$ 時每次遞增 $2$（即檢查 $3, 5, 7, 9, 11, 13 \dots$），藉由跳過所有偶數提升檢驗效率。
3. 動態邊界條件：外層迴圈條件為 i <= number_input。由於 number_input 在內層迴圈中會被動態除減（例如 $520 \to 65 \to 13 \to 1$），外層終止條件的上界會隨之急遽縮小，大幅減少迴圈次數。
4. 輸出格式控制：

• 次方符號：當次數 $c > 1$ 時才輸出 ^ 與次數。
• 乘號處理：當前質因數分解後，若剩餘的 number_input > 1，才輸出 " * "，避免在最後一個因數後方輸出多餘的乘號。

解題方法

題目輸入值為 520，程式執行之追蹤與推導步驟如下：

步驟一：輸入與前綴輸出

• cin >> number_input; 讀入 520。
• cout << number_input << " = "; 輸出：520 = （注意等號兩側有空格）。
• 初始化質數指標 i = 2。

步驟二：迴圈追蹤（逐輪推導）