107 原住民特考四等 衛生行政 生物統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題為公職國家考試「衛生行政」類科《生物統計學概要》最經典之基本名詞解釋題，評量考生對統計推論四大基石（抽樣分佈、假設檢定、相對離散度、線性關聯模型）之核心定義、數學公式、適用條件及公衛實務意涵：

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：抽樣分佈理論的核心，說明任意母體在樣本數夠大時，樣本平均數的漸近常態性。
2. 統計學 $P$ 值（Statistical $P$ value）：顯著性檢定與假說檢定（Hypothesis Testing）中，依據樣本證據推翻虛無假設的機率度量。
3. 變異係數（Coefficient of Variation, CV）：消除單位與平均值尺度影響的「相對離散程度」指標。
4. 迴歸係數（Regression Coefficient）：線性迴歸分析中，自變項對依變項平均邊際變化的量化斜率估計。

解題方法

申論名詞解釋題（每小題 5 分）之作答標準結構為「精確定義 $\rightarrow$ 數學公式與符號 $\rightarrow$ 適用條件與公衛應用」：

1. (一) 中央極限定理：切入點為「任意分佈母體」、「有限變異數」與「樣本平均數的極限分佈」。寫出漸近分佈式，並指出 $n \ge 30$ 之大樣本經驗法則。
2. (二) 統計學 $P$ 值：切入點為條件機率本質 $P(\text{極端樣本結果} \mid H_0 \text{ 為真})$，明確說明決策準則（$P \le \alpha$ 拒絕 $H_0$）與常見迷思（非母體假說為真的機率）。
3. (三) 變異係數：切入點為「標準差除以平均數」之相對指標，著重其「無因次（無單位）」特質及在跨單位、跨尺度變異比較之優勢。
4. (四) 迴歸係數：切入點為迴歸直線方程式 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$，說明 $\beta_1$ 代表 $X$ 每增減一單位時 $Y$ 平均變化的期望值，並延伸至多元迴歸之「控制其他變數不變」之公衛流病意涵。

選項分析

本題為非選擇題（申論名詞解釋題），無待選項目。閱卷給分標準與失分陷阱如下：

• (一) 中央極限定理：
• 正確給分點：必須點出「母體變異數有限」、「樣本數 $n$ 夠大時」、「樣本平均數 $\bar{X}$ 趨近常態分佈」。
• 常見扣分點：誤寫成「原始母體資料趨近常態」或漏提「有限變異數」。
• (二) 統計學 $P$ 值：
• 正確給分點：必須寫出「在虛無假設為真的前提下」，觀察到「當前樣本結果或更極端結果」的機率。
• 常見扣分點：誤寫為「虛無假設為真的機率（$P(H_0)$）」或「研究出錯的機率」，此為公職閱卷零分陷阱。
• (三) 變異係數：
• 正確給分點：列出公式 $\text{CV} = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$，指出無單位特性，並指明適用於「等比尺度（比率尺度）」。
• 常見扣分點：未提及適用於等比尺度（有絕對零點），或未說明用於不同單位間的離散比較。
• (四) 迴歸係數：
• 正確給分點：寫出模型並解釋「$X$ 增加一單位，$\hat{Y}$ 之平均改變量」，兼論正負符號之方向性。
• 常見扣分點：僅簡答為「斜率」，未說明母數與估計量之區別或未說明其具量綱（有測量單位）。

解題技巧

1. 配分篇幅控制：5 分題作答以 4 至 6 行為黃金比例，結構採「定義 + 算式 + 特性/限制」，切忌只寫一行口語化白話。
2. 高分公式化呈現：只要有名詞涉及量化概念（CLT、CV、迴歸係數），務必寫出標準統計符號與數學式。
3. 避開流行病學與生統三大致命陷阱：

• $P$ 值是 $P(\text{Data} \mid H_0)$，絕非 $P(H_0 \mid \text{Data})$。
• 變異係數只能用於等比尺度（如身高、體重、膽固醇濃度），不可用於等距尺度（如攝氏溫度、血壓的相對變化差值），因缺乏真實絕對零點。
• 相關係數 $r$ 無單位，但簡單未標準化迴歸係數 $b_1$「有單位」（$Y$ 的單位 / $X$ 的單位）。

【答案】

(一) 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）

1. 定義與意涵： 設從一具有平均數 $\mu$ 及有限變異數 $\sigma^2$（$\sigma^2 < \infty$）的任意分佈母體中，隨機抽取容量為 $n$ 的獨立同分佈（i.i.d.）樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$。

核心觀念

本題為典型的公衛生物統計學基礎題型，整合了「測量尺度」、「敘述統計量」與「單一樣本母體平均值之參數推論」，核心觀念涵蓋以下三大範疇：

1. 變數的測量尺度（Stevens' Scales of Measurement）： 變數依其測量精細程度由低至高可分為四種尺度：

• 名義尺度（Nominal scale）：僅供分類，無大小、順序與等距意義（如：性別、有無齲齒、血型）。
• 次序尺度（Ordinal scale）：具等級或高低順序關係，但級距間隔不相等，無法進行加減運算（如：疾病嚴重程度、疼痛量表、視力）。
• 等距尺度（Interval scale）：具有數值大小與等距性，可進行加減運算，但無絕對零點（如：攝氏溫度、智商）。
• 等比尺度（Ratio scale）：具等距性且具絕對零點（True zero），可進行乘除運算（如：身高、體重、膽固醇濃度）。

2. 樣本集中趨勢與離散趨勢指標：

• 樣本平均數（Sample Mean, $\bar{x}$）：$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• 中位數（Median, $\tilde{x}$ 或 $Me$）：將資料由小到大排序後，位於中間位置之數值。若樣本數 $n$ 為偶數，則取第 $\frac{n}{2}$ 與第 $\frac{n}{2}+1$ 個觀察值之算術平均數。
• 樣本標準差（Sample Standard Deviation, $s$）：$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2}{n}}{n - 1}}$
• 百分位數與四分位距（Interquartile Range, $IQR$）：第 $25$ 百分位數為第一四分位數（$Q_1$），第 $75$ 百分位數為第三四分位數（$Q_3$），四分位距定義為：$IQR = Q_3 - Q_1$

3. 母體平均數之區間估計（常態母體、$\sigma$ 未知）： 當母體服從常態分布、母體標準差 $\sigma$ 未知且為小樣本（$n < 30$）時，樣本平均數標準化後服從自由度 $df = n - 1$ 的 Student's $t$ 分布：$T = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n - 1)$ 母體平均數 $\mu$ 之 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間（Confidence Interval, CI）為：$\bar{x} \pm t_{n-1, \, 1-\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

解題方法

(一) 視力與有無齲齒之測量尺度判定

1. 有無齲齒：

• 屬名義尺度（Nominal scale，或稱類別尺度、名目尺度）。
• 理由：其測量結果僅有「有」與「無」二種互斥的分類狀態，純粹用於辨識類別，數值之間不具高低順序性，亦無加減乘除之數學距離意義。

2. 視力：

• 屬次序尺度（Ordinal scale，或稱順序尺度）。
• 理由：臨床與學校健檢常以小數視力值（如 $0.8$、$1.0$、$1.2$）或視力分級（如視力不良、正常）呈現。雖然小數視力以數字表示，但數值級距間不具等距性（例如：視力由 $0.1$ 進步至 $0.2$ 所代表的視角解析度變化，與 $0.9$ 至 $1.0$ 截然不同），其核心意義僅能比較視覺敏銳度的高低優劣，故為次序尺度。（註：若由物理最小分辨角視角倒數且具絕對無光感之極端物理定義視之，少數文獻偶見等比尺度討論，但公衛生物統計標準規範仍判定為次序尺度）。

(二) 總膽固醇之平均值、中位數與標準差計算

將 $12$ 位學生之總膽固醇數據由小到大排序： $x_{(1)} = 123, \; x_{(2)} = 136, \; x_{(3)} = 138, \; x_{(4)} = 140, \; x_{(5)} = 148, \; x_{(6)} = 150,$ $x_{(7)} = 152, \; x_{(8)} = 153, \; x_{(9)} = 160, \; x_{(10)} = 162, \; x_{(11)} = 178, \; x_{(12)} = 188$

1. 平均值（$\bar{x}$）： $\sum_{i=1}^{12} x_i = 123 + 136 + 138 + 140 + 148 + 150 + 152 + 153 + 160 + 162 + 178 + 188 = 1828$ $\bar{x} = \frac{1828}{12} = \frac{457}{3} \approx 152.33 \text{ mg/dL}$

2. 中位數（$Me$）： 因樣本數 $n = 12$ 為偶數，中位數為排序後第 $6$ 位與第 $7$ 位數值之平均值： $Me = \frac{x_{(6)} + x_{(7)}}{2} = \frac{150 + 152}{2} = 151 \text{ mg/dL}$

3. 樣本標準差（$s$）： 先計算離均差平方和（Sum of Squares, $SS$）： $\sum_{i=1}^{12} x_i^2 = 123^2 + 136^2 + 138^2 + 140^2 + 148^2 + 150^2 + 152^2 + 153^2 + 160^2 + 162^2 + 178^2 + 188^2 = 282058$ $SS = \sum_{i=1}^{12} x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n} = 282058 - \frac{1828^2}{12} = 282058 - 278465.3333 = 3592.6667$ 樣本變異數： $s^2 = \frac{SS}{n - 1} = \frac{3592.6667}{11} \approx 326.6061$ 樣本標準差： $s = \sqrt{326.6061} \approx 18.07 \text{ mg/dL}$

(三) 第 $25$、第 $75$ 百分位數與四分位距（IQR）

依據公衛生物統計學最常採用的百分位數定義位置法：位置指標 $L = n \times P$。

1. 第 $25$ 百分位數（$P_{25}$ 或 $Q_1$）： $L = 12 \times 0.25 = 3$ 由於 $L = 3$ 為整數，第 $25$ 百分位數為第 $3$ 位與第 $4$ 位數值的平均值：

核心觀念

本題評量列聯表卡方獨立性檢定（Chi-Square Test of Independence），適用於探討兩個類別變項（燒香暴露程度 vs. 氣喘發生與否）之間是否存在統計相關。

1. 邊際合計與總樣本數： 設列聯表有 $r$ 列（Row）、$c$ 行（Column），各細格之觀察個數為 $O_{ij}$。

• 第 $i$ 列邊際合計：$R_i = \sum_{j=1}^c O_{ij}$
• 第 $j$ 行邊際合計：$C_j = \sum_{i=1}^r O_{ij}$
• 總樣本數：$N = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c O_{ij}$

2. 期望個數（Expected Frequency, $E_{ij}$）： 在兩變數互相獨立（無關）的虛無假設下，第 $i$ 列第 $j$ 行的期望個數公式為： $E_{ij} = \frac{R_i \times C_j}{N}$

3. 皮爾森卡方檢定統計量（Pearson's Chi-Square Statistic）： $\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$ 自由度為： $df = (r - 1)(c - 1)$

4. 檢定決策法則： 當計算之卡方值 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha}(df)$ 時，拒絕虛無假設 $H_0$；反之，若 $\chi^2 \le \chi^2_{\alpha}(df)$，則無法拒絕 $H_0$。

解題方法

步驟一：彙整列聯表邊際總和

首先將題目給定之 $2 \times 3$ 列聯表計算各列、各行之邊際總和（Marginal Totals）：

• 總樣本數 $N = 95 + 90 + 70 + 5 + 10 + 30 = 300$
• 無氣喘列合計 $R_1 = 95 + 90 + 70 = 255$
• 有氣喘列合計 $R_2 = 5 + 10 + 30 = 45$
• 無燒香行合計 $C_1 = 95 + 5 = 100$
• 偶爾燒香行合計 $C_2 = 90 + 10 = 100$
• 每日燒香行合計 $C_3 = 70 + 30 = 100$

步驟二：各小題推導與計算

(一) 計算指定細格的期望個數

1. 偶爾燒香但無氣喘發生（第 1 列、第 2 行，記為 $E_{12}$）： $E_{12} = \frac{R_1 \times C_2}{N} = \frac{255 \times 100}{300} = 85$

2. 每日燒香且有氣喘發生（第 2 列、第 3 行，記為 $E_{23}$）： $E_{23} = \frac{R_2 \times C_3}{N} = \frac{45 \times 100}{300} = 15$

(二) 設立虛無假設與對立假設

本檢定為獨立性檢定，探討「燒香暴露」與「學童氣喘發生」兩者是否有關聯：

• 虛無假設（$H_0$）：燒香暴露與學童氣喘發生無關（或兩者互相獨立）。
• 對立假設（$H_1$）：燒香暴露與學童氣喘發生有關（或兩者不互相獨立）。

(三) 計算卡方值與判定檢定結果

1. 計算所有 6 個細格的期望個數 $E_{ij}$： 由於各行合計皆為 $C_1 = C_2 = C_3 = 100$：

• 第 1 列各格期望值均為：$E_{1j} = \frac{255 \times 100}{300} = 85$（$j = 1, 2, 3$）
• 第 2 列各格期望值均為：$E_{2j} = \frac{45 \times 100}{300} = 15$（$j = 1, 2, 3$）

2. 計算各細格之 $\frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$：

• 格子 $(1, 1)$（無燒香、無氣喘）： $\frac{(95 - 85)^2}{85} = \frac{10^2}{85} = \frac{100}{85} \approx 1.176$

核心觀念

本題考查單因子獨立樣本變異數分析（One-way ANOVA）​的理論與計算應用，為衛生行政類科公職考試的高頻考點。核心觀念涵蓋：

1. 分析方法選用：比較三組（含）以上獨立母體之連續型變數平均值是否相等，應採用單因子變異數分析，避免因多次使用獨立樣本雙樣本 $t$ 檢定而膨脹第一型錯誤率（Family-wise Type I error inflation）。
2. 假設設定：虛無假設表示各組母體平均值皆相同，對立假設為各組母體平均值不全相等（至少有兩組存在差異）。
3. 平方和分解（Sum of Squares Partitioning）：總平方和分解為組間平方和（Between-group sum of squares, $SSB$）與組內平方和（Within-group sum of squares, $SSW$）。 $SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$ $SSW = \sum_{i=1}^k (n_i - 1) s_i^2$
4. 標準誤與樣本變異數的轉換：題目提供組別標準誤（Standard Error, $SE_i = \frac{s_i}{\sqrt{n_i}}$），必須先推導還原為樣本變異數 $s_i^2 = n_i \times (SE_i)^2$，方可求得組內平方和。
5. $F$ 檢定決策法則：藉由平均組間平方和（$MSB$）與平均組內平方和（$MSW$）之比值計算 $F$ 統計量，並與自由度為 $(k-1, N-k)$ 的 $F$ 臨界值比較以判定顯著性。

解題方法

(一) 統計方法選用

• 方法名稱：單因子變異數分析（One-way Analysis of Variance, One-way ANOVA）或單因子獨立樣本變異數分析。
• 理由：

1. 自變項為「社經地位」，包含低、中、高共 $3$ 個獨立組別（分類變項）。
2. 依變項為青少年的「身體質量指數（BMI）」，屬於連續型數值變項。
3. 目的在於同時檢定 $3$ 組獨立青少年的平均 BMI 是否存在顯著差異，故採用單因子變異數分析最為適當。

(二) 虛無假設與對立假設

設 $\mu_1$、$\mu_2$、$\mu_3$ 分別代表低、中、高社經地位青少年群體之身體質量指數（BMI）的母體平均值：

• 虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）： $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ （即低、中、高社經地位三組青少年群體的身體質量指數母體平均值皆無顯著差異）
• 對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$）： $H_1: \mu_1, \mu_2, \mu_3 \text{ 不全相等}$ （即至少有兩組社經地位青少年群體的身體質量指數母體平均值存在顯著差異）

(三) 組間平方和（$SSB$）與組內平方和（$SSW$）之計算

1. 組間平方和（$SSB$）計算

• 總樣本數 $N$： $N = n_1 + n_2 + n_3 = 25 + 25 + 30 = 80$
• 總平均值（Grand Mean, $\bar{X}_{\cdot\cdot}$）： $\bar{X}_{\cdot\cdot} = \frac{\sum_{i=1}^3 n_i \bar{X}_i}{N} = \frac{25(23.6) + 25(22.4) + 30(21.2)}{80} = \frac{590 + 560 + 636}{80} = \frac{1786}{80} = 22.325$
• 組間平方和 $SSB$： $SSB = \sum_{i=1}^3 n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{\cdot\cdot})^2$

• 低社經組：$25 \times (23.6 - 22.325)^2 = 25 \times (1.275)^2 = 25 \times 1.625625 = 40.640625$
• 中社經組：$25 \times (22.4 - 22.325)^2 = 25 \times (0.075)^2 = 25 \times 0.005625 = 0.140625$
• 高社經組：$30 \times (21.2 - 22.325)^2 = 30 \times (-1.125)^2 = 30 \times 1.265625 = 37.96875$ $SSB = 40.640625 + 0.140625 + 37.96875 = 78.75$

2. 組內平方和（$SSW$）計算

依據標準誤定義 $SE_i = \frac{s_i}{\sqrt{n_i}}$，可推得各組樣本變異數為 $s_i^2 = n_i \times (SE_i)^2$，進而求得各組離均差平方和 $SS_i = (n_i - 1) s_i^2$：

• 低社經組 ($i=1$)： $s_1^2 = n_1 \times (SE_1)^2 = 25 \times (0.54)^2 = 25 \times 0.2916 = 7.29$ $SS_1 = (n_1 - 1) s_1^2 = (25 - 1) \times 7.29 = 24 \times 7.29 = 174.96$
• 中社經組 ($i=2$)： $s_2^2 = n_2 \times (SE_2)^2 = 25 \times (0.48)^2 = 25 \times 0.2304 = 5.76$