114 原住民特考四等 測量製圖類科 誤差理論概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量誤差中「觀測值與真值接近的程度」及「重複觀測彼此接近的程度」兩個不同概念。

• 精確度（accuracy）：觀測結果接近真值或公認參考值的程度。精確度高，表示觀測結果的整體偏差小。
• 精密度（precision）：重複觀測結果彼此接近、一致的程度。精密度高，表示觀測值的分散程度小。

解題方法

可分別從「相對真值」與「觀測值彼此之間」判斷：

設真值為 $X$，重複觀測值為 $x_1,x_2,\ldots,x_n$。若各觀測值的平均值 $\bar{x}$ 接近 $X$，可說精確度高；若各觀測值集中、彼此差異小，則精密度高。精密度常以標準差等統計量描述，標準差越小，觀測結果越精密。

兩者差異

核心觀念

本題考查等精度直接觀測的算術平均、單次觀測標準差，以及平均值（最或是值）的標準差。

各次觀測精度相同且相互獨立時，最或是值為算術平均：

單次觀測的樣本標準差為：

最或是值的標準差為：

解題方法

先將六次角度換成以「秒」為單位的數值，計算平均與殘差，再由殘差平方和求標準差。秒數部分依序為：

其中最後一次觀測 $120^\circ01'10''$ 明顯偏離其他觀測；題目未指定剔除粗差，因此仍納入六筆資料計算。

六筆觀測的平均秒數為：

因此最或是值為：

再以平均值計算各觀測的殘差。為便於計算，將殘差以秒表示：

核心觀念

本題考查誤差傳播律。已知 $x=5.0\pm1.0$、$y=10.0\pm1.0$，視 $1.0$ 為各變數的標準差，並假設 $x$、$y$ 彼此不相關。對線性函數

其期望值為 $aE(x)+bE(y)+c$；若 $x$、$y$ 不相關，變異數為

兩函數 $f_1=a_1x+b_1y+c_1$、$f_2=a_2x+b_2y+c_2$ 的共變異數為

相關係數則為

常數項只影響函數值，不影響標準差或共變異數。

解題方法

（一）計算 $f_1$ 及 $f_2$

將 $x=5.0$、$y=10.0$ 代入：

（二）標準差及相關係數

兩變數的標準差均為 $1.0$，且假設不相關，故 $\sigma_x^2=\sigma_y^2=1.0$。

核心觀念

本題考查測量觀測誤差的分類，以及偶然誤差與系統誤差在成因、表現和處理方式上的差異。誤差可概分為偶然誤差、系統誤差與粗差；本題聚焦前兩者。

解題方法

作答時可依序比較「誤差成因、重複觀測時的表現、能否預測或改正、對觀測成果的影響」，再說明兩者在測量作業中的處理方式。

偶然誤差（隨機誤差）

偶然誤差是由許多微小且難以完全控制的因素共同造成，單次觀測的誤差方向與大小具有偶然性。例如讀數時的微小判斷差異、儀器短時間內的細微變化，以及大氣狀況的瞬時變動。

其主要特性如下：

• 同一條件下重複觀測，誤差會在正、負兩側隨機分布，沒有固定方向。
• 小誤差出現的機會通常大於大誤差；誤差絕對值愈大，出現機率通常愈低。
• 在觀測條件穩定且不存在偏差時，正、負誤差長期平均趨近於零。
• 單次誤差難以事先確定或直接消除；可藉由增加觀測次數、取平均或採用最小二乘法，降低其對成果的影響。
• 重複觀測可以估計其精度，例如以標準差或中誤差描述離散程度。

系統誤差