114 地方特考三等 統計類科 抽樣方法與迴歸分析 考古題詳解

在一地區抽樣調查 $400$ 人，其中有 $40$ 人使用 A 品牌手機。

(一) 試求此地區使用 A 品牌手機人數比例 $p$ 的 $95\%$ 信賴區間（註：$Z_{0.025}=1.96$）。

(二) 若誤差 $e=|\hat{p}-p|=0.04$，則在 $95\%$ 的信賴水準下，樣本大小 $n$ 至少應為多少？

某位統計學家想估計 A 鎮居民每月生活花費。設該鎮有 $N=120$ 鄰，此統計學家隨機抽出 $n=4$ 鄰，再由其中抽出數戶，得資料如下（單位：千元）：

試求：

(一) 該鎮居民每月平均生活花費 $\bar{Y}$ 的比例機率兩階段估計值。

(二) 該鎮居民每月平均生活花費 $\bar{Y}$ 的 $95\%$ 近似信賴區間。

統計學家對某組數據，以最小平方法所配適的迴歸線為：

$\hat{y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_{1i}$

其中最小平方法估計式

$\hat{\beta}_1=\frac{S_{x_1y}}{S_{x_1x_1}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{1i}-\bar{x}_1)(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{1i}-\bar{x}_1)^2}。$

但實際上，反應值 $y_i$ 還會受到第二個變數 $x_2$ 影響，因此真實的迴歸線如下：

$E(y_i)=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}$

在此情形下，請問以最小平方法估計式 $\hat{\beta}_1$ 來估計 $\beta_1$ 的偏誤量（bias）為多少？請詳細列出偏誤量的數學式及其推導過程。

簡單線性迴歸模型如下：

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\epsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n$

其中 $\epsilon_i$ 為 iid 且服從 $N(0,\sigma^2)$。今某高中老師蒐集 $12$ 位學生的英文成績（$X$）及數學成績（$Y$）如下：

(一) 請以此資料配適簡單線性迴歸模型。

(二) 以所配適的模型，預測當學生英文成績為 $69$ 時，數學成績為何？

(三) 請以 $\alpha=0.05$，進行雙尾檢定 $H_0:\beta_1=0$，$H_1:\beta_1\ne0$。請寫出詳細檢定過程與結果（註：$t_{10,0.025}=2.2281$；$t_{11,0.025}=2.2010$；$t_{12,0.025}=2.1788$）。