114 地方特考三等 電信工程類科 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題結合惠斯登電橋與理想運算放大器。理想運放輸入電流為零，且在負回授下 $v_-=v_+$；前兩級是電壓跟隨器，因此不會對電橋分壓造成負載。最後一級則依兩側電阻網路求出輸出電壓與支路電流。

解題方法

1. 求電橋兩個中點電壓

左側由 $1\,\text{k}\Omega$ 與 $800\,\Omega$ 串聯分壓：

右側由兩個 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻分壓：

前兩級運放為電壓跟隨器，故其輸出分別等於電橋中點電壓。

2. 求電橋電流 $i_1$

依圖示箭頭方向，$i_1$ 流過左下方的 $800\,\Omega$ 電阻：

3. 求最後一級運放的輸出與電流

非反相端由 $v_2$ 經 $1\,\text{k}\Omega$ 與接地的 $1\,\text{k}\Omega$ 分壓：

核心觀念

這題考查直流階躍接入串聯 $RL$ 電路時的暫態響應。電感的電壓與電流關係為

串聯電路的時間常數為

題圖的 $v_{\mathrm{out}}$ 是電感兩端電壓，上端為正、下端接地。

解題方法

開關於 $t=0$ 接通 $5\ \mathrm{V}$ 電源。依基爾霍夫電壓定律，

由於電感初始電流為 $0$，電感電流的階躍響應為

先計算時間常數：

因此

核心觀念

本題考查交流穩態下的元件阻抗、理想變壓器的阻抗反映，以及電阻的平均功率。角頻率為 $\omega=1000\ \mathrm{rad/s}$，理想變壓器匝數比依圖為一次側：二次側 $N_1:N_2=1:2$。

解題方法

先將負載電阻反映至一次側，再與電容、電感的阻抗串聯，求出電源端看到的總阻抗。

電容阻抗為

電感阻抗為

理想變壓器將二次側負載反映至一次側的阻抗為

因此電源看到的總阻抗為

電感與電容的電抗互相抵銷，總阻抗為純電阻。電源電壓的有效值為 $V_{\mathrm{rms}}=10/\sqrt{2}\ \mathrm{V}$，故一次側電流有效值為

核心觀念

輸入端的串聯電容與接地電阻形成一階 RC 濾波網路。運算放大器以輸出端經 $100\,\Omega$ 電阻回授至反相輸入端，構成電壓追隨器。理想運算放大器的輸入電流為零，因此回授電阻上沒有壓降，輸出電壓等於同相輸入電壓，電壓追隨器的增益為 $1$。

解題方法

設電容與電阻接點的電壓為 $V_+$。由阻抗分壓，電容阻抗為 $Z_C=1/(j\omega C)$，故

電壓追隨器使 $V_{\mathrm{out}}=V_+$，所以整體傳遞函數為

當頻率趨近於零時，電容近似開路，輸出趨近於零；當頻率升高時，電容近似短路，輸出趨近於輸入。因此此電路為高通濾波器。

代入 $R=1\,\mathrm{k}\Omega$、$C=10\,\mu\mathrm{F}$：

核心觀念

本題考查交流穩態下的阻抗與共軛匹配。戴維寧等效源的內阻為 $R_s=100\,\Omega$，且沒有內部電抗，因此其源阻抗為 $Z_s=100+j0\,\Omega$。要使負載取得最大平均功率，源端所見的等效負載阻抗須為源阻抗的共軛：

圖中的電容與負載並聯，故以並聯導納求出所需電容較直接。

解題方法

（一）求負載阻抗

負載由 $50\,\mu\mathrm{H}$ 電感與 $50\,\Omega$ 電阻串聯而成。輸入角頻率為 $\omega=10^6\,\mathrm{rad/s}$，所以電感阻抗為

因此

實部為 $50\,\Omega$，虛部為 $+50\,\Omega$。

（二）求電容並聯負載後的等效阻抗

最大平均功率傳輸時，並聯支路的等效阻抗須符合共軛匹配：

（三）求電容值

先將負載阻抗換成導納：