114 地方特考三等 漁業技術類科 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考樣本資料的集中與離散程度。10 顆文蛤視為一組樣本，樣本平均值為各觀測值的算術平均；樣本變異數以偏差平方和除以 $n-1$ 計算；樣本標準差是樣本變異數的平方根；變異係數則以標準差除以平均值，表示相對離散程度。

解題方法

資料為 $12、14、18、16、15、11、17、13、10、14$，樣本數 $n=10$。先計算平均值，再求各數值與平均值的偏差及其平方。

（一）樣本平均值

資料總和為：

因此：

（二）樣本變異數

各觀測值與平均值 $14$ 的偏差平方和為：

樣本變異數的分母使用 $n-1=9$：

核心觀念

本題考查母體平均數的估計與檢定。題目只提供樣本標準差 $s=0.8$ 公斤，沒有提供母體標準差 $\sigma$，且母體體重假設為常態分布，因此使用自由度 $n-1$ 的 $t$ 分配。

樣本數 $n=25$，故自由度為 $24$，樣本平均數 $\bar{x}=5$ 公斤，樣本標準差 $s=0.8$ 公斤。

（一）母體平均體重的 95% 信賴區間

解題方法

母體標準差未知時，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

本題 $\alpha=0.05$，查自由度 $24$ 的 $t$ 分配表，得 $t_{0.025,24}\approx 2.064$。標準誤為：

因此誤差範圍為：

信賴區間為：

四捨五入至小數點後兩位，養殖池中石斑魚平均體重的 $95\%$ 信賴區間約為 $4.67$ 至 $5.33$ 公斤。

（二）檢定平均體重是否為 6 公斤

解題方法

「平均體重應該是 6 公斤」是對母體平均數的等值主張。要檢定此主張是否屬實，設定雙尾檢定：

核心觀念

本題先檢定兩母體變異數是否相等，再依檢定結果選擇兩獨立樣本平均數檢定的方法。兩船樣本互相獨立，且題目假設魚體重皆呈常態分布，因此：

• 變異數相等與否：使用 $F$ 檢定。
• 兩母體平均數比較：變異數相等時用合併變異數 $t$ 檢定；不相等時用 Welch $t$ 檢定。

題目未指定方向，兩子題皆採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

（一）檢定兩船魚隻體重變異數是否有顯著差異

設甲、乙船魚隻體重母體變異數分別為 $\sigma_A^2$、$\sigma_B^2$。

假設與檢定統計量

將較大的樣本變異數放在分子：

自由度為 $(n_A-1,n_B-1)=(8,8)$。雙尾檢定每側 $\alpha/2=0.025$；上側臨界值約為 $F_{0.975}(8,8)=4.433$。由於兩自由度相同，下側臨界值為其倒數，約 $0.226$。

判定與結論

拒絕域為 $F<0.226$ 或 $F>4.433$。本題 $F=1.7778$ 未落入拒絕域，因此不拒絕 $H_0$。

在 $\alpha=0.05$ 下，沒有足夠證據認定甲、乙兩船魚隻體重的母體變異數有顯著差異；後續平均數檢定採用等變異數假設。

（二）檢定兩船魚隻平均體重是否不同

設甲、乙船魚隻體重母體平均數為 $\mu_A$、$\mu_B$。依子題（一）的結果，使用合併變異數兩獨立樣本 $t$ 檢定。

假設與合併變異數

合併變異數估計量為：

核心觀念

（一）檢定四個月份的雌、雄魚比例是否相同，使用 $2\times4$ 列聯表的卡方同質性檢定。虛無假設為各月份的性別比例相同；對立假設為至少一個月份的性別比例不同。

（二）比較一月與七月雌魚比率，使用 兩母體比例單尾檢定。令 $p_1$、$p_7$ 分別代表一月與七月的雌魚母體比率，題目要檢定 $p_1<p_7$。

（一）四個月份的性別比例是否有顯著差異

各月份總尾數及全體雌、雄魚總數為：

設顯著水準 $\alpha=0.05$，假設為：

在 $H_0$ 成立下，各格的期望次數為：

例如一月雌魚的期望次數為 $123\times20/205=12$。各格期望次數如下：

卡方統計量為：

自由度為：