112 地方特考三等 養殖技術類科 生物統計學 考古題詳解
第 一 題25 分
某研究邀請一位醫師協助進行疾病狀態之評估，每一位參與研究之對象，均經過二位醫師之診斷，結果如下表。為瞭解二位醫師的診斷是否有差異，請以適當之統計方法進行檢定（請寫出完整的檢定步驟、相關之統計量，以及檢定之結果）。
| 乙醫師＼甲醫師 | 有病 | 沒有病 |
|---|---|---|
| 有病 | 80 | 10 |
| 沒有病 | 20 | 90 |
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核心觀念
本題資料來自同一批研究對象，且每位對象同時接受甲、乙兩位醫師診斷，屬於「配對名目資料」。因此應使用 McNemar 檢定，檢驗兩位醫師的診斷結果是否具有系統性差異。
檢定重點不是所有格數是否獨立，而是兩種不一致診斷的次數是否相同：
- 甲醫師判定有病、乙醫師判定沒有病：
- 甲醫師判定沒有病、乙醫師判定有病：
解題方法
1. 提出假設
令 表示乙醫師判定沒有病而甲醫師判定有病的機率，令 表示乙醫師判定有病而甲醫師判定沒有病的機率。
此為雙尾檢定。
2. 整理不一致診斷資料
一致診斷資料為 與 ，不影響 McNemar 檢定；有效檢定樣本數為：
在虛無假設成立時，兩種不一致診斷的期望次數均為：
3. 計算 McNemar 檢定統計量
採用連續性修正：
代入 、：
其自由度為：
在顯著水準 下，卡方臨界值為：
因為：
故不拒絕 。
第 二 題25 分
某營養師欲評估減重介入方案之成效，以 12 位參與減重的個案進行介入前後的比較。方案進行 12 週之後，體重的結果如下表。假設族群中體重的分布為常態分布，請檢定該介入方案是否有效地降低參與者的體重？（請寫出完整的檢定步驟、相關之統計量以及檢定之結果。）
| 個案編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 介入前體重（kg） | 88 | 67 | 54 | 71 | 75 | 68 | 95 | 84 | 64 | 76 | 61 | 78 |
| 介入後體重（kg） | 76 | 63 | 55 | 67 | 66 | 65 | 78 | 79 | 64 | 70 | 63 | 75 |
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核心觀念
本題比較同一批 12 位個案介入前、後的體重，兩組資料具有配對關係，因此應使用「成對樣本平均數差異之 檢定」（paired test），不可使用獨立樣本 檢定。
令每位個案的減重差值為：
若 ，表示體重下降。題目假設體重分布為常態分布，適用成對樣本 檢定。
解題方法
一、建立假設
欲檢定介入方案是否能降低體重，因此採單尾檢定：
其中 為全體參與者平均減重公斤數。
通常取顯著水準：
二、計算各個案減重差值
差值總和為：
樣本數：
平均減重為：
表示樣本平均每人減重 公斤。
三、計算樣本標準差
各差值離均差平方和為：
樣本變異數：
樣本標準差：
四、計算檢定統計量
成對樣本 統計量為：
在虛無假設下 ，因此：
第 三 題30 分
近年來，運動被視為對於高血脂預防具有相當成效的方式。某研究人員想要知道運動頻率是否對總膽固醇濃度（）的下降產生效果，以線性迴歸模型加以分析 200 名樣本，並且為了避免年齡、性別的干擾，因此也將此二變項放在模型中加以控制。線性迴歸分析表格如下，請回答下列問題：
| 模式 | 估計值 | 標準誤 | 顯著性 | |
|---|---|---|---|---|
| 常數 | 22.4 | 2.6 | 8.5 | .000 |
| 年齡（歲） | 2.3 | 1.2 | 1.6 | .260 |
| 性別（男vs.女） | 10.8 | 2.7 | 6.8 | .001 |
| 運動頻率（次／週） | -3.5 | 1.6 | -3.9 | .015 |
| .12 |
（一）請寫出完整之迴歸方程式並說明模型解釋力。
（二）請問那些變項對總膽固醇濃度有顯著影響？如何解釋？
（三）請對此一結果做綜合性之解釋。
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核心觀念
本題考查多元線性迴歸模型。以總膽固醇濃度 為依變項，年齡、性別及運動頻率為自變項，利用迴歸係數 判斷各變項在「控制其他變項後」對 的影響。
多元迴歸模型的一般式為：
其中， 表示所有自變項共同解釋依變項變異的比例。
（一）迴歸方程式與模型解釋力
假設性別以虛擬變項表示：
- 男性：
- 女性：
依表中 估計值，完整迴歸方程式為：
其中：
- ：預測之總膽固醇濃度，單位為
- 年齡：以歲為單位
- 性別：男性為 、女性為
- 運動頻率：每週運動次數
模型的決定係數為：
表示年齡、性別及運動頻率三個變項共同解釋總膽固醇濃度總變異的 ，其餘約 的變異，則由其他未納入模型的因素及隨機誤差所造成。
因此，本模型具有一定解釋力，但整體解釋程度不高，仍有許多影響總膽固醇濃度的因素未被納入。
（二）顯著影響總膽固醇濃度的變項
通常以顯著水準 判斷，當 時，表示該變項具有統計上顯著影響。
1. 年齡
年齡的顯著性為 ：
因此，年齡對總膽固醇濃度的影響未達統計顯著。
雖然其迴歸係數為 ，表示在控制性別及運動頻率後，年齡每增加 1 歲，預測總膽固醇濃度增加約 ；但此增加未達統計顯著，不能據此認定年齡確實造成總膽固醇濃度上升。
2. 性別
性別的顯著性為 ：
因此，性別對總膽固醇濃度具有統計上顯著影響。
性別迴歸係數為 ，表示在年齡及運動頻率相同的條件下，男性的預測總膽固醇濃度比女性高約：
第 四 題20 分
觀察某地區空氣品質之指標 持續 100 天，按照濃度（）大小排列如下表，請回答下列問題：
| 51 | 62 | 64 | 69 | 70 | 71 | 72 | 74 | 74 | 74 |
| 74 | 74 | 75 | 75 | 77 | 77 | 78 | 78 | 79 | 79 |
| 79 | 79 | 79 | 80 | 80 | 82 | 82 | 83 | 83 | 83 |
| 83 | 84 | 84 | 84 | 84 | 85 | 85 | 85 | 85 | 86 |
| 86 | 86 | 86 | 86 | 86 | 87 | 88 | 88 | 89 | 89 |
| 90 | 90 | 90 | 90 | 91 | 91 | 91 | 91 | 92 | 92 |
| 93 | 93 | 93 | 93 | 94 | 94 | 95 | 96 | 96 | 96 |
| 96 | 97 | 98 | 98 | 98 | 98 | 98 | 99 | 99 | 99 |
| 99 | 99 | 100 | 101 | 102 | 102 | 104 | 105 | 107 | 108 |
| 108 | 111 | 112 | 112 | 113 | 116 | 118 | 120 | 122 | 131 |
（一）平均數、中位數、眾數、、 各為多少？
（二）根據這些數值，此地區空氣品質之分布為何種型態（常態、左偏、右偏）？
（三）請以 為區間，列出頻率分配表（需含區間端點、次數、百分比、累積次數、累積百分比）。
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核心觀念
本題考查：
- 原始資料的平均數、中位數、眾數。
- 四分位數 、 的位置計算。
- 以平均數、中位數、眾數判斷分布偏態。
- 將連續數值依固定組距整理為頻率分配表。
資料共有 天，且已依濃度由小到大排列。
（一）平均數、中位數、眾數、、
1. 平均數
100 筆資料總和為：
因此平均數為：
所以平均濃度為：
2. 中位數
因為共有 100 筆資料，中位數為第 50 筆與第 51 筆資料的平均：
由排序資料可知：
因此：
3. 眾數
各濃度中， 出現 6 次，為出現次數最多者。
因此：
4. 四分位數
採用常見的四分位數位置公式：
第 25 筆與第 26 筆資料分別為：
因此：
再求第三四分位數：
第 75 筆與第 76 筆資料均為 ，所以：
因此：
（二）分布型態
本題主要統計量為：