112 地方特考三等 衛生技術類科 生物統計學（含流行病學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查發生率（incidence rate）、發生率比值（incidence rate ratio, IRR），以及在固定追蹤人年下，以卜瓦松分布推導的得病者吸菸比例檢定。

發生率以新發病例數除以人時（本題為人年）計算：

$$\text{發生率}=\frac{\text{新發病例數}}{\text{總人年}}$$

兩組發生率比值為：

$$\text{IRR} =\frac{\text{吸菸組發生率}}{\text{無吸菸組發生率}}$$

解題方法

一、計算全社區發生率

全社區有 $100$ 人得病，總追蹤 $60{,}000$ 人年：

$$\frac{100}{60{,}000} =0.001667\text{ 人年}^{-1}$$

換算為每千人年約 $1.67$ 例，或每十萬人年約 $166.7$ 例。

二、計算兩組發生率比值

吸菸組發生率：

$$\frac{60}{20{,}000} =0.003\text{ 人年}^{-1}$$

無吸菸組發生率：

$$\frac{40}{40{,}000} =0.001\text{ 人年}^{-1}$$

因此：

$$\text{IRR} =\frac{0.003}{0.001} =3$$

吸菸組的發生率是無吸菸組的 $3$ 倍。

三、檢定得病者中吸菸與不吸菸人數比例

題目指定追蹤人年沒有隨機誤差，因此在無關聯的虛無假設下，得病者中吸菸者的期望比例依兩組人年比例決定：

$$\text{吸菸組人年比例} =\frac{20{,}000}{60{,}000} =\frac{1}{3}$$

因此，得病者中吸菸者與不吸菸者的期望人數比例為 $1:2$。設定：

• $H_0$：得病者中吸菸者比例為 $1/3$，吸菸與疾病無關。
• $H_1$：得病者中吸菸者比例不為 $1/3$，得病者人數比例偏離 $1:2$。

核心觀念

本題比較同一批病患接受 A、B 兩種篩檢工具的結果，資料彼此配對。敏感度的分母是實際患病者總數；敏感度差異的檢定則只看兩種工具結果不一致的配對，使用 McNemar 檢定。

題目未另外列出未患病者的資料，因此此處以列出的 100 位病患皆為實際患病者計算敏感度。

解題方法

A、B 皆陽性 25 人，A、B 皆陰性 5 人，A 陽性而 B 陰性 40 人，A 陰性而 B 陽性 30 人。

A 陽性人數為 $25+40=65$ 人，故：

$$\text{A 敏感度}=\frac{65}{100}=65\%$$

B 陽性人數為 $25+30=55$ 人，故：

$$\text{B 敏感度}=\frac{55}{100}=55\%$$

令 $b=40$ 為 A 陽性、B 陰性人數，$c=30$ 為 A 陰性、B 陽性人數。兩工具敏感度相同的虛無假設下，兩種不一致方向的人數應相近。未作連續性校正的 McNemar 卡方統計量為：

核心觀念

本題比較兩組不同病患的平均血壓，屬於兩獨立樣本平均數差異檢定。題目未指定兩組變異數相等與否，以下採用較不要求等變異數的 Welch 兩樣本 $t$ 檢定。檢定為雙尾，因為題目詢問兩組平均值是否有差異。

設定虛無假設與對立假設：

$$H_0:\mu_1-\mu_2=0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2\ne 0$$

其中 $\mu_1$ 為腎臟病病患的母體平均血壓，$\mu_2$ 為糖尿病病患的母體平均血壓。

解題方法

已知腎臟病組 $n_1=10,\ \bar{x}_1=131.4,\ s_1=30.6$；糖尿病組 $n_2=12,\ \bar{x}_2=100.4,\ s_2=29.8$。Welch 檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2} {\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

代入數值：

$$t=\frac{131.4-100.4} {\sqrt{\frac{30.6^2}{10}+\frac{29.8^2}{12}}} =\frac{31.0}{\sqrt{93.636+74.003}} \approx\frac{31.0}{12.947} \approx 2.394$$

Welch–Satterthwaite 近似自由度為：

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）與線性迴歸的模型假設。兩者都會檢視誤差項的變異與分布，但假設的表述依研究設計與模型形式而有所不同。

變異數分析的假說

若要比較 $k$ 個母群體的平均數，令第 $i$ 組母體平均數為 $\mu_i$，則：

• 虛無假說 $H_0$：各組母體平均數相等。 $H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$

• 對立假說 $H_1$：並非所有母體平均數都相等；亦即至少有一組平均數不同。 $H_1:\text{至少存在一組 }i\ne j\text{，使得 }\mu_i\ne\mu_j$

拒絕 $H_0$ 只能判定各組平均數不全相同，不能直接判定是哪幾組不同；若要辨認差異組別，須進一步進行多重比較。

變異數分析的基本假設

1. 觀察值獨立：各組內及組間的觀察值彼此獨立；抽樣或實驗設計應能支持此假設。
2. 各組母體為常態分布：各組反應值在母體中近似常態分布。
3. 變異數同質性：各組母體變異數相等，即 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2$。

以單因子固定效果模型表示：

$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$

其中 $\mu$ 為整體平均水準，$\tau_i$ 為第 $i$ 組效果，誤差項通常假設彼此獨立、服從平均數為 $0$、變異數相同的常態分布：

$\varepsilon_{ij}\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)$

線性迴歸模式的基本假設

以多元線性迴歸模式表示：