107 地方特考三等 海洋資源 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題為典型的常態母群體推論統計題型，涵蓋單一樣本與雙樣本之參數估計與假設檢定，主要核心觀念與公式如下：

1. 單一母群體平均數之區間估計（小樣本、母體變異數未知）： 當母體服從常態分配且母體變異數 $\sigma^2$ 未知、樣本數小於 $30$ 時，標準化變數服從自由度 $df = n - 1$ 之 Student's $t$ 分配。母體平均數 $\mu$ 之 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間公式為： $\bar{x} \pm t_{n-1, \, 1-\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

2. 單一母群體變異數之區間估計： 常態母體下，樣本變異數之樞紐量（Pivotal Quantity）服從卡方分配： $\frac{(n - 1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ 母體變異數 $\sigma^2$ 之 $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信賴區間公式為： $\left[ \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{n-1, \, 1-\alpha/2}}, \, \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{n-1, \, \alpha/2}} \right]$

3. 兩獨立常態母體變異數同質性檢定（$F$ 檢定）： 檢定 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 對 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$，檢定統計量為兩樣本變異數之比： $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1, \, n_2-1}$ 慣例上將較大之樣本變異數置於分子，若 $F \ge F_{n_1-1, \, n_2-1, \, 1-\alpha/2}$ 則拒絕虛無假設。

4. 兩獨立樣本異質變異數之平均數差異檢定（Welch's $t$ 檢定）： 當兩獨立樣本之母體變異數經檢定具顯著差異（$\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$）時，不可採用合併變異數（Pooled Variance），必須採用 Welch-Satterthwaite 近似自由度之 $t$ 檢定： $t^* = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$ 其有效自由度 $\nu$（Satterthwaite approximation）為： $\nu = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$

5. 統計檢力（Statistical Power）： 檢力定義為「當對立假設 $H_1$ 為真時，正確拒絕虛無假設 $H_0$ 的機率」，記為： $\text{Power} = 1 - \beta = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_1 \text{ 為真})$

解題方法

由題意整理已知樣本統計量：

• A 社區：$n_A = 25$，$\bar{x}_A = 21.6\ \mu\text{g/kg/day}$，$s_A = 4.5\ \mu\text{g/kg/day}$，$s_A^2 = 20.25$。
• B 社區：$n_B = 30$，$\bar{x}_B = 18.2\ \mu\text{g/kg/day}$，$s_B = 1.5\ \mu\text{g/kg/day}$，$s_B^2 = 2.25$。
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$。

（一）A 社區居民 DEHP 濃度之母群體平均數的 $95\%$ 信賴區間

1. 自由度：$df = n_A - 1 = 25 - 1 = 24$。
2. 雙尾臨界值：由已知條件查得 $t_{24, \, 0.975} = 2.064$。
3. 平均數標準誤（$SE$）： $SE_A = \frac{s_A}{\sqrt{n_A}} = \frac{4.5}{\sqrt{25}} = \frac{4.5}{5} = 0.9$
4. 誤差容許度（Margin of Error, $E$）： $E = t_{24, \, 0.975} \times SE_A = 2.064 \times 0.9 = 1.8576$
5. 計算 $95\%$ 信賴區間： $\bar{x}_A \pm E = 21.6 \pm 1.8576 = [19.7424, \, 23.4576]\ \mu\text{g/kg/day}$

（二）B 社區居民 DEHP 濃度之母群體變異數的 $95\%$ 信賴區間

1. 自由度：$df = n_B - 1 = 30 - 1 = 29$。
2. 卡方臨界值：由已知條件查得 $\chi^2_{29, \, 0.025} = 16.05$，$\chi^2_{29, \, 0.975} = 45.72$。
3. 計算分子加權離均差平方和： $(n_B - 1)s_B^2 = 29 \times (1.5)^2 = 29 \times 2.25 = 65.25$
4. 計算 $95\%$ 信賴區間：

• 下界：$\frac{(n_B - 1)s_B^2}{\chi^2_{29, \, 0.975}} = \frac{65.25}{45.72} \approx 1.4272$
• 上界：$\frac{(n_B - 1)s_B^2}{\chi^2_{29, \, 0.025}} = \frac{65.25}{16.05} \approx 4.0654$

得 $\sigma_B^2$ 之 $95\%$ 信賴區間為 $[1.427, \, 4.065]\ (\mu\text{g/kg/day})^2$（或約 $[1.43, \, 4.07]$）。

（三）A 與 B 社區居民 DEHP 濃度之母群體變異數是否具有顯著差異

1. 建立假設： $H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2 \quad \text{vs} \quad H_1: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2$
2. 檢定統計量： $F = \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{20.25}{2.25} = 9.0$
3. 判定法則： 分子自由度 $df_1 = n_A - 1 = 24$，分母自由度 $df_2 = n_B - 1 = 29$。 雙尾檢定之右尾臨界值為 $F_{24, \, 29, \, 0.975}$。

核心觀念

本題評量流行病學與生物統計學中​「人年發生率」（Incidence Rate）​與​「卜瓦松分布」（Poisson Distribution）​的建立、計算與假設檢定：

1. 發生率與卜瓦松分布模型： 在追蹤研究中，當研究對象追蹤之總時間為「人年數」（Person-Years, $T$），且研究之疾病事件在時間軸上隨機且獨立發生（稀有事件假設）時，新發生個案數 $X$ 服從卜瓦松分布： $X \sim \text{Poisson}(\mu)$ 其中平均期望發生數 $\mu = \lambda \times T$，$\lambda$ 為單位人年發生率。 其機率質量函數（PMF）為： $P(X = k) = \frac{e^{-\mu}\mu^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$ 卜瓦松分布的期望值與變異數相等：$E(X) = \text{Var}(X) = \mu$。

2. 卜瓦松分布的常態近似（Normal Approximation）： 當期望發生數充分大（一般標準為 $\mu \ge 5$ 或 $\mu \ge 10$）時，由中央極限定理，$X$ 可近似於常態分布： $X \stackrel{\cdot}{\sim} N(\mu, \mu)$ 以連續型的常態分布近似離散型的整數個案數時，應配合連續性校正（Continuity Correction, CC）：

• $P(X \ge k) \approx P(Y \ge k - 0.5)$
• $P(X \le k) \approx P(Y \le k + 0.5)$

3. 單一樣本發生率檢定（One-Sample Poisson Test）： 欲檢定特定群體之發生率 $\lambda$ 是否異於已知基準率 $\lambda_0$：

• 虛無假說 $H_0: \lambda = \lambda_0$；對立假說 $H_1: \lambda \ne \lambda_0$
• 虛無假說下之期望發生數為 $E = \lambda_0 \times T$，實際觀察發生數為 $O$。
• 大樣本下採用標準常態檢定統計量（Score Test）： $Z = \frac{O - E}{\sqrt{E}} \stackrel{H_0}{\sim} N(0, 1) \quad \text{或具連續性校正：} \quad Z_c = \frac{|O - E| - 0.5}{\sqrt{E}}$ （其平方即為單自由度卡方檢定量：$\chi^2 = \frac{(O - E)^2}{E} \sim \chi^2(1)$）

解題方法

全國心血管疾病平均發生率為： $\lambda_0 = \frac{1.24}{100 \text{ 人年}} = 0.0124 \text{ 件/人年}$

（一）$1200$ 人年之中，發生超過或等於 $22$ 位個案的機率

1. 計算期望發生數： 追蹤人年數 $T = 1200$ 人年，期望個案數為： $\mu = \lambda_0 \times T = 0.0124 \times 1200 = 14.88$ 個案數 $X \sim \text{Poisson}(14.88)$。

2. 精確機率式： $P(X \ge 22) = 1 - P(X \le 21) = 1 - \sum_{k=0}^{21} \frac{e^{-14.88} (14.88)^k}{k!}$

3. 常態近似法求解（國考標準解法）： 因 $\mu = 14.88 > 10$，符合常態近似之適用條件。 $X \stackrel{\cdot}{\sim} N(\mu = 14.88, \, \sigma^2 = 14.88)$，標準差 $\sigma = \sqrt{14.88} \approx 3.8575$。 引入連續性校正 $P(X \ge 22) \approx P(Y \ge 21.5)$： $Z = \frac{21.5 - 14.88}{\sqrt{14.88}} = \frac{6.62}{3.8575} \approx 1.72$ 查標準常態機率表： $P(Z \ge 1.72) = 1 - \Phi(1.72) = 1 - 0.9573 = 0.0427 \quad (\text{約 } 4.27\%)$ （註：若未加入連續性校正，計算式為 $Z = \frac{22 - 14.88}{3.8575} \approx 1.85$，$P(Z \ge 1.85) = 1 - 0.9678 = 0.0322$）

（二）$500$ 人年之中，發生小於或等於 $3$ 位個案的機率

1. 計算期望發生數： 追蹤人年數 $T = 500$ 人年，期望個案數為： $\mu = \lambda_0 \times T = 0.0124 \times 500 = 6.2$ 個案數 $X \sim \text{Poisson}(6.2)$。

2. 精確機率計算（項數少，宜直接列出精確式）： $P(X \le 3) = \sum_{k=0}^3 \frac{e^{-6.2} (6.2)^k}{k!} = e^{-6.2} \left( \frac{6.2^0}{0!} + \frac{6.2^1}{1!} + \frac{6.2^2}{2!} + \frac{6.2^3}{3!} \right)$ 展開括號內各項數值： $P(X \le 3) = e^{-6.2} \left( 1 + 6.2 + \frac{38.44}{2} + \frac{238.328}{6} \right) = e^{-6.2} (1 + 6.2 + 19.22 + 39.7213) = 66.1413 \times e^{-6.2}$ 代入 $e^{-6.2} \approx 0.0020294$：

核心觀念

1. 單變數線性迴歸斜率公式：斜率 $b$ 與皮爾森積差相關係數 $r$、兩變數樣本標準差 $S_X, S_Y$ 之關係為： $b = r \cdot \frac{S_Y}{S_X} = \frac{SS_{XY}}{SS_X}$
2. 斜率之標準誤（Standard Error, $SE(b)$）： $SE(b) = \sqrt{\frac{MSE}{SS_X}} = \frac{b}{t} = \frac{S_{Y|X}}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2}}$ 其中 $SS_X = (N-1)S_X^2$，$MSE = \frac{SSE}{N-2} = \frac{SST - SS_{reg}}{N-2}$。
3. 迴歸係數之 $95\%$ 信賴區間： $b \pm t_{N-2, \, 1-\alpha/2} \cdot SE(b)$

解題方法

1. 計算斜率 $b$： 由相關係數矩陣可知，總膽固醇（$Y$）與舒張壓（$X$）之相關係數 $r = 0.1798$。 $b = r \cdot \frac{S_Y}{S_X} = 0.1798 \times \frac{37.29}{9.34} \approx 0.71785 \approx 0.718$ 亦可由 Model SS 驗算：$SS_X = (258 - 1) \times 9.34^2 = 257 \times 87.2356 = 22419.55$；因為 $SS_{reg} = b^2 \cdot SS_X = 11546.61$，故 $b = \sqrt{\frac{11546.61}{22419.55}} \approx 0.71765 \approx 0.718$（因 $r > 0$，取正值）。

2. 計算均方誤差 $MSE$ 與 $SE(b)$：

• 總平方和 $SST = (N-1)S_Y^2 = 257 \times 37.29^2 = 257 \times 1390.5441 = 357369.83$
• 殘差平方和 $SSE = SST - SS_{reg} = 357369.83 - 11546.61 = 345823.22$
• 自由度 $df = N - 2 = 258 - 2 = 256$
• 殘差均方 $MSE = \frac{SSE}{256} = \frac{345823.22}{256} \approx 1350.872$
• 斜率之標準誤： $SE(b) = \sqrt{\frac{MSE}{SS_X}} = \sqrt{\frac{1350.872}{22419.55}} = \sqrt{0.060254} \approx 0.2455$ (亦可由 $t = \frac{r\sqrt{N-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{0.1798 \times 16}{\sqrt{1 - 0.0323}} \approx 2.9245$ 推得 $SE(b) = \frac{b}{t} = \frac{0.71785}{2.9245} \approx 0.2455$)

3. 計算 $95\%$ 信賴區間： 題目已知 $t_{256, 0.975} = 1.969$。 $95\% \text{ CI} = b \pm t_{256, 0.975} \cdot SE(b) = 0.718 \pm 1.969 \times 0.2455 = 0.718 \pm 0.483$

• 下界：$0.718 - 0.483 = 0.235$
• 上界：$0.718 + 0.483 = 1.201$

解題技巧

• 當考卷給出相關係數矩陣與各變數的平均值與標準差時，求單變數迴歸斜率最快的方法就是直接代入 $b = r \cdot \frac{S_Y}{S_X}$。
• 利用 $t = \frac{r\sqrt{N-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ 可以直接算出 $t$ 值，進而快速求得 $SE(b) = \frac{b}{t}$，大幅減少計算多重平方和的按計算機時間與進位誤差。

【答案】

• 模式 1 之迴歸係數 $b \approx 0.718$（或 $0.7179$）
• $95\%$ 信賴區間為 $[0.235, \, 1.201]$（或 $0.718 \pm 0.483$）

（二）模式 1 之中，總膽固醇與舒張壓之相關係數與其 $95\%$ 信賴區間

核心觀念

1. 皮爾森相關係數：由題目所附之【變數之間的相關係數矩陣】可直接查得總膽固醇（T-chol）與舒張壓（DBP）之相關係數 $r$；或由判定係數 $R^2 = 3.23\% = 0.0323$，取平方根得 $r = \sqrt{0.0323} \approx 0.1797$。
2. 費雪 $z$ 轉換法（Fisher's $z$-transformation）： 母體相關係數 $\rho$ 之抽樣分配在有限樣本下偏斜，常透過費雪 $z$ 轉換常態化： $z = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) = \operatorname{arctanh}(r)$ 其抽樣分配近似於常態分佈，標準誤為 $SE(z) = \frac{1}{\sqrt{N-3}}$。 信賴區間反轉換回 $\rho$ 之公式為： $\rho = \frac{e^{2z} - 1}{e^{2z} + 1} = \tanh(z)$
3. 大樣本漸近常態法（Asymptotic Normal Approximation）： 當樣本數較大時，亦有教材採用大樣本標準誤近似公式 $SE(r) \approx \sqrt{\frac{1-r^2}{N-2}}$。

解題方法

1. 相關係數： 由相關係數矩陣，總膽固醇與舒張壓之相關係數 $r = 0.1798$（$p = 0.0038$）。

2. 方法一：費雪 $z$ 轉換法（精確標準解法）

• 計算轉換值 $z$： $z = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.1798}{1-0.1798}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1.1798}{0.8202}\right) = \frac{1}{2}\ln(1.43843) \approx 0.1818$
• 標準誤： $SE(z) = \frac{1}{\sqrt{N-3}} = \frac{1}{\sqrt{258-3}} = \frac{1}{\sqrt{255}} \approx \frac{1}{15.9687} \approx 0.0626$
• $z$ 之 $95\%$ 信賴區間（代入題給臨界值 $t_{256, 0.975} = 1.969$ 或常態臨界值 $z_{0.975} = 1.96$）： $z \pm 1.969 \times 0.0626 = 0.1818 \pm 0.1233 \implies [0.0585, \, 0.3051]$
• 反轉換回相關係數信賴區間：
• 下界：$\tanh(0.0585) = \frac{e^{2(0.0585)} - 1}{e^{2(0.0585)} + 1} = \frac{1.1241 - 1}{1.1241 + 1} \approx 0.058$
• 上界：$\tanh(0.3051) = \frac{e^{2(0.3051)} - 1}{e^{2(0.3051)} + 1} = \frac{1.8408 - 1}{1.8408 + 1} \approx 0.296$ 信賴區間為 $[0.058, \, 0.296]$。

3. 方法二：大樣本漸近常態法（簡化參考解法）

• 估計標準誤： $SE(r) \approx \sqrt{\frac{1-r^2}{N-2}} = \sqrt{\frac{1 - 0.0323}{256}} = \frac{0.9837}{16} \approx 0.0615$
• $95\%$ 信賴區間： $r \pm t_{256, 0.975} \cdot SE(r) = 0.1798 \pm 1.969 \times 0.0615 = 0.1798 \pm 0.1211 \implies [0.059, \, 0.301]$

解題技巧

• 考卷已附相關矩陣，直接讀取 $r = 0.1798$ 即可，切勿花時間重算。
• 求解相關係數之信賴區間時，考選部核定之工程型計算器皆具備 $\ln$ 與 $e^x$ 鍵，優先寫出理論上最嚴謹的「費雪 $z$ 轉換法」；若時間有限，亦可列出大樣本常態近似公式，兩者數值非常接近（下界約 $0.058 \sim 0.059$，上界約 $0.296 \sim 0.301$）。

【答案】

• 相關係數 $r = 0.1798$
• $95\%$ 信賴區間為 $[0.058, \, 0.296]$（以費雪 $z$ 轉換計）或 $[0.059, \, 0.301]$（以大樣本漸近近似計）

（三）舒張壓為 $60\ \text{mmHg}$ 時，總膽固醇預測值之 $95\%$ 信賴區間

核心觀念

1. 預測點估計值（$\hat{Y}_0$）： $\hat{Y}_0 = \bar{Y} + b(X_0 - \bar{X})$
2. 條件平均預測值之信賴區間（Confidence Interval for Mean Response）： 估計「舒張壓為 $60\ \text{mmHg}$ 之族群，其平均總膽固醇 $E(Y|X_0)$」之區間： $SE(\hat{\mu}_{Y|X_0}) = \sqrt{MSE \left( \frac{1}{N} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{SS_X} \right)}$ $\hat{Y}_0 \pm t_{N-2, \, 1-\alpha/2} \cdot SE(\hat{\mu}_{Y|X_0})$
3. 個別觀測值之預測區間（Prediction Interval for Individual Response）： 預測「某一位舒張壓為 $60\ \text{mmHg}$ 的特定個人，其總膽固醇值 $Y_0$」之區間，需額外納入個體隨機誤差變異 $\sigma^2$： $SE(\text{pred}) = \sqrt{MSE \left( 1 + \frac{1}{N} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{SS_X} \right)}$ $\hat{Y}_0 \pm t_{N-2, \, 1-\alpha/2} \cdot SE(\text{pred})$

解題方法

1. 計算點預測值 $\hat{Y}_0$： 已知 $\bar{X} = 64.49$，$\bar{Y} = 161.02$，$b = 0.718$，$X_0 = 60$：

核心觀念

本題評量生物統計學的三大基礎核心架構：

1. 敘述統計學之離散度量數：四分位距（$\text{IQR}$）為無母數／耐抗性統計量，用於衡量資料中間 $50\%$ 的分散程度，定義為： $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
2. 假說檢定之決策錯誤：第一類錯誤（Type I error）為「虛無假說（$H_0$）為真，卻被檢定拒絕」的錯誤決策；其發生機率即為顯著水準（$\alpha$）： $\alpha = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_0 \text{ 為真})$
3. 推論統計之理論基石：中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）確立了獨立同分配（i.i.d.）且具備有限母體變異數之隨機樣本，當樣本數 $n$ 充分大時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配必趨近於常態分配： $\bar{X} \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{或} \quad Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$

解題方法

申論題的名詞解釋每小題配分 $5$ 分，閱卷評分重點在於「定義嚴謹性」、「數學公式／符號表達」以及「統計意涵與實務應用」。各小題切入架構如下：

（一）四分位距（Interquartile Range, IQR）

1. 數學定義：將資料由小到大排序後，分割為四等份之切點分別為第一四分位數（$Q_1$，第 $25$ 百分位數）、第二四分位數（$Q_2$，中位數）與第三四分位數（$Q_3$，第 $75$ 百分位數）。四分位距即為第三四分位數與第一四分位數的差值： $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
2. 統計意涵與特性：

• 涵蓋範圍：代表資料集中間 $50\%$ 觀測值的變異範圍。
• 耐抗性（Robustness/Resistance）：相較於全距（Range）與標準差（Standard Deviation），$\text{IQR}$ 極不易受極端值（Outliers）或偏態資料影響。
• 繪圖與離群值判定：在盒鬚圖（Boxplot）中，內籬（Inner fences）界線通常設定為 $[Q_1 - 1.5\times\text{IQR}, \, Q_3 + 1.5\times\text{IQR}]$，落於此區間外的觀測值即被視為潛在離群值。在海洋生物調查（如浮游生物計數、漁獲量、重金屬殘留量）常具高度偏態，$\text{IQR}$ 是搭配中位數的最佳離散度指標。

（二）第一類錯誤（Type I Error）

1. 統計定義：在統計假說檢定中，當虛無假說（Null Hypothesis, $H_0$）實質為真，但檢定統計量落入拒絕域，導致研究者做出「拒絕 $H_0$」的錯誤結論，稱為第一類錯誤（又稱型 I 錯誤或偽陽性 False Positive）。
2. 機率控制與意涵：

• 第一類錯誤的發生機率以符號 $\alpha$ 表示，稱為顯著水準（Significance level）： $\alpha = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_0 \text{ 為真})$
• 傳統統計檢定採 Neyman-Pearson 準則，在檢定進行前即由研究者預先設定 $\alpha$ 上限（常見為 $0.05$ 或 $0.01$），嚴格控制將無效誤判為有效之風險。
• 與第二類錯誤（Type II error, $\beta = P(\text{不拒絕 } H_0 \mid H_0 \text{ 為偽})$）在固定樣本數 $n$ 下存在權衡消長關係（Trade-off）；欲同時降低 $\alpha$ 與 $\beta$（提高檢定力 $1-\beta$），必須增加樣本數。

（三）中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）

1. 定理內容與條件：設自任意母體（無論其母體分配型態為常態、偏態或離散）抽取一組大小為 $n$ 的獨立同分配（i.i.d.）隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，若母體具有有限的平均數 $\mu$ 與有限的變異數 $\sigma^2$（即 $\sigma^2 < \infty$），則當樣本數 $n$ 趨近於無窮大時，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 之抽樣分配將趨近於常態分配：