109 地方特考四等 衛生行政 流行病學與生物統計學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 基礎再生數（Basic Reproduction Number, $R_0$）的定義： 在一個「完全沒有免疫力（完全易感）」的人群中，一個典型的指標病例（Index case）在具傳染力期間內，平均所能直接傳染的次發病例（Secondary cases）人數。
2. 決定 $R_0$ 的三要素數學公式： $R_0 = \beta \times c \times d$

• $\beta$（Transmission probability per contact）：每次接觸的傳播機率。
• $c$（Contact rate）：感染者與易感者之間的平均接觸率（單位時間接觸次數）。
• $d$（Duration of infectiousness）：感染者具有傳染力的持續時間。

3. 流行閾值定理（Threshold Theorem）：

• $R_0 > 1$：疫情呈指數型擴散，會造成大流行（Epidemic / Pandemic）。
• $R_0 = 1$：疫情處於地方性平衡狀態（Endemic），感染人數維持恆定。
• $R_0 < 1$：傳播鏈無法維持，疫情逐漸衰退並自然熄滅（Extinction）。

4. 群體免疫門檻（Herd Immunity Threshold, $HIT$）： $HIT = 1 - \frac{1}{R_0}$ 族群中具有免疫力者的比例必須達到或超過 $HIT$，才能阻斷傳播。

解題方法

本題屬於流行病學經典的「理論定義＋實務應用」申論題，切入點應分為三大層次循序漸進：

1. 定義切入：首先界定 $R_0$ 的嚴格流行病學定義，特別強調「完全無免疫力」的前提。
2. 數值意義與實例結合：以 $R_0 = 1$ 作為分水嶺，分別闡述 $>1$、$=1$、$<1$ 的流行病學動力學意義，並具體引用新冠肺炎（COVID-19）原始病毒株（$R_0 \approx 2.5 \sim 3.0$）說明其在無防範族群中的爆炸性傳播與群體免疫門檻的推導。
3. 因子解析與介入措施對應：利用 $R_0 = \beta \times c \times d$ 拆解影響因子，並逐一對照新冠肺炎的生物特性與公共衛生防禦手段（非藥物介入措施 NPIs 與疫苗），展現公共衛生行政人員將理論轉化為政策規劃的實務能力。

選項分析

本題為申論題，無選擇題選項。閱卷給分結構與得分權重分析如下：

• $R_0$ 的精確定義與前提條件：約佔 5 分。若漏寫「完全易感人群」，會被扣分。
• $R_0$ 數值大小（$>1, =1, <1$）的意義與新冠肺炎實例：約佔 10 分。能寫出 $HIT = 1 - 1/R_0$ 並帶入數值計算者可得滿分。
• 影響因子（生物、行為、環境／$\beta, c, d$）與防疫對策：約佔 10 分。以數學參數架構化列點，能拿最高分。

解題技巧

1. 嚴防名詞混淆陷阱：

• 考卷中務必清楚區分 基礎再生數（$R_0$） 與 有效再生數（Effective Reproduction Number, $R_t$ 或 $R$）。
• $R_0$ 僅適用於疫情初期「完全未受干擾、人人易感」的理論最大傳播力；一旦介入防疫措施（如戴口罩、隔離、打疫苗），動態變化的傳播數值稱為 $R_t$。

2. 公式化條列展示專業度： 申論題切忌純文字堆砌，寫出 $R_0 = \beta \times c \times d$ 即可自動形成答案骨架，閱卷老師能一眼對應給分標準。
3. 帶入真實數據驗證： 以新冠肺炎原始株 $R_0 \approx 2.5$ 計算 $HIT = 1 - 1/2.5 = 60\%$，以此說明為何群體免疫門檻極高、單靠自然感染不可行，展現數字感與流行病學論述深度。

【答案】

核心觀念

本題考 $2\times2$ 列聯表的獨立性檢定，以及勝算比（Odds Ratio, OR）與其信賴區間。肥胖與重症都是類別變項，可用 Pearson 卡方檢定判斷兩者是否有關聯。

列聯表中的四格觀察值皆足以使用卡方近似。檢定假說為：

• $H_0$：肥胖與新冠肺炎重症彼此獨立，亦即 $\mathrm{OR}=1$。
• $H_1$：肥胖與新冠肺炎重症不獨立，亦即 $\mathrm{OR}\ne 1$。

解題方法與計算

一、計算期望次數與卡方統計量

在 $H_0$ 成立時，各格期望次數為「列合計 $\times$ 欄合計 $\div$ 總人數」：

各格期望次數均大於 $5$，適合使用 Pearson 卡方檢定。自由度為 $(2-1)(2-1)=1$。

自由度為 $1$ 時，$\chi^2=6.82$ 的 $p$ 值約為 $0.009$，小於 $\alpha=0.05$，故拒絕 $H_0$。資料顯示，在這批新冠肺炎個案中，肥胖與重症有統計上的關聯。

二、計算勝算比與區間估計

以肥胖者為暴露組、正常者為參照組，重症勝算比為：

核心觀念

本題評量流行病學中「篩檢試驗」（Screening Test）的指標評估與 $2 \times 2$ 列聯表（Contingency Table）的運算應用。核心觀念與定義如下：

1. 盛行率（Prevalence, $P$）： 族群中在特定時間點患有該疾病的個案比例。若總人數為 $N$，則實際罹病（確診）人數為 $D^+ = N \times P$；未罹病者人數為 $D^- = N \times (1 - P)$。
2. 敏感度（Sensitivity, $Se$）： 實際患病者中，篩檢結果呈現陽性的機率： $Se = P(T^+ \mid D^+) = \frac{TP}{TP + FN} = \frac{TP}{D^+}$ 其中 $TP$ 為真陽性（True Positive），$FN$ 為偽陰性（False Negative）。
3. 特異度（Specificity, $Sp$）： 實際未患病者中，篩檢結果呈現陰性的機率： $Sp = P(T^- \mid D^-) = \frac{TN}{TN + FP} = \frac{TN}{D^-}$ 其中 $TN$ 為真陰性（True Negative），$FP$ 為偽陽性（False Positive）。偽陽性率為 $1 - Sp = \frac{FP}{D^-}$。
4. 檢測陽性總人數（Total Positives, $T^+$）： 所有篩檢結果為陽性者的總和，包含真陽性與偽陽性： $T^+ = TP + FP$
5. 陽性預測值（Positive Predictive Value, $PPV$）： 若進一步考量「陽性個案中為確診個案」的比例： $PPV = P(D^+ \mid T^+) = \frac{TP}{TP + FP}$

解題方法

建立 $2 \times 2$ 列聯表將疾病狀態（$D^+ / D^-$）與篩檢結果（$T^+ / T^-$）交叉配置，是推導計算最直觀且不易出錯的方法。

第一部分：盛行率為 $5\%$、受檢人數 $1{,}000$ 人

1. 計算實際罹病與未罹病人數：

• 確診人數（$D^+$）：$1{,}000 \times 5\% = 50$（人）
• 未罹病人數（$D^-$）：$1{,}000 \times (1 - 5\%) = 950$（人）

2. 計算真陽性（$TP$）與偽陽性（$FP$）人數：

• 真陽性數（$TP$）：由敏感度 $90\%$ 推算 $TP = D^+ \times Se = 50 \times 90\% = 45\text{（人）}$
• 偽陽性數（$FP$）：由特異度 $96\%$（偽陽性率 $1 - 96\% = 4\%$）推算 $FP = D^- \times (1 - Sp) = 950 \times 4\% = 38\text{（人）}$

3. 回答第一部分問題：

• 檢測出陽性的人數： $T^+ = TP + FP = 45 + 38 = 83\text{（人）}$
• 陽性個案中確診新冠肺炎的人數： 即為真陽性人數 $TP = 45$（人）。 （註：若換算為比例，即陽性預測值 $PPV = \frac{45}{83} \approx 54.22\%$）

【盛行率 $5\%$ 之 $2 \times 2$ 列聯表】

第二部分：盛行率降為 $1\%$、受檢人數 $1{,}000$ 人

1. 重新推算各組人數：

• 確診人數（$D^+$）：$1{,}000 \times 1\% = 10$（人）
• 未罹病人數（$D^-$）：$1{,}000 \times (1 - 1\%) = 990$（人）

核心觀念

本題評量生物統計學中「資料分布形狀（偏態）」與「集中趨勢測量數（Measures of Central Tendency）」之基本性質及應用比較，涵蓋以下核心定義與觀念：

1. 單峰右偏分布（Unimodal, Right-skewed / Positively skewed distribution）：

• 資料分布呈現單一高峰，且右側（數值較大側）具有較長的拖尾（Tail）。在臨床生化檢驗中，多數健康成年人的三酸甘油脂落在正常範圍，少數個體因代謝異常或飲食影響出現極高的數值，即形成典型的單峰右偏分布。

2. 算術平均值（Arithmetic Mean, $\bar{X}$）：

• 定義公式：$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
• 幾何意義為資料的「重心（Center of Gravity）」，數值大小會受到樣本中每一個數值大小的直接影響。

3. 中位數（Median, $M$ 或 $Q_2$）：

• 將所有數值由小至大排序後，位於正中央位置（第 50 百分位數）的數值： $M = \begin{cases} X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & \text{當 } n \text{ 為奇數} \\ \frac{X_{\left(\frac{n}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}, & \text{當 } n \text{ 為偶數} \end{cases}$
• 幾何意義為將機率密度曲線下面積平分為左、右各佔 $50\%$ 的「等分點」。

4. 耐抗性（Robustness / Resistance）：

• 統計量對極端值（Outliers）或資料偏斜的敏感程度。中位數具高耐抗性；平均值則無耐抗性。

解題方法

一、 數值大小比較（推導與成因說明）

在單峰右偏分布中，三者的相對大小關係為： $\text{眾數（Mode）} < \text{中位數（Median）} < \text{平均值（Mean）}$

因此，成人三酸甘油脂呈單峰右偏分布時，平均值大於中位數（$\text{平均值} > \text{中位數}$）。

【原因機制解析】

1. 極端大值的牽引效應： 平均值的計算涉及所有數值的代數總和。右偏尾端存在少數異常偏高的極端值（如三酸甘油脂數百甚至數千 $\text{mg/dL}$ 的數值），這些數值會將平均值強烈向右側拉扯，使得計算結果被大幅拉高。
2. 位置平分點的穩健性： 中位數僅取決於數值排序後的相對順序位置（前 $50\%$ 與後 $50\%$ 的分界點），右側極端值無論數值有多大，皆僅視為「大於中位數的一個觀測值」，其具體數值大小不改變中位數的位置。
3. 幾何觀點： 眾數座落於機率密度曲線之最高峰處；中位數座落於切分左、右兩半各 $50\%$ 面積之分界點；而平均值作為物理上的重心，為平衡右側拖尾所產生的強大槓桿力矩，必定位於中位數的右側。

二、 平均值與中位數之優劣比較

用於描述集中趨勢時，平均值與中位數之優缺點對照如下：

核心觀念

本題比較兩個互相獨立族群的平均握力：有代謝症候群者與無代謝症候群者，適合使用「兩獨立樣本 $t$ 檢定」。題目未指定顯著水準，以下採常用的雙尾 $\alpha=0.05$。

檢定的是兩組母體平均握力是否不同。由於兩組樣本標準差同為 $7$ kg，採等變異數的合併變異數 $t$ 檢定。

解題方法與假說

令 $\mu_1$ 為有代謝症候群者的母體平均握力，$\mu_2$ 為無代謝症候群者的母體平均握力。

這是雙尾檢定，因題目要判斷握力「是否不同」，未指定差異方向。

合併變異數與檢定統計量為：

計算與檢定

由題目資料，$n_1=20$、$\bar{x}_1=22$、$s_1=7$；$n_2=30$、$\bar{x}_2=26$、$s_2=7$。

先計算合併變異數：