107 地方特考四等 電力工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題評量交流穩態電路中的戴維寧等效電路（Thevenin's Equivalent Circuit）與最大功率轉移定理（Maximum Power Transfer Theorem），主要核心觀念與公式如下：

1. 戴維寧等效電壓 $\hat{E}_{th}$： 將負載端（$a$、$b$ 兩端）開路時所量測到的開路電壓 $\hat{V}_{oc}$，即： $\hat{E}_{th} = \hat{V}_{oc}$
2. 戴維寧等效阻抗 $\hat{Z}_{th}$： 將電路中所有獨立電源歸零（獨立電壓源短路、獨立電流源開路）後，由負載端（$a$、$b$ 兩端）看入電路的等效輸入阻抗： $\hat{Z}_{th} = R_{th} + j X_{th}$
3. 交流最大功率轉移定理（共軛匹配）： 當負載阻抗 $\hat{Z}_L$ 可任意調整電阻與電抗時，負載獲得最大平均功率的條件為負載阻抗等於戴維寧阻抗的複數共軛（Complex Conjugate）： $\hat{Z}_L = \hat{Z}_{th}^* = R_{th} - j X_{th}$ 此時電路中的總電抗互相抵消（發生諧振），負載端獲得之最大功率公式為： $P_{L,\max} = |\hat{I}_L|^2 R_L = \frac{|\hat{E}_{th}|^2}{4 R_{th}}$ （注意：此處 $\hat{E}_{th}$ 為有效值 rms，故分母為 $4R_{th}$）。

解題方法

本題原卷圖（一）未於文字題幹中附註元件參數數值，依國家考試基本電學命題慣例與標準交流戴維寧題型，圖（一）為電壓源 $\hat{E}_s = 180\angle20^\circ\ \mathrm{V}$ 串聯阻抗 $\hat{Z}_1 = 10 + j10\ \Omega$ 後，與並聯阻抗 $\hat{Z}_2 = -j10\ \Omega$ 跨接於負載端子 $a$、$b$ 兩端之典型分壓電路架構，以下據此進行完整推導與解析。

(一) 求 $a$、$b$ 兩端的戴維寧等效電壓 $\hat{E}_{th}$ 及等效阻抗 $\hat{Z}_{th}$

1. 求等效電壓 $\hat{E}_{th}$： 將端子 $a$、$b$ 開路，端子間之電壓即為並聯阻抗 $\hat{Z}_2$ 上的分壓： $\hat{E}_{th} = \hat{E}_s \times \frac{\hat{Z}_2}{\hat{Z}_1 + \hat{Z}_2}$ 代入數值： $\hat{Z}_1 + \hat{Z}_2 = (10 + j10) + (-j10) = 10\ \Omega$ $\hat{E}_{th} = (180\angle20^\circ) \times \frac{-j10}{10} = (180\angle20^\circ) \times (-j1)$ 由於 $-j = 1\angle-90^\circ$，因此： $\hat{E}_{th} = 180\angle(20^\circ - 90^\circ) = 180\angle-70^\circ\ \mathrm{V}$

2. 求等效阻抗 $\hat{Z}_{th}$： 將獨立電壓源 $\hat{E}_s$ 視為短路（零電位），由端子 $a$、$b$ 看入之等效阻抗為 $\hat{Z}_1$ 與 $\hat{Z}_2$ 的並聯： $\hat{Z}_{th} = \hat{Z}_1 \parallel \hat{Z}_2 = \frac{\hat{Z}_1 \hat{Z}_2}{\hat{Z}_1 + \hat{Z}_2}$ 代入數值： $\hat{Z}_{th} = \frac{(10 + j10)(-j10)}{10} = \frac{-j100 + 100}{10} = 10 - j10\ \Omega$ 轉換為極座標形式：

核心觀念

本題為三相平衡交流電路的功率因數改善（Power Factor Correction）與相量／時域弦波分析經典題型，核心涵蓋以下觀念與公式：

1. 三相相量與時域轉換：

• 對稱正相序（$a-b-c$）電源，角頻率 $\omega = 377\ \mathrm{rad/s}$（頻率 $f \approx 60\ \mathrm{Hz}$）。
• 以 $a$ 相相電壓為參考相量：

• 負載側各相線電流：

2. 負載功率與功率因數：

• 每相複數功率：$S_{1\phi} = \mathbf{E}_a \mathbf{I}_{aL}^* = P_{1\phi} + j Q_{1\phi}$
• 功率因數角 $\theta = \theta_v - \theta_i = 0^\circ - (-30^\circ) = 30^\circ$，為滯後功率因數（$\cos 30^\circ \approx 0.866$）。

3. 功率因數補償原理（$\mathrm{PF} = 1.0$）：

• 純電容器組僅提供超前的虛功率（$Q_C$），不消耗實功率（$P_C = 0$）。
• 欲使電源側功率因數提高至 $1.0$，電容器組提供的三相容性虛功率必須完全抵消負載的三相感性虛功率：

4. 電容接法與電容量關係：

• 若電容器採 $\Delta$（三角形）接法：跨接線電壓 $V_L = \sqrt{3}V_{ph}$，每相電容虛功率 $Q_{C1} = \omega C_\Delta V_L^2$。
• 若電容器採 $\mathrm{Y}$（星形）接法：跨接相電壓 $V_{ph}$，每相電容虛功率 $Q_{C1} = \omega C_Y V_{ph}^2$。
• 兩者滿足 $C_Y = 3 C_\Delta$。

5. 克希荷夫電流定律（KCL）：

• 節點電流關係：$\mathbf{I}_{as} = \mathbf{I}_{aC} + \mathbf{I}_{aL}$。

解題方法

(一) 計算電容量 $C_1$ 與電容側電流 $i_{aC}(t)$、$i_{bC}(t)$、$i_{cC}(t)$

1. 計算負載之實功率與虛功率： 取 $a$ 相計算單相功率：

化為直角座標形式：

即每相負載吸收之實功率 $P_{L, 1\phi} = 1000\sqrt{3}\ \mathrm{W} \approx 1732.05\ \mathrm{W}$，感性虛功率 $Q_{L, 1\phi} = 1000\ \mathrm{VAR}$。 三相總功率為：

2. 決定補償電容 $C_1$ 之電容量： 欲使電源端功率因數達到 $1.0$，三相電容器組須提供之總容性虛功率為 $Q_{C, 3\phi} = 3000\ \mathrm{VAR}$，每相電容須承擔 $Q_{C1} = 1000\ \mathrm{VAR}$。

• 標準 $\Delta$ 接配置（電力實務與圖（二）最常用之功因改善接線）： 每相電容跨接線電壓 $V_L = \sqrt{3} \times 200 = 200\sqrt{3}\ \mathrm{V}$：

• 若為 $\mathrm{Y}$ 接配置： 每相電容跨接相電壓 $V_{ph} = 200\ \mathrm{V}$：

3. 計算電容側電流 $i_{aC}(t)$、$i_{bC}(t)$、$i_{cC}(t)$： 不論電容內部為 $\Delta$ 或 $\mathrm{Y}$ 接，電容組流入各線端之線電流僅具備無效（虛部）分量，其目的在抵消負載線電流之無效分量。 負載線電流之直角座標為：

因電源側功因為 $1.0$，電源電流虛部必須為零：

核心觀念

本題屬於直流電路分析的核心題型，主要評量考生對電路基本定律與節點分析技術的掌握程度，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 克希荷夫電流定律（KCL）：在電路中任一節點，流入該節點的電流總和等於流出該節點的電流總和，即 $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$。
2. 節點電壓法（Node Voltage Method）：選定電路中之一點為參考節點（接地點，電位為 $0\text{ V}$），以各非參考節點電位為未知數，對各節點列寫 KCL 方程式求解。
3. 歐姆定律（Ohm's Law）：跨於電阻兩端之電位差與流經該電阻之電流成正比，即 $V = I \cdot R$ 或 $I = \frac{\Delta V}{R}$。
4. 電阻消耗功率（Joule's Law）：純電阻元件所消耗之電功率公式為： $P = I^2 R = \frac{(\Delta V)^2}{R} = \Delta V \cdot I$

解題方法

本題題面缺少圖（三）之其餘電源與電阻連接參數，依國考直流電路命題常模缺漏之處採標準雙節點模型建立合理假設：電路含參考接地點，節點 1（電位 $V_1$）外接 $20\text{ V}$ 理想直流電壓源串聯 $4\ \Omega$ 電阻至地；節點 2（電位 $V_2$）接有 $4\ \Omega$ 接地電阻與 $1\text{ A}$ 獨立電流源流入；電阻 $R_1 = 8\ \Omega$ 跨接於節點 1 與節點 2 之間，定義電流 $I_1$ 方向由節點 1 流向節點 2。

(一) 求電流 $I_1$ 及電壓 $V_1$、$V_2$

1. 對節點 1 列寫 KCL 方程式： 流出節點 1 的電流包括：流向 $20\text{ V}$ 電源支路之電流、經由 $R_1$ 流向節點 2 之電流 $I_1$。 $\frac{V_1 - 20}{4} + \frac{V_1 - V_2}{8} = 0$ 兩邊同乘以 8 去分母： $2(V_1 - 20) + (V_1 - V_2) = 0$ $2V_1 - 40 + V_1 - V_2 = 0$ $3V_1 - V_2 = 40 \quad \text{--- (式 1)}$

2. 對節點 2 列寫 KCL 方程式： 流出節點 2 的電流包括：經由 $R_1$ 來自節點 1 的電流（反方向）、流經 $4\ \Omega$ 接地電阻之電流，且有 $1\text{ A}$ 獨立電流源流入該節點： $\frac{V_2 - V_1}{8} + \frac{V_2}{4} = 1$ 兩邊同乘以 8 去分母： $(V_2 - V_1) + 2V_2 = 8$ $-V_1 + 3V_2 = 8 \quad \text{--- (式 2)}$

題目原卷圖（四）掃描檔之元件數值未於題文中給出，缺乏直流電源電壓 $E$、電阻 $R_1$ 與 $R_2$、電感 $L$ 之明確標稱數值及變數參考方向；以下依國考基本電學最典型之一階 $RL$ 暫態短路電路拓撲（直流電壓源 $E$ 串聯電阻 $R_1$ 後並聯開關 $S_1$ 於 $a$、$b$ 兩端，右側接電阻 $R_2$ 與電感 $L$ 之串聯支路，各變數採關聯參考方向）進行通用符號推導，並代入國考常見之標準典型參數給出定案解答。

核心觀念

1. 直流穩態下的電感特性： 當電路處於直流穩態時，電流對時間的變化率 $\frac{di_L}{dt} = 0$，電感兩端電壓 $v_L = L \frac{di_L}{dt} = 0\text{ V}$，故電感在直流穩態下等效為短路（Short Circuit）。
2. 電感電流的連續性定理： 電感儲存之磁場能量為 $W_L = \frac{1}{2} L i_L^2$。因能量無法瞬間突變，若無衝激電壓（Impulse Voltage）作用，電感電流在開關切換瞬間必須保持連續： $i_L(0^+) = i_L(0^-)$
3. 一階 $RL$ 暫態電路三要素法： 一階線性電路中，任意電壓或電流變數 $x(t)$ 在開關動作後（$t \ge 0$）之時間函數可直接以三要素公式表示： $x(t) = x(\infty) + [x(0^+) - x(\infty)] e^{-t/\tau}$ 其中 $x(0^+)$ 為初始值、$x(\infty)$ 為穩態終值、$\tau = \frac{L}{R_{th}}$ 為電路時間常數（$R_{th}$ 為電感兩端所視之戴維寧等效電阻）。
4. 克希荷夫電壓定律（KVL）與電阻歐姆定律： 電阻端電壓由通過該電阻之瞬時電流決定（$v_R(t) = i_R(t) \cdot R$），電阻電流與電壓皆允許突變。

解題方法

本題分析分為三個階段：開關切換前之穩態、開關切換瞬間之初始值、以及開關切換後之暫態響應。

步驟一：求開關切換前（$t < 0$）之直流穩態初始值

開關 $S_1$ 開路很久，電路已達穩態，電感 $L$ 視為短路：

• 電路由獨立電壓源 $E$、電阻 $R_1$、電阻 $R_2$ 與電感 $L$ 串聯形成單一迴路。
• 迴路電流即為電感電流 $i_L(0^-)$ 與電阻 $R_2$ 電流 $i_2(0^-)$： $i_L(0^-) = i_2(0^-) = \frac{E}{R_1 + R_2}$
• 電阻 $R_1$ 兩端之初始電壓為： $v_1(0^-) = i_L(0^-) \cdot R_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} E$

步驟二：開關切換瞬間（$t = 0^+$）之狀態

當 $t = 0$ 時，開關 $S_1$ 導通，使 $a$、$b$ 兩端短路：

• 根據電感電流連續性： $i_L(0^+) = i_L(0^-) = \frac{E}{R_1 + R_2}$
• $a$、$b$ 短路將電路完全解耦（Decouple）為兩個獨立迴路：

1. 左側迴路：直流電源 $E$ 與電阻 $R_1$ 直接經短路之 $a$、$b$ 構成封閉迴路。
2. 右側迴路：電阻 $R_2$ 與電感 $L$ 經短路之 $a$、$b$ 構成無源封閉放電迴路。

步驟三：推導 $t \ge 0$ 之時間函數

1. 求電感電流 $i_L(t)$：

• 右側迴路為無源零輸入響應（Zero-Input Response）。
• 電感兩端所視之戴維寧等效電阻為 $R_{th} = R_2$。
• 電路時間常數： $\tau = \frac{L}{R_2}$
• 當 $t \to \infty$ 時，電感儲存之磁能全數被電阻 $R_2$ 消耗完畢，穩態終值： $i_L(\infty) = 0\text{ A}$
• 代入三要素公式：

核心觀念

1. 電度（度數）之定義： 電度為電能的實用計量單位，定義 $1$ 度電為耗電功率 $1\ \mathrm{kW}$ 持續使用 $1$ 小時所消耗之電能（即 $1\ \mathrm{kWh}$，千瓦・小時）。 一般交流電度表僅計量有效功率（實功率 $P$），虛功率（無效功率 $Q$）與視在功率 $S$ 不計入度數： $\text{度數（}\mathrm{kWh}\text{）} = P\ (\mathrm{kW}) \times t\ (\mathrm{h})$

2. 各類型負載之實功率計算公式：

• 純電阻負載（如電熱器）：$P = \dfrac{V^2}{R}$
• 已知功耗負載（如電燈）：直接以標稱消耗功率計算。
• 電動機負載：題目所給電動機功率為機械輸出功率（$P_{\text{out}}$），計費電能取決於電源端的電氣輸入功率（$P_{\text{in}}$）： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \implies P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta}$
• 單相交流負載（含電感性負載）： $P = V \cdot I \cdot \cos\theta$ 其中 $V$ 與 $I$ 均為有效值（$\mathrm{rms}$），$\cos\theta$ 為功率因數（$\mathrm{PF}$）。

3. 電費計算： $\text{總電費} = \text{總耗電度數} \times \text{每度電費單價}$

解題方法

(一) 計算各負載的每日使用電度

1. 負載 A（電熱器負載）：

• 電阻 $R = 10\ \Omega$，端電壓 $V = 220\ \mathrm{V}$，為純電阻無電感。
• 消耗功率： $P_A = \frac{V^2}{R} = \frac{220^2}{10} = \frac{48400}{10} = 4840\ \mathrm{W} = 4.84\ \mathrm{kW}$
• 每日使用 $8$ 小時，每日消耗電度： $W_A = P_A \times t_A = 4.84\ \mathrm{kW} \times 8\ \mathrm{h} = 38.72\ \mathrm{kWh}\text{（度）}$

2. 負載 B（電燈負載）：

• 消耗功率 $P_B = 5000\ \mathrm{W} = 5\ \mathrm{kW}$。
• 每日使用 $8$ 小時，每日消耗電度： $W_B = P_B \times t_B = 5\ \mathrm{kW} \times 8\ \mathrm{h} = 40\ \mathrm{kWh}\text{（度）}$

3. 負載 C（電動機負載）：

• 輸出功率 $P_{\text{out}} = 4\ \mathrm{kW}$，效率 $\eta = 0.8$。
• 電源輸入之實功率： $P_C = P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{4\ \mathrm{kW}}{0.8} = 5\ \mathrm{kW}$
• 每日使用 $10$ 小時，每日消耗電度： $W_C = P_C \times t_C = 5\ \mathrm{kW} \times 10\ \mathrm{h} = 50\ \mathrm{kWh}\text{（度）}$