107 地方特考四等 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題為交流磁路與電感參數的典型計算題，主要評量以下兩大核心觀念與公式：

1. 交流電路之感抗與電感關係：

• 繞組電阻不計（$R=0$），線圈之交流阻抗大小純為感抗 $X_L$： $Z = \frac{V}{I} = X_L = \omega L = 2\pi f L$
• 藉由電源電壓、頻率與電流，可直接推導出繞組之自感 $L$。

2. 磁路歐姆定律與電感定義：

• 鐵心導磁係數 $\mu \to \infty$，鐵心磁阻 $\mathcal{R}_{\text{core}} = 0$，總磁阻即為氣隙磁阻 $\mathcal{R}_g$： $\mathcal{R} = \mathcal{R}_g = \frac{g}{\mu_0 A}$ 其中空氣磁導率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。
• 電感值 $L$、繞組匝數 $N$ 與磁阻 $\mathcal{R}$ 之關係式： $L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{N^2}{\mathcal{R}} \implies N = \sqrt{L\cdot \mathcal{R}} = \sqrt{\frac{L\cdot g}{\mu_0 A}}$

解題方法

（一）計算繞組的電感值 $L$

1. 求取繞組之感抗 $X_L$： 繞組接至交流電源，已知電壓有效值 $V = 110\ \mathrm{V}$，電流有效值 $I = 5\ \mathrm{A}$。因電阻 $R = 0$，繞組的交流阻抗大小即等於感抗： $X_L = \frac{V}{I} = \frac{110}{5} = 22\ \Omega$

2. 求取電感值 $L$： 電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$，角頻率 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 377\ \mathrm{rad/s}$。 由 $X_L = \omega L$，可得： $L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{22}{120\pi} = \frac{11}{60\pi}\ \mathrm{H} \approx 0.05836\ \mathrm{H} = 58.36\ \mathrm{mH}$

（二）計算繞組的匝數 $N$

1. 計算磁路總磁阻 $\mathcal{R}$： 題目給定氣隙長度 $g = 2.15\ \mathrm{mm} = 2.15 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$，氣隙截面積 $A = 25\ \mathrm{cm^2} = 25 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$。 鐵心磁阻不計，故總磁阻純由氣隙提供：

核心觀念

1. 直流分激電機（DC Shunt Machine）基本架構： 電樞繞組（包含反電動勢 $E_a$ 與電樞電阻 $R_a$）與分激場繞組（場電阻 $R_f$）並聯於外加端電壓 $V_t$ 兩端。
2. 運轉模式判定法則：

• 當端電壓高於電樞感應電勢（$V_t > E_a$）時，外部電網向電機注入電流，電機吸收電能轉為機械能，運轉於**電動機（Motor）**模式。
• 當感應電勢高於端電壓（$E_a > V_t$）時，電樞電流向外流向電網，電機將機械能轉為電能輸出，運轉於**發電機（Generator）**模式。

3. 電樞電壓與電流方程式（電動機模式）： $V_t = E_a + I_a R_a \implies I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a}$
4. 電磁功率與電磁轉矩公式：

• 電樞內生電磁功率： $P_{em} = E_a I_a$
• 轉子機械角速度： $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ (\mathrm{rad/s})$
• 電磁轉矩： $T_e = \frac{P_{em}}{\omega_m} = \frac{E_a I_a}{\omega_m} = \frac{60}{2\pi} \frac{E_a I_a}{n}\ (\mathrm{N\cdot m})$

解題方法

（一）繪出電機等效電路圖並標示電樞電流 $I_a$ 方向

直流分激式電機之電樞支路（$R_a$ 與 $E_a$ 串聯）與分激場電阻 $R_f$ 相互並聯於端電壓 $V_t$ 兩端。因 $V_t = 130\ \mathrm{V} > E_a = 125\ \mathrm{V}$，電樞電流 $I_a$ 方向為由外電源正端流入電樞。

等效電路示意如下：

 + o-------------------+--------------------+
 | | |
 | | v I_a（流入電樞）
 | [ ] R_f [ ] R_a = 0.03 Ω
 | [ ] (分激場電阻) [ ]
 V_t | | |
 130 V | v I_f --- (+)
 (端電壓)| | / \ E_a = 125 V
 | | \ / (電樞感應電勢)
 | | --- (-)
 | | |
 - o-------------------+--------------------+

• 端電壓極性：上正（$+$）、下負（$-$），$V_t = 130\ \mathrm{V}$。
• 電樞感應電勢極性：上正（$+$）、下負（$-$），$E_a = 125\ \mathrm{V}$，與端電壓形成反電動勢對抗。
• 電樞電流方向：$I_a$ 由上方端子流經電樞電阻 $R_a$ 後，向下流入感應電勢 $E_a$ 的正極端。

（二）判斷電機運轉模式（發電機或電動機）

根據題目給定條件：

• 機端電壓 $V_t = 130\ \mathrm{V}$
• 電樞感應電勢 $E_a = 125\ \mathrm{V}$

因端電壓大於電樞感應電勢（$V_t > E_a$），驅使電樞電流由外電源流向電機內部（吸收電能）： $I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a} > 0$ 此時電機自電網吸收電能並轉換為旋轉機械能輸出，故電機是以**電動機（Motor）**模式運轉。

（三）計算電磁轉矩

1. 計算電樞電流 $I_a$： $I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a} = \frac{130 - 125}{0.03} = \frac{5}{0.03} = \frac{500}{3}\ \mathrm{A} \approx 166.67\ \mathrm{A}$

核心觀念

本題旨在測驗三相感應電動機的旋轉磁場同步轉速、轉差率與轉子感應電流頻率之間的關聯性。所涉及的核心公式如下：

1. 同步轉速（Synchronous Speed, $N_s$）： 定子旋轉磁場的轉速取決於電源頻率 $f$ 與定子極數 $P$： $N_s = \frac{120 f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$

2. 轉差率（Slip, $s$）： 衡量轉子實際轉速 $N_r$ 落後於旋轉磁場同步轉速 $N_s$ 的比率： $s = \frac{N_s - N_r}{N_s}$ 由此可推導轉子實際轉速為： $N_r = (1 - s) N_s$

3. 轉子感應電勢與電流頻率（Rotor Frequency, $f_r$）： 轉子導體切割定子旋轉磁場的相對轉速為 $(N_s - N_r) = s N_s$，因此轉子感應頻率等於轉差率乘以定子電源頻率： $f_r = s f$

解題方法

1. 先行計算定子旋轉磁場之同步轉速 $N_s$

題目給定定子電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$、極數 $P = 4$： $N_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$

（一）計算轉子電流頻率為 $0.93\ \mathrm{Hz}$ 時之轉子轉速

1. 求轉差率 $s$： 根據轉子頻率公式 $f_r = s f$： $s = \frac{f_r}{f} = \frac{0.93}{60} = 0.0155\quad (1.55\%)$

核心觀念

本題評量三相圓極式（Cylindrical-rotor）同步發電機在對無限母線／配電網路供電時的穩態運轉分析，涉及核心觀念與公式如下：

1. 三相 Y 接系統之電壓與電流關係：

• 線電壓 $V_L$ 與相電壓 $V_\phi$ 關係： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$
• 三相額定視在功率 $S_{3\phi}$ 與額定線電流 $I_L$（等於相電流 $I_a$）關係： $S_{3\phi} = \sqrt{3} V_L I_L = 3 V_\phi I_a \implies I_a = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_L}$

2. 同步發電機單相等效電路與克希荷夫電壓定律（KVL）：

• 單相等效電路由內部感應激勵電壓 $\bar{E}_a$、每相同步電抗 $X_s$、電樞電阻 $R_a$ 及每相端電壓 $\bar{V}_\phi$ 串聯組成。
• 題目未給定電樞電阻 $R_a$，依工程慣例與單相等效電路圖忽略不計（$R_a = 0$）。
• 每相電壓方程式： $\bar{E}_a = \bar{V}_\phi + j\bar{I}_a X_s$

3. 交流相量分析與落後功率因數：

• 以端電壓為參考相量，設 $\bar{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$。
• 功率因數 $\mathrm{PF} = \cos\theta = 0.8$ 落後（Lagging），表示電流相量落後端電壓 $\theta$ 角： $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ \implies \bar{I}_a = I_a \angle -\theta = I_a \angle -36.87^\circ$

4. 激勵電壓相量與功角（Power Angle）$\delta$：

• 激勵電壓 $\bar{E}_a = E_a \angle \delta$，其中 $\delta$ 為超前端電壓之功角（負荷角）。

解題方法

步驟一：計算每相額定端電壓 $\bar{V}_\phi$

發電機為 Y 接，額定線電壓 $V_L = 208\ \mathrm{V}$。取每相端電壓為參考相量： $V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{208}{\sqrt{3}} \approx 120.09\ \mathrm{V}$ （若實務考題取標準市電相電壓 $120\ \mathrm{V}$ 亦可，本處以標準理論值 $120.09\ \mathrm{V}$ 計算，並附上 $120\ \mathrm{V}$ 之結果） $\bar{V}_\phi = 120.09 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$

步驟二：計算額定電樞電流 $\bar{I}_a$

三相額定容量 $S_{3\phi} = 5\ \mathrm{kVA} = 5000\ \mathrm{VA}$，電樞電流大小為： $I_a = \frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3} V_L} = \frac{5000}{\sqrt{3} \times 208} \approx 13.88\ \mathrm{A}$ （若以 $V_\phi = 120\ \mathrm{V}$ 計算，則 $I_a = \frac{5000}{3 \times 120} \approx 13.89\ \mathrm{A}$）

因負載功率因數為 $0.8$ 落後，功率因數角 $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$。 電樞電流相量為： $\bar{I}_a = 13.88 \angle -36.87^\circ\ \mathrm{A}$ 化為直角座標形式： $\bar{I}_a = 13.88 \times (\cos(-36.87^\circ) + j\sin(-36.87^\circ)) = 13.88 \times (0.8 - j0.6) = (11.10 - j8.33)\ \mathrm{A}$

步驟三：計算每相激勵電壓 $\bar{E}_a$

由單相等效電路之 KVL 方程式： $\bar{E}_a = \bar{V}_\phi + j\bar{I}_a X_s$ 其中同步電抗壓降為： $j\bar{I}_a X_s = (8 \angle 90^\circ) \times (13.88 \angle -36.87^\circ) = 111.04 \angle 53.13^\circ\ \mathrm{V}$ 化為直角座標： $j\bar{I}_a X_s = 111.04 \times (\cos 53.13^\circ + j\sin 53.13^\circ) = 111.04 \times (0.6 + j0.8) = (66.62 + j88.83)\ \mathrm{V}$

代入計算激勵電壓相量： $\bar{E}_a = 120.09 \angle 0^\circ + (66.62 + j88.83) = (120.09 + 66.62) + j88.83 = 186.71 + j88.83\ \mathrm{V}$ 計算大小與相位角（功角 $\delta$）： $E_a = |\bar{E}_a| = \sqrt{186.71^2 + 88.83^2} = \sqrt{34860.6 + 7890.8} = \sqrt{42751.4} \approx 206.76\ \mathrm{V}$ $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{88.83}{186.71}\right) \approx 25.44^\circ$ 因此： $\bar{E}_a \approx 206.76 \angle 25.44^\circ\ \mathrm{V}$