110 地方特考四等 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查環形鐵芯電感器的磁路分析，使用下列關係式：

• 平均磁路長度： $\ell = 2\pi r$
• 磁阻： $\mathcal{R}=\frac{\ell}{\mu A_c}$
• 電感： $L=\frac{n^2}{\mathcal{R}}=\frac{\mu n^2 A_c}{\ell}$
• 導磁係數： $\mu=\mu_0\mu_r$
• 磁場強度： $H=\frac{ni}{\ell}$
• 磁通密度： $B=\mu H=\frac{\mu ni}{\ell}$

假設鐵芯磁路均勻，忽略漏磁與磁通邊緣效應。

已知資料換算

平均磁路長度為：

（一）計算線圈匝數

由電感公式：

解出匝數 $n$：

代入 $L=35\text{ mH}=0.035\text{ H}$：

核心觀念

本題考查：

1. 單相變壓器的開路試驗與短路試驗。
2. 兩部單相變壓器之 V－V（開放三角形、Open-Delta）連接。
3. V－V 變壓器組的容量。
4. 變壓器組效率之計算。

已知每部單相變壓器：

開路試驗所得實功率主要為鐵損：

短路試驗於額定電流下所得實功率為額定銅損：

（一）V－V 連接電路圖

三相電源端為 $A、B、C$。兩部變壓器的高壓側分別接於 $AB$ 與 $CB$ 之間，低壓側則將其中一端共接，另一端形成三相輸出端。

 三相 11.4 kV 電源

 A -----------┐
 │
 ┌───┴───┐
 │ T1 │
 └───┬───┘
 │
 B -------------┘

 C -----------┐
 │
 ┌───┴───┐
 │ T2 │
 └───┬───┘
 │
 B -------------┘

低壓側：

 x ───── T1 ───── y
 │
 z ───── T2 ─────┘

 三相 220 V 負載接於 x、y、z

其中，$T_1$ 的一次側跨接 $A-B$，$T_2$ 的一次側跨接 $C-B$。二次側以 $y$ 為共同端，利用兩部變壓器二次電壓的向量差產生第三相電壓，因此形成開放三角形三相供電系統。

理想情況下，三相輸出端的線電壓均為 $220\text{ V}$。

（二）變壓器組的 kVA 容量

解題方法

兩部相同單相變壓器作 V－V 連接時，變壓器組的三相容量為：

代入每部變壓器容量：

因此：

容量驗算

三相容量也可由下式驗算：

V－V 連接在額定容量時，每部變壓器皆承受額定容量 $37.5\text{ kVA}$，故總三相容量為 $\sqrt{3}$ 倍的單部容量，而不是 $2$ 倍。

（三）功率因數 0.8 落後額定負載時的效率

1. 額定輸出實功率

變壓器組額定視在功率為：

負載功率因數為：

因此負載輸出實功率為：

2. 變壓器組鐵損

核心觀念

本題考查直流串激電動機的：

• 電動機端電壓方程式
• 反電動勢與電樞電流的關係
• 電磁轉換功率
• 機械轉矩與轉速的換算

串激電動機的串激磁場繞組與電樞串聯，因此：

忽略電刷壓降時，電動機電壓方程式為：

其中：

• $V$：電源端電壓
• $E_a$：反電動勢
• $R_a+R_s$：電樞與串激磁場繞組總電阻

電氣輸入功率扣除銅損後，即為電磁轉換功率：

又因題目忽略機械損失，所以：

（一）等效電路圖

直流串激電動機的等效電路如下：

 Ia = 62 A
 ┌──────→──────────────┐
 │ │
 + │ 串激磁場 電樞
250 V Rs Ra 反電動勢 Ea
 │ ──────── ──────── ⊕ ⊖
 │ │
 └─────────────────────┘

亦可將電阻合併表示為：

 Ia
 ┌─────→──────────────┐
 │ │
 + │ R_a + R_s E_a │
250 V ────────────────⊖⊕│
 │ │
 └────────────────────┘

其中反電動勢 $E_a$ 的方向與外加電壓相反，因此電壓方程式為：

（二）機械輸出功率與轉矩

步驟一：計算反電動勢

已知：

電阻壓降為：

因此反電動勢：

步驟二：計算電磁轉換功率

電磁轉換功率為：

代入數值：

題目忽略機械損失，因此機械輸出功率為：

即：

核心觀念

本題考查三相同步電動機之：

1. 三相功率與線電壓、線電流的關係。
2. Y 接時線電壓與相電壓的換算。
3. 同步電動機忽略電樞電阻時的每相相量方程式。
4. 功率因數為 $1$ 時，電樞電流與電源電壓同相。
5. 轉矩角 $\delta$ 為每相激勵電壓 $E_a$ 落後電源電壓 $V_s$ 的相角。

同步電動機每相方程式為

其中 $X_s$ 為每相同步電抗。

解題方法

題目說明忽略一切機械損失，因此輸出機械功率等於輸入電功率：

又因為功率因數為 $1$，所以

可令每相電源電壓 $\boldsymbol{V}_s$ 作為參考相量，則 $\boldsymbol{I}_a$ 與 $\boldsymbol{V}_s$ 同相。

（一）每相相量圖

Y 接之同步電動機，每相方程式為

由於 $\boldsymbol{I}_a$ 與 $\boldsymbol{V}_s$ 同相，故 $jX_s\boldsymbol{I}_a$ 超前 $\boldsymbol{I}_a$ $90^\circ$，方向垂直向上。

相量關係如下：

 jX_s I_a
 ↑
 │
 │
O──────────────●─────────────→ V_s、I_a
 \ │
 \ │
 \ │
 \ E_a │
 \ │
 ↓

∠(E_a, V_s) = δ

較精確地表示：

因此，$\boldsymbol{E}_a$ 位於 $\boldsymbol{V}_s$ 下方，且落後 $\boldsymbol{V}_s$ 一個轉矩角 $\delta$。

相量圖中的幾何關係為

且

（二）計算 $I_a$、$E_a$ 及 $\delta$

1. 計算電樞電流 $I_a$

三相輸入功率為

Y 接時線電流等於相電流：

代入 $P=60\,000\text{ W}$、$V_L=440\text{ V}$、$\cos\phi=1$：

因功率因數為 $1$，可表示為

2. 計算每相電源電壓 $V_s$

Y 接時：

因此

核心觀念

本題考查繞線式轉子三相感應電動機的基本關係：

1. 同步轉速 $n_s=\frac{120f_1}{P}$

2. 轉差率 $s=\frac{n_s-n_m}{n_s}$

3. 轉子感應頻率 $f_2=sf_1$

4. 轉子感應電壓 運轉時轉子感應電壓為靜止轉子感應電壓的 $s$ 倍： $E_{2}=sE_{20}$

5. 轉子旋轉磁場相對轉子的速度為 $n_{sl}=\frac{120f_2}{P}$

感應電動機的轉子旋轉磁場相對定子而言，會以同步轉速旋轉。

解題方法

（一）求轉差率

同步轉速為

已知轉子實際轉速

因此轉差率為

故

（二）求轉子每相感應電壓及頻率

1. 定子每相電壓

定、轉子繞組皆為 Y 接，定子線電壓為 $208\text{ V}$，因此定子每相電壓為

因定子阻抗壓降可忽略，可將定子每相電壓視為定子感應電勢：

2. 靜止時轉子每相感應電壓

定子與轉子繞組匝數比為

因此靜止時轉子每相感應電壓為

3. 運轉時轉子每相感應電壓

運轉時轉差率為 $s=0.05$，所以

故轉子所感應的每相電壓為

也可直接寫成