111 地方特考四等 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量變壓器損耗分類、物理成因、效率定義及其計算能力，核心概念如下：

1. 銅損（Copper Loss, $P_{\mathrm{cu}}$）：電流流經繞組內阻所產生的焦耳熱損耗，數值與負載電流的平方成正比，屬於「變動損」（Variable Loss）。
2. 鐵損（Iron Loss, $P_i$ 或 $P_c$）：交變磁通在鐵心內部引起的能量損耗，包含磁滯損（Hysteresis Loss）與渦流損（Eddy Current Loss）。在額定電壓與額定頻率下，磁通密度維持定值，故鐵損大小與負載無關，屬於「固定損」（Fixed Loss）。
3. 變壓器效率公式： $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}} + P_{\mathrm{loss}}} = \frac{m S_n \cos\theta}{m S_n \cos\theta + P_i + m^2 P_{\mathrm{cu,FL}}}$ 其中 $m$ 為負載率（滿載時 $m = 1$）、$S_n$ 為額定視在功率、$\cos\theta$ 為負載功率因數、$P_{\mathrm{cu,FL}}$ 為滿載銅損。
4. 銅損特性：滿載銅損由滿載電流大小與等效電阻決定（$P_{\mathrm{cu,FL}} = I_{\mathrm{FL}}^2 R_{\mathrm{eq}}$），電流大小僅取決於負載視在功率與額定電壓，與負載功率因數的角度無關。

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解題方法

(一) 說明銅損發生的原因

1. 物理成因：變壓器一次側與二次側繞組由具電阻率的金屬導線（通常為銅線）繞製而成，具有內部繞組電阻（分別為 $R_1$ 與 $R_2$）。
2. 焦耳定律：當負載電流流經繞組時，導線電阻將電能轉換為不可逆的焦耳熱散逸，損耗大小依據焦耳定律計算： $P_{\mathrm{cu}} = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 = I^2 R_{\mathrm{eq}}$
3. 運轉特性：由於繞組電阻在固定溫度下視為定值，銅損大小與負載電流有效值的平方成正比（$P_{\mathrm{cu}} \propto I^2$），會隨負載大小改變，因此又稱為變動損。

(二) 說明鐵損發生的原因

鐵損發生於變壓器的磁性鐵心材料內部，是鐵心承受交變磁場激磁時所產生的能量損耗，主要由以下兩部分構成：

1. 磁滯損（Hysteresis Loss, $P_h$）：

• 原因：鐵心材料處於交流激磁磁場中，其內部的微觀磁疇（Magnetic Domains）方向會隨交變磁場反覆反轉極性。在轉向過程中，磁疇間相互克服內摩擦阻力，消耗能量並以熱能形式逸散。
• 公式：依史坦麥茲經驗公式（Steinmetz's Equation）： $P_h = k_h \cdot f \cdot B_m^n$ （其中 $k_h$ 為材料常數，$f$ 為電源頻率，$B_m$ 為最大磁通密度，$n \approx 1.6 \sim 2.0$）。

2. 渦流損（Eddy Current Loss, $P_e$）：

• 原因：依據法拉第電磁感應定律，通過鐵心的交變磁通會在導電的鐵心截面上感應出電動勢，從而在鐵心內部形成封閉迴路的感應環流（稱為渦電流）。此渦電流流經鐵心自身電阻時產生焦耳熱損耗。
• 公式： $P_e = k_e \cdot f^2 \cdot B_m^2 \cdot t^2$ （其中 $k_e$ 為比例常數，$t$ 為矽鋼片疊片厚度）。

3. 運轉特性：在額定電壓與額定頻率下運轉時，鐵心最大磁通密度 $B_m$ 保持不變，因此鐵損值為固定常數，不受負載大小與功率因數變動影響，故又稱為固定損。

(三) 說明變壓器效率的計算方式

1. 基本定義： 變壓器效率 $\eta$ 定義為「輸出有效功率 $P_{\mathrm{out}}$」與「輸入有效功率 $P_{\mathrm{in}}$」之比值： $\eta = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} \times 100\% = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}} + \sum P_{\mathrm{loss}}} \times 100\%$
2. 常規損耗計算： 在一般工程計算與國家考試中，僅考慮鐵損 $P_i$ 與銅損 $P_{\mathrm{cu}}$（忽略微小的雜散損與介質損），總損失表示為： $\sum P_{\mathrm{loss}} = P_i + P_{\mathrm{cu}}$
3. 運轉條件實用計算式： 若變壓器額定容量為 $S_n$（單位為 $\mathrm{VA}$ 或 $\mathrm{kVA}$），運轉於負載率 $m$（$0 \le m \le 1$）與功率因數 $\cos\theta$ 時：

• 輸出功率：$P_{\mathrm{out}} = m \cdot S_n \cdot \cos\theta$
• 鐵損：$P_i$（固定不變）
• 銅損：$P_{\mathrm{cu}} = m^2 \cdot P_{\mathrm{cu,FL}}$（$P_{\mathrm{cu,FL}}$ 為滿載時之銅損）
• 綜合效率公式： $\eta = \frac{m S_n \cos\theta}{m S_n \cos\theta + P_i + m^2 P_{\mathrm{cu,FL}}} \times 100\%$ 當運轉於滿載（$m = 1$）時，公式簡化為： $\eta = \frac{S_n \cos\theta}{S_n \cos\theta + P_i + P_{\mathrm{cu,FL}}} \times 100\%$

核心觀念

1. 輸出電壓波形改善與諧波抑制 交流同步發電機在空載時，氣隙磁通密度分佈往往非純粹正弦波，且電樞表面開槽會造成磁導變化，使感應電勢含有奇次諧波（如 3、5、7 次）及齒諧波（Slot Harmonics）。為了使感應電勢儘量接近正弦波，電機設計上主要透過電樞繞組排列方式進行濾波削弱：

• 短節距繞組（Short-pitch Winding）：利用節距因數 $k_p < 1$ 消除或大幅抑制特定階次的空間高次諧波。
• 分布繞組（Distributed Winding）：將線圈分散在多個槽內，各槽電勢具相位差，藉由分布因數 $k_d < 1$ 使合成電勢之高次諧波比例顯著降低。
• 斜槽（Skewed Slots）：將定子槽（或轉子磁極）偏斜一個槽距，削弱因齒槽效應產生的齒諧波。
• 分數槽繞組（Fractional-slot Winding）：每極每相槽數取非整數，可進一步等效增加相帶數與相角位移，消除特定高頻諧波。

2. 分布因數（Distribution Factor, $k_d$）之定義與計算公式 分布因數定義為「分布繞組各線圈電勢之相量和」與「集中繞組各線圈電勢之代數和」之比值： $k_d = \frac{\sin\left(\dfrac{m\alpha}{2}\right)}{m \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}$ 其中：

• $P$：磁極數（Pole number）
• $S$：定子總槽數（Total stator slots）
• $m$：每極每相槽數（Slots per pole per phase），$m = \dfrac{S}{P \times \text{相數}}$
• $\alpha$：相鄰槽距電氣角（Slot electrical pitch angle），$\alpha = \dfrac{P \times 180^\circ}{S}$
• $m\alpha$：每相相帶之電氣角度（Phase spread）

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解題方法

(一) 電樞繞組抑制諧波之方式說明

為使同步發電機之輸出波形接近正弦波，常用的電樞繞組設計方式如下：

1. 採用短節距繞組（Short-pitch Winding）

• 原理：使電樞線圈的跨距 $W$ 小於一個極距 $\tau$（即節距比 $\beta = \frac{W}{\tau} < 1$）。
• 抑制效果：$n$ 次諧波的節距因數為 $k_{p,n} = \cos\left(\frac{n\varepsilon}{2}\right) = \sin\left(\frac{n\beta \cdot 180^\circ}{2}\right)$（其中 $\varepsilon = 180^\circ - \beta \times 180^\circ$ 為縮距電氣角）。
• 實務應用：若欲消除第 $n$ 次諧波，令 $k_{p,n} = 0$，可選取線圈節距縮短 $\frac{1}{n}$ 極距。例如採用 $\frac{5}{6}$ 極距（縮短 $\frac{1}{6}$ 極距，$\beta = 5/6$），此時 $\sin\left(\frac{5 \times 180^\circ \times 5/6}{2}\right) \approx 0$ 以及第 7 次諧波均被大幅壓制（$5$ 次與 $7$ 次諧波因數皆降至極小），最常應用於工業發電機。

2. 採用分布繞組（Distributed Winding）

• 原理：將原本集中在單一槽中的一相繞組，分散配置於極距內的 $m$ 個槽中（每極每相槽數 $m \ge 2$）。
• 抑制效果：各槽線圈感應電勢大小相等但彼此具備槽距角 $\alpha$ 之相位差。合成基波電勢因相量疊加而略微減小（基波分布因數 $k_{d,1} \approx 0.95 \sim 0.96$），但對於 $n$ 次諧波而言，其相角差放大為 $n\alpha$，諧波分布因數 $k_{d,n} = \frac{\sin(n m \alpha / 2)}{m \sin(n \alpha / 2)}$ 急遽下降，使得輸出端電壓的高次諧波成分大幅衰減。

3. 採用斜槽構造（Skewed Slots）

• 原理：將定子槽沿軸向偏斜一個齒距角度（或轉子磁極斜扭）。
• 抑制效果：使導體沿軸向各區段感應之高頻槽漣波（齒諧波，Tooth/Slot ripple harmonics）彼此相位抵消，其斜槽因數為 $k_{s,n} = \frac{\sin(n\gamma/2)}{n\gamma/2}$（$\gamma$ 為斜槽電氣角）。

核心觀念

本題評量交流電動機與直流電動機的基礎運轉原理、分類特性及感應電動機之轉差率計算，涵蓋三大核心觀念：

1. 交流電動機按轉速特性分類：依據旋轉磁場轉速（同步轉速 $N_s$）與轉子實際轉速 $N_r$ 之關係，分為同步、非同步（感應）及整流子（通用）電動機。
2. 直、交流電動機之能量轉換原理：

• 直流電動機：基於「載流導體在磁場中受力」（佛萊明左手定則，勞侖茲力 $F = B I L \sin\theta$），並仰賴「換向器與電刷」切換電流方向以維持單向連續轉矩。
• 交流電動機：基於多相對稱交流電產生的「旋轉磁場」（阿喇戈圓盤原理），藉由感應電磁轉矩（感應機）或異性磁極相吸鎖定（同步機）帶動轉子旋轉。

3. 感應電動機之轉速與轉差率公式：

• 同步轉速：$N_s = \frac{120f}{P}$
• 轉差率（Slip）：$s = \frac{N_s - N}{N_s}$

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解題方法

(一) 交流電動機依轉速特性之分類與應用

依轉子運轉轉速相對於定子旋轉磁場轉速之特性，主要可分為以下三類：

1. 同步電動機（Synchronous Motor）

• 轉速特性：轉子轉速嚴格等於定子旋轉磁場之同步轉速（即 $N = N_s$，轉差率 $s = 0$）。在負載不超過脫步轉矩的條件下，運轉轉速完全不受負載大小變化的影響（轉速調整率為 $0\%$）。
• 主要應用：要求恆速運轉的大型工業動力設備（如大型壓縮機、離心泵、鼓風機、球磨機），並可藉由調整直流激磁電流作「同步調相機」使用，以改善電力系統之功率因數。

2. 非同步電動機／感應電動機（Asynchronous / Induction Motor）

• 轉速特性：轉子轉速恆低於同步轉速（即 $N < N_s$，正常運轉轉差率 $0 < s < 1$），且轉速隨機械負載轉矩的增加而略微下降（具微垂轉速特性）。
• 主要應用：工業與民生最普及之動力來源。包括家用電器（電風扇、冷氣壓縮機、洗衣機、抽水馬達）及各類工業輸送帶、工具機、泵浦等。

3. 交流整流子電動機／通用電動機（Universal Motor）

• 轉速特性：具有類似直流串激電動機之轉速特性，轉速隨負載減小而急遽上升（輕載高轉速、重載低轉速），且最高轉速可遠高於工頻同步轉速。
• 主要應用：手提式電動工具（電鑽、砂輪機）、吸塵器、果汁機、吹風機等高轉速或調速需求設備。

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(二) 直流電動機與交流電動機之工作原理比較

比較項目	直流電動機（DC Motor）	交流電動機（AC Motor，以感應與同步機為例）
基本作用力原理	載流導體於磁場中受力（佛萊明左手定則，安培力／勞侖茲力 $F = B I L \sin\theta$）。	利用多相交流電產生的旋轉磁場與轉子磁場產生電磁轉矩或磁鎖定力。
磁場產生機制	定子主磁極通入直流電產生靜止固定磁場；轉子（電樞）通入直流電流。	定子對稱多相繞組通入對稱多相交流電，於氣隙建立以同步轉速 $N_s$ 旋轉的旋轉磁場。
連續轉矩維持機制	轉子旋轉時，必須藉由**電刷與換向器（整流子）**在幾何中性面切換電樞導體的電流方向，以維持單向轉矩。	轉矩由旋轉磁場直接驅動：<br>1. 感應機：旋轉磁場切割轉子導體感應電流，感應電流再受旋轉磁場之電磁力帶動旋轉。<br>2. 同步機：轉子直流磁場與定子旋轉磁場異性相吸，磁極鎖定同步旋轉。
電刷與換向機構	傳統機型必需具備電刷與換向器，容易產生火花、磨損且需定期維護。	鼠籠式感應電動機結構無電刷及換向器，結構堅固、成本低、免維護。

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(三) 無載與額定負載之轉差率計算

步驟一：計算定子旋轉磁場之同步轉速 $N_s$ 已知電源頻率 $f = 60\,\mathrm{Hz}$，極數 $P = 4$：

核心觀念

1. 分激式直流電動機結構與等效電路： 分激式（Shunt）直流電動機的磁場繞組（分激繞組）與電樞迴路呈「並聯」連接，共同承受外加端電壓 $V_t$。

• 電源端電流：$I_L = I_a + I_f$
• 磁場迴路電流（激磁電流）：$I_f = \frac{V_t}{R_f}$
• 電樞迴路克希荷夫電壓定律（KVL）：$V_t = E_a + I_a R_a \implies E_a = V_t - I_a R_a$

2. 反電動勢與轉速方程式： 電樞反電動勢公式為 $E_a = K \phi n$（其中 $K$ 為電機結構常數，$\phi$ 為每極磁通量，$n$ 為轉速），整理可得轉速方程式： $n = \frac{E_a}{K \phi} = \frac{V_t - I_a R_a}{K \phi}$ 由於分激繞組直接並聯於端電壓，在端電壓固定下，磁通量 $\phi$ 近似為定值，因此轉速隨電樞電流 $I_a$ 的增加僅受 $I_a R_a$ 壓降影響而略微下降，具備「近乎定速」特性。

3. 電磁轉矩方程式： 直流電動機的內生電磁轉矩為： $T = K' \phi I_a$ （其中 $K'$ 為轉矩常數）。在磁通 $\phi$ 恆定下，轉矩 $T$ 與電樞電流 $I_a$ 成正比。

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解題方法

(一) 等效電路與元件意義

1. 等效電路圖：

 IL Ia
 (+) o---+----------------+-----------[ Ra ]----------+
 | | |
 | | +
 [ ] 
 Rf [ ] Vt 端電壓 Ea ( M ) 電樞反電動勢
 [ ] 
 | | -
 | | |
 (-) o---+----------------+---------------------------+
 |
 If

2. 元件意義說明：

• $V_t$：外加直流電源之端電壓（Terminal Voltage）。
• $I_L$：外加電源之線路總電流（Line Current），$I_L = I_a + I_f$。
• $I_a$：電樞電流（Armature Current），流入電樞以產生驅動轉矩。
• $R_a$：電樞電阻（Armature Resistance），包含電樞繞組電阻與電刷接觸電阻。
• $E_a$：電樞反電動勢（Counter-EMF），電樞旋轉感應產生的反向電動勢，方向與 $I_a$ 相反。
• $I_f$：激磁電流（分激磁場電流，Field Current），用於建立主磁場。
• $R_f$：分激磁場電阻（Field Resistance），包含分激繞組電阻及串聯的磁場調整電阻。

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(二) 轉速特性曲線（轉速與電樞電流）

1. 特性說明： 根據轉速方程式： $n = \frac{V_t - I_a R_a}{K \phi}$

• 理想狀況（忽略電樞反應）：端電壓 $V_t$ 固定時，激磁電流 $I_f = \frac{V_t}{R_f}$ 為定值，磁通 $\phi$ 保持恆定。隨著負載轉矩增加，電樞電流 $I_a$ 上升，$I_a R_a$ 電阻壓降增大，使得反電動勢 $E_a$ 減小，轉速 $n$ 隨 $I_a$ 增加而略為線性下垂（滿載轉速降幅約為 $2\% \sim 8\%$，故稱為「定速電動機」）。
• 實際狀況（考慮電樞反應）：大負載時，電樞反應產生去磁作用使得主磁通 $\phi$ 略微減小。由於 $\phi$ 在分母，磁通減少會抵消一部分因 $I_a R_a$ 造成的轉速降，使轉速曲線下降趨勢略微減緩。

2. 曲線繪製：