108 地方特考四等 電力工程 電工機械概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器在負載下的損失、效率與電壓調整率。高壓側等效串聯阻抗包含繞組電阻與漏電抗，鐵損由鐵損等效電阻計算；激磁支路的電流相對較小，依常用近似法，忽略其對負載電流及輸入功率的影響。

效率定義為輸出實功率除以輸入實功率；電壓調整率以滿載端電壓為基準，比較空載與負載端電壓。

解題方法

先由負載的實功率與功率因數求低壓側電流，再換算成高壓側電流。以高壓側電流計算銅損與串聯阻抗上的電壓降；鐵損則以額定高壓側電壓計算。

低壓側負載電流為

$$I_L=\frac{P_{\text{out}}}{V_L\cos\phi} =\frac{120\,000}{240(0.6)} =833.333\ \mathrm{A}$$

變比為

$$a=\frac{2400}{240}=10$$

因此高壓側等效負載電流為

$$I_H=\frac{I_L}{a}=83.333\ \mathrm{A}$$

功率因數 $0.6$ 滯後，故 $\sin\phi=0.8$，高壓側電流相量可寫為

$$\underline I_H=83.333\angle -53.13^\circ =50-j66.667\ \mathrm{A}$$

1. 銅損

高壓側串聯電阻為 $R_{\text{eq}}=0.432\ \Omega$，因此

$$P_{\text{cu}}=I_H^2R_{\text{eq}} =(83.333)^2(0.432) =3000\ \mathrm{W}$$

2. 鐵損

以額定高壓側電壓 $V_H=2400\ \mathrm{V}$ 計算：

$$P_{\text{core}}=\frac{V_H^2}{R_c} =\frac{2400^2}{2880} =2000\ \mathrm{W}$$

3. 效率

輸入實功率等於輸出實功率加上銅損與鐵損：

$$P_{\text{in}}=120+3+2=125\ \mathrm{kW}$$

核心觀念

本題考查同步發電機的相量關係、標麼值換算、三相功率計算，以及同步轉速與電磁轉矩。

忽略電樞電阻時，同步發電機的每相電壓方程式為

$$\underline E=\underline V+jX_s\underline I$$

其中 $\underline E$ 為內部感應電勢、$\underline V$ 為端電壓、$X_s$ 為每相同步電抗。以端電壓為相位基準，功率角 $\delta$ 表示 $\underline E$ 超前 $\underline V$ 的角度。

三相總功率可由每相複功率相加求得；在本題條件下，實功率與虛功率也可用功率角公式計算：

$$P=\frac{3EV}{X_s}\sin\delta,\qquad Q=\frac{3V}{X_s}(E\cos\delta-V)$$

此處 $E$、$V$ 均指每相電壓的有效值，且 $Q>0$ 表示發電機向外輸出感性虛功。

解題方法

1. 將標麼值換成實際同步電抗

額定容量與線電壓為三相基值：

$$S_{\text{base}}=100\ \mathrm{kVA},\qquad V_{LL,\text{base}}=460\ \mathrm{V}$$

每相基準阻抗為

$$Z_{\text{base}} =\frac{V_{LL,\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{460^2}{100\,000} =2.116\ \Omega$$

因此每相同步電抗為

$$X_s=0.4Z_{\text{base}} =0.8464\ \Omega$$

發電機為 Y 接，額定相電壓為

$$V=E=\frac{460}{\sqrt3}=265.58\ \mathrm{V}$$

2. 求輸出電流

取端電壓為相位基準，則

$$\underline V=V\angle0^\circ,\qquad \underline E=E\angle21^\circ$$

由電壓方程式，

$$\underline I=\frac{\underline E-\underline V}{jX_s}$$

本題 $E=V$，故電流大小為

$$|I|=\frac{|E\angle21^\circ-V\angle0^\circ|}{X_s} =\frac{2V\sin(21^\circ/2)}{X_s}$$ $$|I|=\frac{2(265.58)\sin10.5^\circ}{0.8464} =114.3\ \mathrm{A}$$

相量角度為 $-79.5^\circ$，所以

核心觀念

本題考查感應電動機的同步轉速、轉差率、轉子電流頻率，以及三相輸入功率、輸出轉矩與效率的計算。

• 同步轉速：$n_s=\dfrac{120f}{P}$（rpm）
• 轉差率：$s=\dfrac{n_s-n_r}{n_s}$，故轉子轉速 $n_r=(1-s)n_s$
• 轉子側導體電流頻率：$f_r=sf$
• 三相輸入功率：$P_{\mathrm{in}}=\sqrt{3}V_L I_L\cos\phi$
• 效率：$\eta=\dfrac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}$
• 輸出轉矩：$T_{\mathrm{out}}=\dfrac{P_{\mathrm{out}}}{\omega_r}$，其中 $\omega_r=\dfrac{2\pi n_r}{60}$

題目給定輸出功率 $2\,\mathrm{kW}$，且銅損、鐵損與旋轉損失合計 $250\,\mathrm{W}$，因此輸入功率為輸出功率加總損失。

解題方法

1. 計算同步轉速與轉子轉速

$$n_s=\frac{120(50)}{8}=750\ \mathrm{rpm}$$ $$n_r=(1-0.03)(750)=727.5\ \mathrm{rpm}$$

2. 計算轉子側導體電流頻率

$$f_r=sf=0.03(50)=1.5\ \mathrm{Hz}$$

3. 由功率平衡求輸入功率與輸入電流

$$P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{loss}} =2000+250=2250\ \mathrm{W}$$

核心觀念

永磁式直流電動機的磁通量固定，忽略磁飽和與鐵心損失時，反電勢與轉速成正比，電磁轉矩與電樞電流成正比：

$$E_a=K\omega,\qquad T_e=K I_a$$

其中 $K$ 為電動機常數，$\omega$ 為角速度。電樞電壓方程式為

$$V_t=E_a+I_aR_a$$

靜止時 $\omega=0$，所以 $E_a=0$。電樞電阻消耗功率與輸入功率分別為

$$P_{\mathrm{cu}}=I_a^2R_a,\qquad P_{\mathrm{in}}=V_t I_a$$

解題方法

先利用已知運轉點求反電勢，再由 $E_a=K\omega$ 求電動機常數。轉速須換算為角速度：

$$\omega=1500\frac{2\pi}{60}=50\pi\ \mathrm{rad/s}$$

已知 $V_t=24\ \mathrm{V}$、$I_a=1.5\ \mathrm{A}$、$R_a=0.8\ \Omega$，故反電勢為

$$E_a=V_t-I_aR_a =24-(1.5)(0.8) =22.8\ \mathrm{V}$$

因此

$$K=\frac{E_a}{\omega} =\frac{22.8}{50\pi} \approx 0.1451$$

在 SI 單位下，$K$ 亦可用 $\mathrm{N\cdot m/A}$ 表示。

（一）端電壓為 $6\ \mathrm{V}$、轉速為零

轉速為零，反電勢 $E_a=0$。由電壓方程式求電樞電流：

$$I_a=\frac{V_t}{R_a} =\frac{6}{0.8} =7.5\ \mathrm{A}$$

電磁轉矩為

$$T_e=K I_a =(0.1451)(7.5) \approx 1.09\ \mathrm{N\cdot m}$$

（二）端電壓為 $24\ \mathrm{V}$、電磁轉矩為 $2.0\ \mathrm{N\cdot m}$