113 地方特考四等 測量製圖 測量學與土地測量法規概要 考古題詳解

113 年・地方特考・四等・測量製圖
試題代碼 測量學與土地測量法規概要

第 一 題25 分

若已知 AA 點高程 100.000 m100.000\ \mathrm{m}，將水準儀架於 AA、BB 兩點中間，第一次測得後視 AA 點和前視 BB 點之水準尺讀數分別是 1.482 m1.482\ \mathrm{m} 和 1.206 m1.206\ \mathrm{m}；第二次測得後視 AA 點和前視 BB 點之水準尺讀數分別是 1.481 m1.481\ \mathrm{m} 和 1.265 m1.265\ \mathrm{m}。

試繪製略圖並計算 BB 點兩次之高程；若不考慮儀器與水準尺設置誤差，在讀數誤差為 1 mm1\ \mathrm{mm}、AA 點高程誤差為 1 mm1\ \mathrm{mm} 時，計算兩次解算 BB 點高程之中誤差，並說明兩次計算之高程是否合理？若不合理，請說明你的原因，以及你會採取什麼方式正確得到 BB 點的高程？

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核心觀念

水準測量以後視讀數與前視讀數之差計算兩點高差：

ΔhAB=HB−HA=後視讀數−前視讀數\Delta h_{AB}=H_B-H_A=\text{後視讀數}-\text{前視讀數}

因此：

HB=HA+後視讀數−前視讀數H_B=H_A+\text{後視讀數}-\text{前視讀數}

儀器架在 A、BA、B 兩點中間，可減少視準軸誤差對高差的影響；但兩次觀測的讀數差若明顯不一致，仍須檢核觀測是否可靠。

解題方法

已知 HA=100.000 mH_A=100.000\ \mathrm{m}。

第一次觀測：

HB1=100.000+1.482−1.206=100.276 mH_{B1}=100.000+1.482-1.206 =100.276\ \mathrm{m}

第二次觀測：

HB2=100.000+1.481−1.265=100.216 mH_{B2}=100.000+1.481-1.265 =100.216\ \mathrm{m}

計算高程中誤差時，假設後視、前視讀數誤差彼此獨立，且各為 1 mm1\ \mathrm{mm}；AA 點高程中誤差亦為 1 mm1\ \mathrm{mm}。由誤差傳播定律：

mHB=mHA 2+m後視 2+m前視 2=12+12+12=3 mm≈1.73 mmm_{H_B} =\sqrt{m_{H_A}^{\,2}+m_{\text{後視}}^{\,2}+m_{\text{前視}}^{\,2}} =\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3}\ \mathrm{mm} \approx1.73\ \mathrm{mm}

故兩次解算的 BB 點高程中誤差均約為 1.73 mm1.73\ \mathrm{mm}。

兩次高程相差：

∣HB1−HB2∣=0.060 m=60 mm|H_{B1}-H_{B2}|=0.060\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{mm}

若兩次高程誤差互相獨立，其差值的中誤差為：

m差=(1.73)2+(1.73)2≈2.45 mmm_{\text{差}}=\sqrt{(1.73)^2+(1.73)^2} \approx2.45\ \mathrm{mm}
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第 二 題25 分

如下圖，點 AA、BB 為已知平面控制點，某棟獨立建物高三樓，位處於平地上。若今使用具備免稜鏡功能、即可施測的全測站儀，在不補建控制點的情況下，如何完整測繪該建物點 11、22、…\ldots、88 之平面坐標？

請詳述：

  1. 在何處設置儀器。
  2. 使用何種測量方法施測那些點位。
  3. 各測量方法須觀測哪些觀測量。
  4. 計算平面坐標之原理。
  5. 所使用測量方法之特性。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查已知平面控制點配合全測站儀，利用：

  1. 極座標法（放射法）
  2. 前方交會法
  3. 已知控制點定向
  4. 水平距離與水平角換算平面坐標

求得建物各頂點 1∼81\sim8 的平面坐標。

已知 A、BA、B 為平面控制點，因此可直接在 A、BA、B 設站，不必另行補建控制點。全測站具備免稜鏡測距功能，可直接照準建物牆角或角點施測。

解題方法

一、儀器設置與定向

分別於已知控制點 AA、BB 設置全測站儀：

  • 第一次於 AA 點設站，精確整平、置中後照準 BB 點定向。
  • 第二次於 BB 點設站，精確整平、置中後照準 AA 點定向。

由已知坐標計算基線方位角：

αAB=tan⁡−1(YB−YAXB−XA)\alpha_{AB} = \tan^{-1} \left( \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} \right)

實際計算時，應依坐標象限修正方位角。儀器完成定向後，即可將各觀測點的水平角轉換為坐標方位角。

二、各點施測方法

1. 可直接通視的點：採極座標法

在 AA 或 BB 設站時，對於儀器至建物角點之間視線不受建物遮蔽者，直接採用極座標法測量。

一個有效的配置如下：

  • 於 AA 點觀測從 AA 可直接通視的點，例如 1、2、81、2、8。
  • 於 BB 點觀測從 BB 可直接通視的點，例如 5、6、75、6、7。
  • 對於 3、43、4 等凹入角點，視現場通視情形，使用前方交會法測定。
  • 若 3、43、4 亦能由某一控制點直接通視，則可改用極座標法直接測量，並以另一控制點觀測結果作為檢核。

實際施測時，不能只依圖面指定點位，應以現場視線是否被三樓建物牆面遮蔽作最後判斷。

2. 無法直接測距或視線受阻的點：採前方交會法

對於凹角或遭建物牆面遮蔽，無法由單一控制點直接完成測距的點，例如圖中 3、43、4，可在 A、BA、B 兩已知控制點分別觀測其方向，利用兩條方向線交會求點位。

前方交會不需要在待測點設置稜鏡，也不需要進入建物或補設控制點，適合測量建物角點、圍牆角點及其他無法到達的點位。

三、各方法所需觀測量

（一）極座標法

在已知點 AA 或 BB 設站，對每一待測點 PP 觀測：

  1. 水平角或水平方向；
  2. 斜距；
  3. 天頂距或垂直角，用以將斜距化為水平距離。

若儀器直接顯示水平距離，則可直接使用；若觀測斜距 SS 及垂直角 vv，則：

D=Scos⁡vD=S\cos v

其中：

  • SS：斜距；
  • vv：與水平線之夾角；
  • DD：水平距離。

若儀器以天頂距 zz 表示，則：

D=Ssin⁡zD=S\sin z

水平角配合已知基線方位角，可求得測線 APAP 或 BPBP 的方位角 αAP\alpha_{AP}、αBP\alpha_{BP}。

（二）前方交會法

在 A、BA、B 兩控制點分別照準同一待測點 PP，觀測：

  1. AA 點至 PP 的水平方向或水平角；
  2. BB 點至 PP 的水平方向或水平角。

由 AA、BB 的已知坐標及兩條方向線，即可求出 PP 點坐標。

若全測站亦能對該點完成測距，則可同時觀測 APAP、BPBP 距離，形成角度與距離的多餘觀測，作為精度檢核。

四、平面坐標計算原理

（一）極座標法計算

假設在已知點 A(XA,YA)A(X_A,Y_A) 設站，測得至點 PP 的水平距離 DAPD_{AP} 及方位角 αAP\alpha_{AP}，則：

ΔX=DAPsin⁡αAP\Delta X=D_{AP}\sin\alpha_{AP} ΔY=DAPcos⁡αAP\Delta Y=D_{AP}\cos\alpha_{AP}

因此：

XP=XA+DAPsin⁡αAPX_P=X_A+D_{AP}\sin\alpha_{AP} YP=YA+DAPcos⁡αAPY_P=Y_A+D_{AP}\cos\alpha_{AP}
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第 三 題25 分

導線測量的目的為何？導線測量的觀測量為何？

另分別繪製有兩個未知點坐標與三個未知點坐標的附合導線略圖，說明此兩條附合導線的多餘觀測數，並論述其簡易平差符合的條件與多餘觀測數之關係。

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核心觀念

導線測量是以一連串相鄰點組成導線，依序測定各邊長與方向，再推算各點坐標的方法。其目的包括建立測量控制點、延伸平面控制網，以及提供地形測量、地籍測量、工程測量等工作的坐標基準。

導線測量的基本觀測量為：

  • 角度：通常觀測各導線點的水平角；若直接測定各邊相對於固定方向的方向角，則觀測量為方向角。
  • 邊長：觀測相鄰導線點間的水平距離。

已知起點坐標及起始方向後，可由角度逐邊推算方位，再將邊長分解為坐標增量：

ΔXi=Sicos⁡αi,ΔYi=Sisin⁡αi\Delta X_i=S_i\cos\alpha_i,\qquad \Delta Y_i=S_i\sin\alpha_i

其中 SiS_i 為邊長，αi\alpha_i 為該邊方向角。累加坐標增量即可求得各導線點坐標。

解題方法與附合導線略圖

附合導線由一組已知控制點出發，經過未知點，最後附合至另一組已知控制點。下圖的 A、BA、B 為已知點，PiP_i 為待求坐標點；圖中的 SiS_i 表示邊長，βi\beta_i 表示觀測水平角。假設起、終方向已知，且量測各導線邊長與轉折角。

兩個未知點坐標

已知 A ── S₁ ── P₁ ── S₂ ── P₂ ── S₃ ── 已知 B
 β₁ β₂

P1、P2P_1、P_2 共四個未知坐標分量，即 XP1,YP1,XP2,YP2X_{P_1},Y_{P_1},X_{P_2},Y_{P_2}。觀測量為兩個水平角與三個邊長，共五個。因此：

r=5−4=1r=5-4=1

此附合導線有 1 個多餘觀測數。

三個未知點坐標

已知 A ── S₁ ── P₁ ── S₂ ── P₂ ── S₃ ── P₃ ── S₄ ── 已知 B
 β₁ β₂ β₃

P1、P2、P3P_1、P_2、P_3 共六個未知坐標分量。觀測量為三個水平角與四個邊長，共七個。因此：

r=7−6=1r=7-6=1

此附合導線同樣有 1 個多餘觀測數。

一般而言，若有 nn 個未知導線點，觀測 nn 個內角與 n+1n+1 條邊長，則：

觀測數=n+(n+1)=2n+1\text{觀測數}=n+(n+1)=2n+1
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第 四 題25 分

何謂地籍測量？

地籍測量中，若已知一筆宗地其界址點 11、22、33、44 點號之坐標如下表所示，試繪出此宗地形狀並計算其面積（以平方公尺計算至小數點下四位）。

今若進行此筆土地之分割，分割線需經過界址點 33；分割點在經界線 1414 上，且與界址點 11、22、33 所圍之面積為 2600.0000 m22600.0000\ \mathrm{m}^2，則分割點 PP 應較接近哪一個界址點？說明你的理由。

點號EE 坐標（公尺）NN 坐標（公尺）
1308100.000308100.0002764600.0002764600.000
2308064.645308064.6452764635.3552764635.355
3308135.355308135.3552764706.0662764706.066
4308170.711308170.7112764670.7112764670.711

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核心觀念

地籍測量是為了調查、測定土地界址與位置，並據以計算面積、製作地籍圖及建立地籍資料的測量工作。本題考查以平面直角坐標判讀宗地形狀、用坐標法計算多邊形面積，以及依指定面積反求分割點位置。

法規部分以命題當年（民國 113 年）法規為準。

解題方法

先以界址點坐標繪圖，再依點號順序 1→2→3→4→11\to2\to3\to4\to1 連線。為簡化計算，以點 11 為原點，將各點坐標平移如下：

點號相對 EE 坐標相對 NN 坐標
10000
2−35.355-35.35535.35535.355
335.35535.355106.066106.066
470.71170.71170.71170.711

依坐標位置可知，點 22 在點 11 的西北方，點 33 在點 22 的東北方，點 44 在點 33 的東南方；宗地為四邊形 1−2−3−41-2-3-4。

坐標法面積公式為：

A=12∣∑i=1n(EiNi+1−NiEi+1)∣A=\frac12\left|\sum_{i=1}^{n}(E_iN_{i+1}-N_iE_{i+1})\right|

其中最後一點之後接回第一點。代入平移後坐標：

2A=∣(−35.355)(106.066)−(35.355)(35.355)+(35.355)(70.711)−(106.066)(70.711)∣=9999.984976\begin{aligned} 2A &=\left|(-35.355)(106.066)-(35.355)(35.355)\right.\\ &\quad\left.+(35.355)(70.711)-(106.066)(70.711)\right|\\ &=9999.984976 \end{aligned}

因此宗地面積為：

A=9999.9849762=4999.992488≈4999.9925 m2A=\frac{9999.984976}{2} =4999.992488 \approx \boxed{4999.9925\ \mathrm{m}^2}

求分割點 PP 時，令 PP 位於經界線 1414 上，並以比例參數 tt 表示其位置：

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