111 地方特考四等 電信工程 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

本題評量類比通信系統中**頻率調變（Frequency Modulation, FM）**的基本特性與數學分析能力，涉及以下核心觀念與定義：

1. 基頻訊號參數： 對於單音（Single-tone）弦波訊號 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$，其訊號頻率為 $f_m$，峰值振幅為 $A_m = \max |m(t)|$。
2. 頻偏常數與最大頻率偏移（Frequency Deviation）： 在通信工程標準規範中，FM 頻率偏移常數 $k_f$ 單位為 $\mathrm{Hz/V}$。瞬時頻率為 $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$，其最大頻率偏移定義為： $\Delta f = k_f \cdot \max |m(t)| = k_f A_m$
3. FM 調變指數（Modulation Index, $\beta$）： 單音調變下的調變指數為最大頻率偏移與基頻訊號頻率的比值： $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$
4. FM 調變信號時域方程式： FM 訊號的瞬時相位角度 $\theta(t)$ 為瞬時角頻率 $\omega_i(t) = 2\pi f_i(t)$ 對時間之積分： $\theta(t) = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$ FM 信號之時域表示式為： $s(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau\right)$
5. 卡森法則（Carson's Rule）頻寬： FM 信號包含無限多組邊帶，實務上以包含 $98\%$ 以上信號功率的卡森法則估算其有效傳輸頻寬 $B$： $B = 2(\Delta f + f_m) = 2(\beta + 1)f_m$

解題方法

（一）求調變指數 $\beta$

1. 求基頻訊號頻率 $f_m$ 與峰值 $A_m$： 已知基頻訊號 $m(t) = \cos(20\pi t)$：

• 角頻率 $\omega_m = 20\pi\ \mathrm{rad/s}$
• 訊號頻率 $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\ \mathrm{Hz}$
• 訊號峰值 $A_m = 1\ \mathrm{V}$

2. 計算最大頻率偏移 $\Delta f$： 已知頻偏常數 $k_f = 50\ \mathrm{Hz/V}$： $\Delta f = k_f A_m = 50 \times 1 = 50\ \mathrm{Hz}$

3. 計算調變指數 $\beta$： $\beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{50}{10} = 5$

（二）求 FM 信號之數學方程式 $s(t)$

核心觀念

本題考查振幅調變（AM，DSB-LC）信號的非同調解調技術——平方律檢測器（Square-Law Detector），涉及以下核心觀念與數學工具：

1. 非線性元件的輸出展開：利用三角函數降階公式 $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$，將輸入信號的平方項分解為直流項（DC）、基頻信號項（Baseband）、載波中心頻帶項及二倍頻載波頻帶項。
2. 頻譜分離與抗混疊條件（Spectral Separation）：若訊息信號 $m(t)$ 的最高頻率為 $W$，則 $m^2(t)$ 在頻域的摺積（Convolution）頻寬為 $2W$。低通濾波器（LPF）要能濾出基頻且不與 $f_c$ 處之帶通訊號重疊，載波頻率必須滿足不重疊準則。
3. 小信號低失真條件（Modulation Index Constraint）：檢測器基頻輸出同時包含欲復原的 $m(t)$ 及非線性二次失真項 $m^2(t)$，欲在無失真情況下近似復原 $m(t)$，調變深度（Modulation Index）必須遠小於 1。

解題方法

（一）計算輸出 $v_2(t)$

由題目給定之輸入信號： $v_1(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$

代入非線性特性方程式 $v_2(t) = a_1 v_1(t) + a_2 v_1^2(t)$，分項推導如下：

1. 一次項展開： $a_1 v_1(t) = a_1 A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$

2. 二次項展開： $v_1^2(t) = A_c^2 [1 + k_a m(t)]^2 \cos^2(2\pi f_c t)$ 利用二項式定理展開 $[1 + k_a m(t)]^2$： $[1 + k_a m(t)]^2 = 1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)$ 利用三角函數恆等式展開 $\cos^2(2\pi f_c t)$： $\cos^2(2\pi f_c t) = \frac{1 + \cos(4\pi f_c t)}{2}$ 相乘後可得： $v_1^2(t) = \frac{1}{2} A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)][1 + \cos(4\pi f_c t)]$ $= \frac{1}{2} A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] + \frac{1}{2} A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$

3. 合併為總輸出 $v_2(t)$： 將上述各項依頻帶整理： $v_2(t) = \frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] + a_1 A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$

若完全展開為各頻率分量：

核心觀念

本題旨在評量取樣定理（Sampling Theorem）與傅立葉轉換頻寬特性之綜合應用，涉及以下關鍵觀念與公式：

1. 奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）： 對於一個最高頻率（頻寬）為 $W$（單位：$\text{Hz}$）的基頻帶限（Band-limited）連續信號 $g(t)$，若要能無失真地藉由取樣樣本完美重建原信號，其最小取樣速率（奈奎斯特速率，Nyquist Rate） $f_s$ 為： $f_s = 2W \quad (\text{samples/s 或 Hz})$

2. 通訊系統中 $\operatorname{sinc}$ 函數之標準定義與轉換對： 在通訊工程與訊號處理領域（如 Simon Haykin、John Proakis 經典教本），$\operatorname{sinc}$ 函數普遍採用規範化（Normalized）定義： $\operatorname{sinc}(t) \equiv \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ 其對應之傅立葉轉換對為矩形脈衝（$\operatorname{rect}$ 函數）： $\operatorname{sinc}(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \operatorname{rect}(f) = \begin{cases} 1, & |f| \le \frac{1}{2} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2} \end{cases}$ 依據傅立葉轉換之尺度變換性質（Time Scaling Property）$g(at) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|} G\left(\frac{f}{a}\right)$： $\operatorname{sinc}(at) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{a} \operatorname{rect}\left(\frac{f}{a}\right)$ 頻譜非零的頻率範圍為 $|f| \le \frac{a}{2}$，因此最高頻率（頻寬）為： $W = \frac{a}{2} \quad (\text{Hz})$

3. 時域相乘與頻域摺積（Frequency Convolution）： 兩信號在時域相乘，等效於其頻譜在頻域進行摺積： $g_1(t) \cdot g_2(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} G_1(f) * G_2(f)$ 若 $g_1(t)$ 的最高頻率為 $W_1$，$g_2(t)$ 的最高頻率為 $W_2$，則摺積後的信號頻寬為兩者頻寬相加： $W = W_1 + W_2$

4. 信號線性相加之頻寬： 若信號為兩分量相加 $g(t) = g_1(t) + g_2(t)$，其頻譜為 $G(f) = G_1(f) + G_2(f)$，合成信號的最高頻率取決於頻寬較大者： $W = \max(W_1, W_2)$

解題方法

（一）計算 $g(t) = \operatorname{sinc}(500t)$ 之最小取樣速率

1. 求信號頻譜： 根據傅立葉轉換對與尺度性質： $G(f) = \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(500t)\} = \frac{1}{500} \operatorname{rect}\left(\frac{f}{500}\right)$
2. 決定信號頻寬（最高頻率）： $\operatorname{rect}\left(\frac{f}{500}\right)$ 在 $-\frac{500}{2} \le f \le \frac{500}{2}$ 範圍內非零，即： $-250 \le f \le 250 \quad (\text{Hz})$ 因此信號之最高頻率為： $W_1 = 250 \text{ Hz}$
3. 計算最小取樣速率： 由奈奎斯特取樣定理： $f_{s1} = 2 W_1 = 2 \times 250 = 500 \text{ Hz（或 samples/s）}$

（二）計算 $g(t) = \operatorname{sinc}^2(200t)$ 之最小取樣速率

1. 求信號頻譜： 設 $g_2(t) = \operatorname{sinc}(200t)$，其傅立葉轉換為： $G_2(f) = \frac{1}{200} \operatorname{rect}\left(\frac{f}{200}\right)$ 其頻寬為 $W = \frac{200}{2} = 100\text{ Hz}$。 因 $g(t) = g_2(t) \cdot g_2(t)$，頻譜為兩矩形函數之自摺積：

核心觀念

本題考查正交分頻多工（OFDM, Orthogonal Frequency Division Multiplexing）系統之實體層參數定義與淨資料傳輸率（Data Rate）之推導，為國家考試高頻考點（取材自 IEEE 802.11a/n 無線區域網路規格）。核心觀念與公式如下：

1. OFDM 符元時間結構：

• 有效符元時間（Useful Symbol Duration, $T_u$）：由子載波頻率間距（$\Delta f$）決定，滿足正交條件： $T_u = \frac{1}{\Delta f}$
• 保護區間時間（Guard Interval, $T_g$）：題目定義為有效資料長度之比例（通常插入循環字首 Cyclic Prefix, CP），用以消除符際干擾（ISI）。
• OFDM 總符元週期（Total Symbol Duration, $T_s$）： $T_s = T_u + T_g$

2. 單一 OFDM 符元之有效資料位元數（$N_{\text{data\_bits}}$）： 系統僅有「資料子載波」用以傳遞有效負載，導引信號（Pilot）與虛擬載波（Guard Band）不計入資料傳輸率。 $N_{\text{data\_bits}} = N_{\text{data}} \times \log_2(M) \times r$ 其中：

• $N_{\text{data}}$：資料子載波數量。
• $M$：數位調變階數（$M$-ary），每一調變符元承載 $\log_2(M)$ 個編碼位元。
• $r$：通道編碼率（Code Rate），將編碼位元折算為淨資訊位元（Information Bits）。

3. 空間多工（MIMO Spatial Multiplexing）傳輸： 當發射端與接收端配置多天線且各天線獨立收發（不考慮空間相關性與干擾）時，系統支援多個空間串流（Spatial Streams, $N_{ss}$），總傳輸率為單串流之 $N_{ss}$ 倍（本題 $2 \times 2$ MIMO，故 $N_{ss} = 2$）。

4. 系統資料傳輸率（$R_b$）： $R_b = \frac{N_{\text{data\_bits}} \times N_{ss}}{T_s}$

解題方法

（一）基礎 OFDM 系統之資料傳輸率計算

步驟 1：計算 OFDM 符元週期（$T_s$）

• 有效符元時間： $T_u = \frac{1}{\Delta f} = \frac{1}{312.5\ \mathrm{kHz}} = \frac{1}{312.5 \times 10^3\ \mathrm{Hz}} = 3.2\ \mu\mathrm{s}$
• 保護區間時間（為 $T_u$ 的 $1/4$）： $T_g = \frac{1}{4} \times T_u = \frac{1}{4} \times 3.2\ \mu\mathrm{s} = 0.8\ \mu\mathrm{s}$
• 總符元週期： $T_s = T_u + T_g = 3.2\ \mu\mathrm{s} + 0.8\ \mu\mathrm{s} = 4.0\ \mu\mathrm{s}$

步驟 2：計算單一 OFDM 符元攜帶之淨資訊位元數（$N_{\text{data\_bits}}$）

• 資料子載波數 $N_{\text{data}} = 48$。
• QPSK 調變：$M = 4 \implies \log_2(4) = 2\ \text{bits/subcarrier}$。
• 編碼率 $r = 1/2$。
• 單一 OFDM 符元之淨資料位元數： $N_{\text{data\_bits}} = 48 \times 2 \times \frac{1}{2} = 48\ \text{bits}$

步驟 3：計算資料傳輸率（$R_b$） $R_b = \frac{N_{\text{data\_bits}}}{T_s} = \frac{48\ \text{bits}}{4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}} = 12 \times 10^6\ \mathrm{bps} = 12\ \mathrm{Mbps}$

（二）參數最佳化與 MIMO 擴展後之資料傳輸率計算

步驟 1：計算調整後的總符元週期（$T_s'$）

• 有效符元時間保持不變（子載波間距未變）：$T_u = 3.2\ \mu\mathrm{s}$。
• 縮短之保護區間（Short GI，為 $T_u$ 的 $1/8$）：

核心觀念

本題評量**夏農通道容量定理（Shannon Channel Capacity Theorem）**於數位通訊系統設計中的應用，涉及以下核心觀念與公式：

1. 夏農通道容量公式： 在加性高斯白雜訊（AWGN）通道下，通道容量 $C$（bits/s）受限於頻寬 $B$（Hz）與訊噪比（SNR）： $C = B \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)$ 其中 $S$ 為平均接收訊號功率（W），$N = N_0 B$ 為頻帶內的雜訊功率（W），$N_0$ 為單邊雜訊功率譜密度（W/Hz）。

2. 頻寬使用效率（Spectral Efficiency, $\eta$）： 定義為單位頻寬所能傳遞的資訊速率： $\eta = \frac{R}{B} \quad (\text{bits/s/Hz})$ 當傳輸速率達到夏農容量極限（$R = C$）時，系統能以無失真（任意小錯誤率）傳輸的最高頻寬效率為： $\eta = \frac{C}{B} = \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)$

3. 訊噪比（$\text{SNR}$）與每位元能量雜訊比（$E_b/N_0$）之關係： 訊號功率可表示為 $S = E_b R$，其中 $E_b$ 為每位元能量（Joules/bit），$R$ 為傳輸位元速率（bits/s）。 代入訊噪比定義： $\frac{S}{N} = \frac{E_b R}{N_0 B} = \frac{E_b}{N_0} \cdot \frac{R}{B} = \eta \cdot \frac{E_b}{N_0}$

解題方法

（一）求解最低之 $E_b/N_0$

1. 建立夏農極限關係式： 依據夏農容量公式，當傳輸速率達到通道極限 $C$ 時，所對應的 $E_b/N_0$ 即為理論上維持無錯誤傳輸所需的最低值： $\eta = \log_2\left(1 + \eta \cdot \frac{E_b}{N_0}\right)$

2. 移項求解 $E_b/N_0$： $2^\eta = 1 + \eta \cdot \frac{E_b}{N_0} \implies \frac{E_b}{N_0} = \frac{2^\eta - 1}{\eta}$

3. 代入數值計算： 題目給定頻寬使用效率 $\eta = 4\text{ bits/s/Hz}$： $\frac{E_b}{N_0} = \frac{2^4 - 1}{4} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$

4. 換算為分貝（$\text{dB}$）值：