112 地方特考四等 電子工程類科 電子儀表概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・電子工程類科
試題代碼 電子儀表概要

第 一 題25 分

試以運算放大器、電阻器及電容器元件，設計並繪出其振盪頻率為 10 kHz10\ \mathrm{kHz} 之相移振盪器（Phase-Shift Oscillator）電路，振盪器電路中之電容器值均選定為 1 nF1\ \mathrm{nF}。

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核心觀念

相移振盪器由兩部分組成：放大器提供 180∘180^\circ 相位反轉，三節 RC 網路再提供 180∘180^\circ 相移，使迴路總相移為 360∘360^\circ，等同於 0∘0^\circ。振盪時還須滿足巴克豪森振盪條件：迴路增益的相位為 0∘0^\circ（或 360∘360^\circ），且增益大小至少為 11。

本題採用運算放大器作非反相放大器，搭配三節相同的 RC 低通網路。三節等值網路在振盪頻率處的衰減為 1/291/29，所以放大器電壓增益須設為 2929。

解題方法

三節 RC 相移網路的元件值相同時，振盪頻率為

fo=12πRC6f_o=\frac{1}{2\pi RC\sqrt{6}}

題目指定 fo=10 kHzf_o=10\ \mathrm{kHz}、C=1 nFC=1\ \mathrm{nF}，代入得

R=12πfoC6=12π(10×103)(1×10−9)6≈6.50 kΩR=\frac{1}{2\pi f_oC\sqrt{6}} =\frac{1}{2\pi(10\times10^3)(1\times10^{-9})\sqrt{6}} \approx 6.50\ \mathrm{k\Omega}

因此三個串聯電阻皆選 6.50 kΩ6.50\ \mathrm{k\Omega}，三個接地電容皆選 1 nF1\ \mathrm{nF}。

非反相放大器的電壓增益為

Av=1+RfRgA_v=1+\frac{R_f}{R_g}

令 Av=29A_v=29，可得

RfRg=28\frac{R_f}{R_g}=28

例如選 Rg=10 kΩR_g=10\ \mathrm{k\Omega}、Rf=280 kΩR_f=280\ \mathrm{k\Omega}，即可設定放大器增益為 2929。

電路圖

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第 二 題25 分

圖一所示為海氏電橋（Hay Bridge），其中待測電感器係以 RPR_P、LPL_P 並聯等效電路表示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

設驅動電橋之交流電源頻率為 1 kHz1\ \mathrm{kHz}，且電橋於 C3=0.1 μFC_3=0.1\ \mathrm{\mu F}、R1=1 kΩR_1=1\ \mathrm{k\Omega}、R3=100 ΩR_3=100\ \mathrm{\Omega}、R4=500 ΩR_4=500\ \mathrm{\Omega} 時可達平衡，試求該電感器之等效 LPL_P 值及 RPR_P 值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查海氏電橋的交流電橋平衡條件，以及並聯型電感器的阻抗表示。

圖一各橋臂為：

  • Z1=R1Z_1=R_1
  • Z2=RP∥jωLPZ_2=R_P\parallel j\omega L_P
  • Z3=R3+1jωC3=R3−jωC3Z_3=R_3+\dfrac{1}{j\omega C_3}=R_3-\dfrac{j}{\omega C_3}
  • Z4=R4Z_4=R_4

交流電橋平衡時：

Z1Z4=Z2Z3Z_1Z_4=Z_2Z_3

因此：

Z2=R1R4Z3Z_2=\frac{R_1R_4}{Z_3}

解題方法

已知

f=1 kHz,ω=2πff=1\ \mathrm{kHz},\quad \omega=2\pi f

電容性電抗為：

XC=1ωC3=12π(1000)(0.1×10−6)≈1591.55 ΩX_C=\frac{1}{\omega C_3} =\frac{1}{2\pi(1000)(0.1\times10^{-6})} \approx1591.55\ \Omega

所以：

Z3=100−j1591.55 ΩZ_3=100-j1591.55\ \Omega

由電橋平衡條件：

Z2=R1R4Z3=(1000)(500)100−j1591.55Z_2=\frac{R_1R_4}{Z_3} =\frac{(1000)(500)}{100-j1591.55}

將分母有理化：

Z2=500000(100+j1591.55)1002+(1591.55)2Z_2= \frac{500000(100+j1591.55)} {100^2+(1591.55)^2}

故：

Z2≈19.66+j312.95 ΩZ_2\approx19.66+j312.95\ \Omega

並聯型 RPR_P 與 LPL_P 的導納為：

Y2=1Z2=1RP−jωLPY_2=\frac{1}{Z_2} =\frac{1}{R_P}-\frac{j}{\omega L_P}

由

Z2=R1R4(R3+jXC)R32+XC2Z_2=\frac{R_1R_4(R_3+jX_C)} {R_3^2+X_C^2}

可得其導納：

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第 三 題25 分

圖二所示為一得將電感值線性轉換為電壓值之電感量測電路。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

設輸入電源頻率為 1 kHz1\ \mathrm{kHz}、其電壓為 1.592 Vrms1.592\ \mathrm{V_{rms}}、R1=1 kΩR_1=1\ \mathrm{k\Omega}，試求 L=50 mHL=50\ \mathrm{mH} 時之 VLV_L 值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

圖二為理想運算放大器構成的電感量測電路。非反相端輸入 ViV_i，反相端接在電感 LL 與電阻 R1R_1 的接點，因此在負回授作用下：

V−=V+=ViV_- = V_+ = V_i

電感 LL 與電阻 R1R_1 串聯，流經兩者的電流相同。由於反相端電壓等於輸入電壓 ViV_i，故電阻上的電壓為 ViV_i，電流為：

I=ViR1I=\frac{V_i}{R_1}

電感的感抗為：

XL=ωL=2πfLX_L=\omega L=2\pi fL

因此電感電壓有效值為：

VL=IXL=ViR1(2πfL)V_L=IX_L=\frac{V_i}{R_1}(2\pi fL)

此式顯示 VLV_L 與電感值 LL 成正比，可將電感值線性轉換為電壓值。

解題方法與計算

已知：

f=1 kHz=1000 Hzf=1\ \text{kHz}=1000\ \text{Hz} Vi=1.592 VrmsV_i=1.592\ \text{V}_{\text{rms}} R1=1 kΩ=1000 ΩR_1=1\ \text{k}\Omega=1000\ \Omega L=50 mH=0.05 HL=50\ \text{mH}=0.05\ \text{H}

先求流經電感與電阻的電流：

I=ViR1=1.5921000=1.592 mAI=\frac{V_i}{R_1} =\frac{1.592}{1000} =1.592\ \text{mA}

再求電感抗抗值：

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第 四 題25 分

設一單相電動力式瓦特計（Electrodynamic Wattmeter）之儀表常數（Instrument Constant）為 Km=0.6/WK_m=0.6/\mathrm{W}，施加予交流電壓 220 Vrms220\ \mathrm{V_{rms}} 時，其負載電流為 0.5 Arms0.5\ \mathrm{A_{rms}} 且負載功率因數為 0.80.8，試求此時之儀表指針偏轉角度。

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核心觀念

單相電動力式瓦特計的平均轉矩與負載有功功率成正比，因此指針偏轉角可表示為

θ=KmP\theta=K_m P

其中，KmK_m 為儀表常數，單位是 ∘/W\mathrm{^\circ/W} 或每瓦對應的偏轉量；PP 為負載有功功率。

交流負載的有功功率為

P=VIcos⁡ϕP=VI\cos\phi

其中 cos⁡ϕ\cos\phi 是負載功率因數。

解題方法

先由電壓、電流與功率因數求出負載有功功率：

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