114 地方特考四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考人口比例的補數，以及貝氏定理。

令 $A$ 表示「年齡在 65 歲或以上」，$U$ 表示「沒有健康保險」。題目提供的未投保率是各年齡層的條件機率，例如 $P(U\mid A)=1.1\%$。求已知未投保者屬於哪個年齡層的機率時，則須用貝氏定理，並先計算全體人口的未投保率。

解題方法

（一）年齡在 65 歲或以上的機率

三個年齡層涵蓋全體人口，因此其人口比例總和為 $1$：

故年齡在 65 歲或以上的機率為 $15.8\%$。

（二）已知沒有健康保險，年齡在 65 歲或以上的機率

先用全機率公式計算全體人口未投保率：

核心觀念

卜瓦松（Poisson）過程每小時平均發生 $\lambda=1.6$ 通事件時，相鄰事件的間隔時間服從指數分配。若以小時為單位，平均間隔為 $1/\lambda$ 小時；改用分鐘時，必須將發生率換算成「每分鐘幾通」。

解題方法

（一）兩通電話間的平均間隔

每小時平均 $1.6$ 通，換算為每分鐘的發生率：

指數分配的平均間隔時間為 $1/\lambda$，因此：

（二）間隔時間的機率密度函數

設 $T$ 為兩通電話間隔時間，單位為分鐘。指數分配的機率密度函數為 $f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t}$，其中 $t\geq 0$。代入 $\lambda=2/75$：

其平均數為 $1/\lambda=37.5$ 分鐘，與（一）小題一致。

核心觀念

本題是同一零售通路同時觀察兩種果汁機價格，因此兩筆價格具有配對關係。先計算各通路的「豪華型價格減標準型價格」，再對配對差值進行單一母體平均數的 $t$ 檢定及信賴區間估計。

令第 $i$ 個通路的價格差為 $d_i=X_i-Y_i$，其中 $X_i$ 為豪華型價格、$Y_i$ 為標準型價格。欲檢定與估計的參數為差值母體平均數 $\mu_d=\mu_X-\mu_Y$。母體標準差未知且樣本數小，採用配對樣本 $t$ 方法：

平均差的 $95\%$ 信賴區間為：

解題方法

逐通路計算價格差：

因此 $n=7$，且

差值樣本標準差為

標準誤為

（一）檢定母體平均價差是否為 10 美元

以豪華型減標準型定義價差，設定雙尾假設：

核心觀念

本題考查卡方適合度檢定。將資料依虛無假設下的理論機率分組，比較各組的實際觀察次數 $O_i$ 與期望次數 $E_i$：

虛無假設為 $H_0$：每日最高氣溫服從常態分配；對立假設為 $H_1$：每日最高氣溫不服從常態分配。題目給定依常態分配累積百分比切出的 5 組組界，因此每組理論機率皆為 $0.20$。

解題方法

共有 $n=25$ 筆觀測值，故各組期望次數為

依題目組界分類，觀察次數如下：

例如，第 1 組包含 $50,52,55,55,55,55,56$，共 7 筆；各組觀察次數合計為 25，與樣本數相符。

代入卡方統計量公式：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的判定係數 $R^2$，以及樣本相關係數 $r$。判定係數衡量迴歸模型解釋應變數總變異的比例：

$R^2=1-\frac{SSE}{SST}=\frac{SSR}{SST}$

其中 $SSE=\sum (y_i-\hat y_i)^2$ 為誤差平方和，$SST=\sum (y_i-\bar y)^2$ 為總平方和。簡單線性迴歸含截距時，樣本相關係數與判定係數的關係為 $r=\operatorname{sign}(\hat\beta_1)\sqrt{R^2}$。

解題方法與計算

先由六家公司的年營收計算平均數與總平方和。營收資料為 $118,135,100,37,40,32$，因此

$\bar y=\frac{118+135+100+37+40+32}{6}=77$

$SST=\sum (y_i-\bar y)^2$

$=(118-77)^2+(135-77)^2+(100-77)^2+(37-77)^2+(40-77)^2+(32-77)^2=10522$

已知 $SSE=1043.03$，故

$R^2=1-\frac{1043.03}{10522}\approx 0.9009$