112 地方特考四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・經建行政類科
試題代碼 統計學概要

第 一 題25 分

民調公司針對某項新公共政策的支持度進行調查，130 位接受訪談的男性中有 91 位表達贊同，120 位接受訪談的女性中有 72 位表達贊同。

(一) 整體而言，民眾對此項新公共政策的支持率為何？（5 分）

(二) 在 0.05 顯著水準之下，試檢定男性和女性對此項新公共政策的支持率是否相同？須寫出虛無假設與對立假設、檢定統計量、臨界值及結論。（15 分）

(三) 試求 pp 值。（5 分）

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核心觀念

本題考驗「兩母體比例差異檢定」。男性與女性是兩個獨立樣本，欲比較其政策支持率是否相同，使用合併比例的兩樣本比例 ZZ 檢定。整體支持率則以全部受訪者中贊同人數占總受訪人數的比例計算。

（一）整體支持率

男性有 9191 人贊同，女性有 7272 人贊同，因此贊同總人數為 91+72=16391+72=163 人；受訪總人數為 130+120=250130+120=250 人。

p^=163250=0.652\hat p=\frac{163}{250}=0.652

整體支持率為 65.2%65.2\%。

（二）檢定男性與女性支持率是否相同

令 pmp_m 為男性支持率，pfp_f 為女性支持率。題目問兩者是否相同，故採雙尾檢定：

H0:pm=pf,H1:pm≠pfH_0:p_m=p_f,\qquad H_1:p_m\ne p_f

在虛無假設成立時，兩組共用的支持率以合併樣本比例估計：

p^=xm+xfnm+nf=91+72130+120=0.652\hat p=\frac{x_m+x_f}{n_m+n_f} =\frac{91+72}{130+120} =0.652

檢定統計量為：

Z=p^m−p^fp^(1−p^)(1nm+1nf)Z=\frac{\hat p_m-\hat p_f} {\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_m}+\frac{1}{n_f}\right)}}

其中 p^m=91/130=0.70\hat p_m=91/130=0.70，p^f=72/120=0.60\hat p_f=72/120=0.60。代入得：

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第 二 題50 分

保護動物協會想根據某型寵物犬成犬的體重（自變數 XX），預測其 3 年內的就醫次數（因變數 YY），所蒐集到的資料如下：

n=8n=8，

∑i=1nxi=40,∑i=1nyi=84,\sum_{i=1}^{n}x_i=40,\qquad \sum_{i=1}^{n}y_i=84, ∑i=1nxi2=210,∑i=1nyi2=980,∑i=1nxiyi=390。\sum_{i=1}^{n}x_i^2=210,\qquad \sum_{i=1}^{n}y_i^2=980,\qquad \sum_{i=1}^{n}x_i y_i=390。

每小題 10 分，共 50 分。

(一) 試分別計算 XX 和 YY 的樣本標準差。

(二) 試分別計算 XX 和 YY 的變異係數。

(三) 欲判斷 XX 和 YY 何者變化較大，建議使用標準差或變異係數？請說明理由。

(四) 試求迴歸方程式。

(五) 令 xˉ\bar{x} 與 yˉ\bar{y} 為樣本平均，試說明迴歸線必通過 (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})。

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核心觀念

本題考查樣本標準差、變異係數，以及簡單線性迴歸的最小平方法。由摘要統計量可直接計算各項結果：

xˉ=∑xin,yˉ=∑yin\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n} sX=∑xi2−(∑xi)2/nn−1,sY=∑yi2−(∑yi)2/nn−1s_X=\sqrt{\frac{\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n}{n-1}},\qquad s_Y=\sqrt{\frac{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}{n-1}}

變異係數為標準差除以平均數，常以百分比表示；迴歸線 y^=a+bx\hat{y}=a+bx 的斜率與截距為

b=SxySxx,a=yˉ−bxˉ,b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar{y}-b\bar{x},

其中 Sxx=∑xi2−(∑xi)2/nS_{xx}=\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n，Sxy=∑xiyi−(∑xi)(∑yi)/nS_{xy}=\sum x_i y_i-(\sum x_i)(\sum y_i)/n。

解題方法與計算

先求平均數：

xˉ=408=5,yˉ=848=10.5\bar{x}=\frac{40}{8}=5,\qquad \bar{y}=\frac{84}{8}=10.5

(一) 樣本標準差

Sxx=210−4028=210−200=10S_{xx}=210-\frac{40^2}{8}=210-200=10 sX=Sxxn−1=107≈1.195s_X=\sqrt{\frac{S_{xx}}{n-1}} =\sqrt{\frac{10}{7}} \approx 1.195 Syy=980−8428=980−882=98S_{yy}=980-\frac{84^2}{8}=980-882=98 sY=Syyn−1=987=14≈3.742s_Y=\sqrt{\frac{S_{yy}}{n-1}} =\sqrt{\frac{98}{7}} =\sqrt{14} \approx 3.742

因此，XX 的樣本標準差約為 1.1951.195，YY 的樣本標準差約為 3.7423.742。

(二) 變異係數

CVX=sXxˉ×100%=1.1955×100%≈23.90%CV_X=\frac{s_X}{\bar{x}}\times 100\% =\frac{1.195}{5}\times 100\% \approx 23.90\% CVY=sYyˉ×100%=3.74210.5×100%≈35.63%CV_Y=\frac{s_Y}{\bar{y}}\times 100\% =\frac{3.742}{10.5}\times 100\% \approx 35.63\%

因此，XX 的變異係數約為 23.90%23.90\%，YY 的變異係數約為 35.63%35.63\%。

(三) 比較何者變化較大

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第 三 題25 分

根據以往經驗，民眾洽公時忘記帶足文件的機率是 0.25。

(一) 若某個上午有 16 位民眾前來洽公，至少一位忘記帶足文件的機率為何？（5 分）

(二) 於某個上午，令 XX 代表第一個忘記帶足文件的民眾是出現在第 XX 位。試問 XX 的機率分配為何？並求 XX 的期望值。（15 分）

(三) 於某個上午，前三位民眾都沒忘記帶足文件的機率為何？（5 分）

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核心觀念

每位民眾忘記帶足文件的機率為 p=0.25p=0.25，未忘記的機率為 1−p=0.751-p=0.75。假設不同民眾是否忘記文件彼此獨立。

本題考查二項分配的補事件、幾何分配及獨立事件的乘法公式：

  • 固定 16 位民眾中，計算至少一位忘記文件，可用「1 減去所有人都沒忘記」。
  • 第一位忘記文件者出現在第 xx 位，符合幾何分配：前 x−1x-1 位都沒忘記，第 xx 位忘記。

解題方法

（一）16 位民眾中至少一位忘記文件

「至少一位忘記」的補事件是「16 位都沒忘記」。因此：

P(至少一位忘記)=1−P(16 位都沒忘記)=1−(0.75)16≈0.989976\begin{aligned} P(\text{至少一位忘記}) &=1-P(\text{16 位都沒忘記})\\ &=1-(0.75)^{16}\\ &\approx 0.989976 \end{aligned}

（二）第一位忘記文件的民眾順位 XX 的機率分配與期望值

若第一位忘記文件者出現在第 xx 位，則前 x−1x-1 位都沒忘記，第 xx 位忘記。因此：

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