112 地方特考四等 建築工程類科 工程力學概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・建築工程類科
試題代碼 工程力學概要

第 一 題25 分

如圖所示構件，aa點為滾支承，ee點為鉸支承。求：

  1. ee點鉸支承之水平方向與垂直方向的反力；
  2. aa點滾支承之垂直方向反力；
  3. 梁桿件在cc點的彎矩。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：bb點受向左10 kN10\ \mathrm{kN}水平力；cc點受向下8 kN8\ \mathrm{kN}垂直力；垂直尺寸分為2 m2\ \mathrm{m}及2 m2\ \mathrm{m}，水平尺寸為4 m4\ \mathrm{m}、1 m1\ \mathrm{m}及1 m1\ \mathrm{m}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡，使用三個平衡方程式：

∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0
  • aa 點為滾支承，只提供垂直反力，記為 AyA_y。
  • ee 點為鉸支承，提供水平反力 ExE_x 與垂直反力 EyE_y。
  • 依原圖判讀，8 kN8\ \mathrm{kN} 垂直力作用於斜桿 cece 的中點，即相對於 aa 點座標為 (5,2)(5,2)；c=(4,4)c=(4,4)、e=(6,0)e=(6,0)。

題幹文字稱 8 kN8\ \mathrm{kN} 作用於 cc 點，但原圖箭頭位於斜桿 cece 中點。以下依「原圖實際位置」計算。

解題方法

取整體構件為自由體圖，設定：

  • +x+x 向右
  • +y+y 向上
  • 逆時針力矩為正

1. ee 點鉸支承反力

水平方向平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Ex−10=0E_x-10=0

因此：

Ex=10 kN向右\boxed{E_x=10\ \mathrm{kN}\quad\text{向右}}

取 aa 點力矩。bb 點的 10 kN10\ \mathrm{kN} 水平力，作用線距 aa 點 4 m4\ \mathrm{m}；斜桿中點的 8 kN8\ \mathrm{kN} 垂直力，作用線距 aa 點 5 m5\ \mathrm{m}。

∑Ma=0\sum M_a=0 6Ey+(10)(4)−(8)(5)=06E_y+(10)(4)-(8)(5)=0 6Ey+40−40=06E_y+40-40=0 Ey=0\boxed{E_y=0}

故 ee 點鉸支承的垂直反力為零。

2. aa 點滾支承垂直反力

垂直方向平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+Ey−8=0A_y+E_y-8=0

代入 Ey=0E_y=0：

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第 二 題25 分

如圖所示梁桿件，bb點為鉸支承，cc點為滾支承。求：

  1. bb點、cc點支承之垂直方向反力；
  2. 繪製梁桿件剪力圖及彎矩圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：aa點受向下16 kN16\ \mathrm{kN}集中力；bb至cc間承受均佈載重6 kN/m6\ \mathrm{kN/m}；aa至bb距離為3 m3\ \mathrm{m}，bb至cc距離為4 m4\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查：

  • 鉸支承與滾支承的支承反力。
  • 集中力與均佈載重的等效集中力。
  • 靜力平衡方程式： ∑Fy=0,∑M=0\sum F_y=0,\qquad \sum M=0
  • 剪力圖與彎矩圖的關係： dMdx=V,dVdx=−w\frac{dM}{dx}=V,\qquad \frac{dV}{dx}=-w

取梁左端 aa 為 x=0x=0，則：

  • bb 點：x=3 mx=3\ \mathrm{m}
  • cc 點：x=7 mx=7\ \mathrm{m}
  • 均佈載重 6 kN/m6\ \mathrm{kN/m} 作用於 bb 至 cc，長度為 4 m4\ \mathrm{m}。

均佈載重的合力為：

W=6(4)=24 kNW=6(4)=24\ \mathrm{kN}

作用位置在 bcbc 中點，即距離 bb 點 2 m2\ \mathrm{m}。

支承反力

設：

  • bb 點垂直反力為 RbR_b
  • cc 點垂直反力為 RcR_c

水平方向無外力，因此不需計算水平反力。

以 bb 點取力矩，逆時針為正：

∑Mb=0\sum M_b=0

向下的 16 kN16\ \mathrm{kN} 集中力位於 bb 點左側 3 m3\ \mathrm{m}，對 bb 產生逆時針力矩；均佈載重合力產生順時針力矩：

16(3)−24(2)+Rc(4)=016(3)-24(2)+R_c(4)=0 48−48+4Rc=048-48+4R_c=0 Rc=0 kNR_c=0\ \mathrm{kN}

再由垂直力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Rb+Rc−16−24=0R_b+R_c-16-24=0

代入 Rc=0R_c=0：

Rb=40 kNR_b=40\ \mathrm{kN}

因此：

Rb=40 kN 向上\boxed{R_b=40\ \mathrm{kN}\ \text{向上}} Rc=0 kN\boxed{R_c=0\ \mathrm{kN}}

剪力圖

採「向上剪力為正」。

aa 至 bb 區段：0<x<30<x<3

左端 aa 有向下集中力 16 kN16\ \mathrm{kN}，因此：

V=−16 kNV=-16\ \mathrm{kN}

剪力圖為水平線，從 aa 點開始為 −16 kN-16\ \mathrm{kN}。

bb 點

通過 bb 點時，受到向上的支承反力 40 kN40\ \mathrm{kN}，剪力跳升：

Vb+=−16+40=24 kNV_{b^+}=-16+40=24\ \mathrm{kN}

bb 至 cc 區段：3<x<73<x<7

均佈載重為 6 kN/m6\ \mathrm{kN/m}，剪力隨距離線性下降：

令 s=x−3s=x-3，則：

V=24−6sV=24-6s

在 cc 點左側：

Vc−=24−6(4)=0V_{c^-}=24-6(4)=0

因 Rc=0R_c=0，通過 cc 點後剪力仍為零。

剪力圖關鍵值為：

Va+=−16 kNV_{a^+}=-16\ \mathrm{kN} Vb−=−16 kNV_{b^-}=-16\ \mathrm{kN} Vb+=24 kNV_{b^+}=24\ \mathrm{kN} Vc−=Vc+=0V_{c^-}=V_{c^+}=0

圖形特徵：

  • aa 至 bb：V=−16 kNV=-16\ \mathrm{kN} 的水平線。
  • bb 點向上跳升 40 kN40\ \mathrm{kN} 至 +24 kN+24\ \mathrm{kN}。
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第 三 題25 分

如圖所示桁架結構，aa點為鉸支承，dd點為滾支承。求：

  1. aa點、dd點之支承反力；
  2. abab桿件、bcbc桿件的軸力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：bb點受向下24 kN24\ \mathrm{kN}集中力；各水平尺寸為3 m3\ \mathrm{m}，垂直尺寸為4 m4\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查平面桁架的：

  • 整體靜力平衡；
  • 鉸支承與滾支承的反力判定；
  • 節點法求桿件軸力；
  • 桿件受拉、受壓的判別。

各節點視為鉸接，桿件僅承受軸力。支承反力包括：

  • aa 點鉸支承：水平反力 AxA_x、垂直反力 AyA_y；
  • dd 點滾支承：垂直反力 DyD_y。

由圖可知各斜桿形成 33-44-55 三角形，因此斜桿方向餘弦為：

cos⁡θ=35,sin⁡θ=45\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}

一、求支承反力

取整個桁架為自由體，向下集中力為 24 kN24\ \mathrm{kN}。

以 aa 點取力矩：

∑Ma=0\sum M_a=0

dd 點距離 aa 點之水平距離為 3+3+3=9 m3+3+3=9\ \mathrm{m}，bb 點距離 aa 點為 3+3=6 m3+3=6\ \mathrm{m}，因此：

Dy(9)−24(6)=0D_y(9)-24(6)=0 Dy=16 kND_y=16\ \mathrm{kN}

垂直方向平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+Dy−24=0A_y+D_y-24=0 Ay+16−24=0A_y+16-24=0 Ay=8 kNA_y=8\ \mathrm{kN}

水平方向平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Ax=0A_x=0

所以：

Ax=0,Ay=8 kN（向上）\boxed{A_x=0,\quad A_y=8\ \mathrm{kN}\text{（向上）}} Dy=16 kN（向上）\boxed{D_y=16\ \mathrm{kN}\text{（向上）}}

二、求 abab 桿件軸力

取 aa 節點，假設桿件均受拉，桿力方向由節點向外。

在 aa 節點，acac 桿件斜向右下，其分力為：

  • 水平分量：35Fac\dfrac{3}{5}F_{ac}；
  • 垂直分量：45Fac\dfrac{4}{5}F_{ac}。

垂直方向平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 8−45Fac=08-\frac{4}{5}F_{ac}=0 Fac=10 kNF_{ac}=10\ \mathrm{kN}

水平方向平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0
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第 四 題25 分

如圖所示正方形斷面軸向桿件，無外力作用時桿件未變形軸向長度L=1500 mmL=1500\ \mathrm{mm}、正方形斷面邊長h=40 mmh=40\ \mathrm{mm}、材料彈性模數E=250 GPaE=250\ \mathrm{GPa}、波桑比ν=0.25\nu=0.25。當桿件承受軸拉力P=800 kNP=800\ \mathrm{kN}時，求：

  1. 此時桿件軸向應力σx\sigma_x；
  2. 正向應變εx\varepsilon_x；
  3. 軸向伸長量Δ\Delta；
  4. 變形後正方形斷面的邊長。

參考公式：1 GPa=1 kN/mm21\ \mathrm{GPa}=1\ \mathrm{kN/mm^2}。

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核心觀念

本題考查均勻軸向受拉桿件的：

  • 軸向應力：σx=PA\sigma_x=\dfrac{P}{A}
  • 胡克定律：σx=Eεx\sigma_x=E\varepsilon_x
  • 軸向伸長量：Δ=εxL=PLAE\Delta=\varepsilon_x L=\dfrac{PL}{AE}
  • 波桑比效應：橫向應變 εy=−νεx\varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x

受拉時桿件軸向伸長、橫向縮短，因此變形後斷面邊長會減小。

解題方法

1. 軸向應力 σx\sigma_x

正方形斷面面積為

A=h2=(40 mm)2=1600 mm2A=h^2=(40\ \mathrm{mm})^2=1600\ \mathrm{mm^2}

因此軸向應力為

σx=PA=800 kN1600 mm2=0.5 kN/mm2\sigma_x=\frac{P}{A} =\frac{800\ \mathrm{kN}}{1600\ \mathrm{mm^2}} =0.5\ \mathrm{kN/mm^2}

由題目提供的單位關係：

1 GPa=1 kN/mm21\ \mathrm{GPa}=1\ \mathrm{kN/mm^2}

所以

σx=0.5 GPa=500 MPa\boxed{\sigma_x=0.5\ \mathrm{GPa}=500\ \mathrm{MPa}}

2. 軸向正向應變 εx\varepsilon_x

材料彈性模數為

E=250 GPa=250 kN/mm2E=250\ \mathrm{GPa}=250\ \mathrm{kN/mm^2}

依胡克定律：

εx=σxE=0.5250=0.002\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E} =\frac{0.5}{250} =0.002

因此

εx=0.002=2.0×10−3\boxed{\varepsilon_x=0.002=2.0\times10^{-3}}

亦可表示為

εx=0.2%\boxed{\varepsilon_x=0.2\%}

3. 軸向伸長量 Δ\Delta

Δ=εxL\Delta=\varepsilon_x L
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