114 地方特考四等 電信工程類科 通信系統概要 考古題詳解

核心觀念

採用傅立葉轉換定義

實數訊號的傅立葉轉換具有共軛對稱性 $X(-f)=X^*(f)$。若 $x(t)$ 為偶函數，$X(f)$ 為純實數；若 $x(t)$ 為奇函數，$X(f)$ 為純虛數。另由微分性質，

依圖形，訊號在 $-3\le t\le -1$ 由 $0$ 線性上升至 $3$，在 $-1\le t\le1$ 為 $3$，在 $1\le t\le3$ 為 $1$，其餘時間為 $0$。

解題方法與計算

（一）判斷 $X(f)$ 的型態

圖示 $x(t)$ 為實數訊號，但不具偶對稱，也不具奇對稱。因此其傅立葉轉換不會是純實數函數，也不會是純虛數函數，而是同時具有實部與虛部的複數函數。

（二）計算 $X(0)$

令 $f=0$，指數項 $e^{-j2\pi ft}=1$，所以 $X(0)$ 等於訊號面積。依圖形分成斜坡三角形、平台矩形與高度為 $1$ 的矩形：

核心觀念

本題考查標準振幅調變（AM）的包絡條件、頻譜位移，以及包絡檢測器的電路與工作原理。

訊息訊號的傅立葉轉換採用

的定義。利用傅立葉轉換對偶：

因此本題 $m(t)=\dfrac{\sin(100\pi t)}{\pi t}$ 的頻譜為 $|f|<50\ \text{Hz}$ 時振幅為 $1$，頻寬為 $100\ \text{Hz}$。其最大振幅可由

求得。

（一）包絡檢測的 $k_a$ 範圍

AM 訊號的包絡為

包絡檢測器要能直接追蹤此包絡，必須避免包絡反轉，因此需滿足

由於 $m(t)$ 的最小值為 $-100$，且題目指定 $k_a>0$，故

得到

若要求包絡嚴格不觸及零，則使用 $0<k_a<0.01$；在臨界值 $k_a=0.01$ 時，包絡會在訊息訊號的負峰值處降至零。

（二）$k_a=0.2$、$A_c=1$ 時的頻譜

先將調變訊號展開：

利用頻率位移性質，

本題 $f_c=250\ \text{kHz}$、$A_c=1$、$k_a=0.2$，且 $M(f)$ 在 $|f|<50\ \text{Hz}$ 內為 $1$。因此：

• 載波頻率：$250\ \text{kHz}$，正頻率載波線的振幅為 $A_c/2=0.5$。
• 上、下邊帶中心頻率：$250\ \text{kHz}+50\ \text{Hz}$ 與 $250\ \text{kHz}-50\ \text{Hz}$。
• 每側邊帶頻寬：$50\ \text{Hz}$；總頻寬：

• 正頻率邊帶頻譜振幅：$A_ck_a/2=0.1$，分布於 $249.99995$ 至 $250.00005\ \text{kHz}$。
• 負頻率部分為正頻率頻譜的鏡像。

正頻率頻譜示意如下；邊帶以矩形表示其連續頻譜，載波以衝激線表示：

核心觀念

Hartley 振盪器利用三極管提供能量，補償 LC 諧振迴路的能量損耗；電感抽頭則提供正回授，使振盪得以維持。依題圖的理想模型，$L_1$ 與 $L_2$ 串聯形成總電感，$C(t)$ 跨接於兩端，因此諧振頻率為

若電容隨時間緩慢改變，振盪器的頻率便隨其諧振頻率改變。這裡的「瞬時頻率」可由輸出相位 $\phi(t)$ 定義為

解題方法與推導

（一）運作原理及 $f(t)$ 與 $C(t)$ 的關係

LC 迴路中，電場能量在電容與磁場能量在電感之間交替轉換，形成諧振。三極體提供振盪所需的能量；電感抽頭將部分輸出訊號回授至輸入端，使回授訊號與原訊號同相。起振時，迴路增益須足以補償損耗；振幅穩定後，主動元件補充的能量恰可抵銷迴路損耗。

題圖的電容接在總電感兩端，且依題目所給模型，總電感為

LC 諧振角頻率為 $\omega_0(t)=1/\sqrt{L_{\mathrm{eq}}C(t)}$，換算為頻率即得

因此，電容增加時，諧振頻率降低；電容減少時，諧振頻率升高。

（二）小幅電容變化時的頻率近似

令

代入頻率關係式：

提出 $C_0$，並定義

可寫成

核心觀念

雙工（duplex）是指通信系統如何安排雙向傳輸，使基地台與行動裝置能進行上行鏈路（uplink，行動裝置傳至基地台）及下行鏈路（downlink，基地台傳至行動裝置）的通信。題目重點是兩種方向分別使用不同時間或不同頻率。

解題方法

先區分上、下行資源如何分配，再說明各自運作方式：

• 分時雙工（TDD）：上、下行共用同一頻帶，以不同時間區段傳輸。
• 分頻雙工（FDD）：上、下行使用不同頻帶，可在不同頻率上同時傳輸。

TDD 如何運作

基地台與行動裝置共用一段頻譜，系統將時間切分為連續的時槽或傳輸區段；部分時槽供下行使用，其他時槽供上行使用。因此，同一時刻通常只進行一個方向的傳輸。

TDD 系統須安排上、下行切換及必要的保護時間（guard period），以避免切換期間訊號重疊或互相干擾。系統可依上、下行流量需求調整兩方向所占的時槽比例；例如下行資料需求較大時，可配置較多時槽給下行。

核心觀念

本題考「取樣定理」：訊號若為帶限訊號，取樣後的頻譜會以取樣頻率為間隔重複排列。只要相鄰頻譜副本不重疊，就能用理想低通濾波器取出原頻譜，還原 $x(t)$。

圖中的 $X(f)$ 是以 $f=0$ 為中心的三角形頻譜，範圍為 $-W\le f\le W$，因此訊號最高頻率為 $W$。取樣頻率為

（一）取樣後的頻譜與取樣條件

以週期為 $T_s$ 的脈衝列取樣：

時域相乘會使頻域形成間隔排列的頻譜副本：

因此取樣後頻譜是原三角形頻譜的複本，分別以 $f=kf_s$ 為中心，每個複本的範圍為

頻譜位置示意如下：

 三角形副本 原頻譜 三角形副本
 /\ /\ /\
------------/--\--------------/--\--------------/--\------> f
 -fs-W -fs+W -W W fs-W fs+W
 中心 -fs 中心 0 中心 fs

要使相鄰副本不重疊，兩個副本中心的距離必須至少等於頻譜寬度 $2W$：

換成取樣間隔條件：

題圖的頻譜在 $f=\pm W$ 處為零，所以當 $f_s=2W$ 時，相鄰副本在零值端點相接，不會造成頻譜重疊；實際系統通常會留取樣頻率裕度。