114 地方特考四等 土木工程類科 材料力學概要 考古題詳解

如圖所示均質材料桿件，$ab$ 桿件及 $bc$ 桿件有相同彈性模數

$E=200\times10^6\ \mathrm{kN/m^2}$

$ab$ 桿件及 $bc$ 桿件之斷面積分別是

$A_{ab}=0.002\ \mathrm{m^2},\qquad A_{bc}=0.001\ \mathrm{m^2}。$

當軸向水平載重

$P=200\ \mathrm{kN}$

求 $ab$ 桿件與 $bc$ 桿件的軸向應力、軸向應變及 $c$ 點軸向位移。

桿件長度：$ab=2\ \mathrm{m}$、$bc=2\ \mathrm{m}$。

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如圖所示為某點平面應力狀態，求其最大正向應力 $\sigma_1$ 及最大同平面剪應力 $\tau_{\max}$。

提示：

$\sigma_1=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\left(\tau_{xy}\right)^2}$

$\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\left(\tau_{xy}\right)^2}$

圖示應力分量：$x$ 方向正向應力為壓應力 $10\ \mathrm{MPa}$，$y$ 方向正向應力為拉應力 $50\ \mathrm{MPa}$，剪應力大小為 $40\ \mathrm{MPa}$。

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如圖（a）所示簡支梁，$a$ 點鉸支承，$b$ 點為滾支承，梁桿件有相同的彈性模數 $E$ 與慣性矩 $I$，且

$EI=20000\ \mathrm{kN\cdot m^2}。$

$a$ 點及 $b$ 點分別承受順時針彎矩

$M_a=48\ \mathrm{kN\cdot m},\qquad M_b=24\ \mathrm{kN\cdot m}。$

求簡支梁 $a$ 點及 $b$ 點的轉角。

提示：請應用圖（b）及圖（c）所提供的公式。

圖（b）：$a$ 點施加彎矩 $M_1$ 時，

$\theta_a=\frac{M_1L}{3EI},\qquad \theta_b=\frac{M_1L}{6EI}。$

圖（c）：$b$ 點施加彎矩 $M_2$ 時，

$\theta_a=\frac{M_2L}{6EI},\qquad \theta_b=\frac{M_2L}{3EI}。$

$a$ 點與 $b$ 點間距離為 $5\ \mathrm{m}$。

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如圖所示為梁桿件，矩形斷面寬度

$b=0.12\ \mathrm{m}$

深度

$h=0.50\ \mathrm{m}。$

梁桿件斷面承受軸向載重

$P=120\ \mathrm{kN}$

及彎矩

$M=60\ \mathrm{kN\cdot m}$

作用。求此矩形斷面在 $a$ 點及 $b$ 點的正向應力 $\sigma_x$。

提示：

$\sigma=\frac{P}{A}+\frac{My}{I}$

$I_y=\frac{bh^3}{12}。$

圖示中，$a$ 點位於矩形斷面下緣，$b$ 點位於上方，且自上緣至 $b$ 點之距離為 $0.15\ \mathrm{m}$；梁長度標示為左端至中點 $2\ \mathrm{m}$、中點至右端 $2\ \mathrm{m}$。

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