114 地方特考四等 土木工程類科 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查面積的誤差傳播。已知各邊長的標準誤差，且 $a、b、c、d$ 的觀測量互不相關，因此面積 $A=f(x_1,\dots,x_n)$ 的標準誤差可用一階誤差傳播公式：

解題方法

一、矩形土地

矩形面積為：

對 $a、b$ 分別取偏導數，得到：

二、直角三角形土地

直角三角形面積為：

其標準誤差為：

核心觀念

方位角以北方為 $0^\circ$，順時針增加，範圍為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。反方位角相差 $180^\circ$：

沿圖示導線 $A\to1\to2\to3\to4\to A$ 推算時，每一站的下一邊方位角，可由「前一邊反方位角加上該站內角」求得，再將結果化為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。

解題方法

已知 $\varphi_{A4}=125^\circ15'30''$，先求其反方位角：

在 A 點，已知 $\varphi_{A4}$，依圖示方向加上 A 點內角，得：

接著逐站推算：

核心觀念

對向水準測量又稱渡河水準測量，適用於河道、山谷等障礙物使水準儀無法架設在兩水準尺附近的位置。其核心是將水準儀分別架在河道兩岸，從兩端各觀測一次，再取兩次高程差的平均，以消除或減低水準儀視準軸誤差及地球曲率、折光的影響。

設兩岸水準點為 $A$、$B$，高程差定義為 $\Delta H_{AB}=H_B-H_A$；水準尺讀數以 $a$、$b$ 表示。

解題方法與施測步驟

1. 在河道兩岸選定穩固的水準點 $A$、$B$，分別豎立水準尺。
2. 將水準儀架於 $A$ 岸附近，盡量使儀器至 $A$ 尺的距離很短；觀測 $A$ 尺讀數 $a_1$ 與對岸 $B$ 尺讀數 $b_1$。
3. 將水準儀移至 $B$ 岸附近，盡量使儀器至 $B$ 尺的距離很短；觀測近岸 $B$ 尺讀數 $b_2$ 與對岸 $A$ 尺讀數 $a_2$。
4. 兩岸各完成一組觀測，依讀數方向計算兩次高程差，再取平均。

依「後視讀數減前視讀數」計算，儀器設於 $A$ 岸時：

儀器設於 $B$ 岸時：

因此，兩岸高程差為：

核心觀念

GPS 虛擬距離（pseudorange）是接收機以衛星發出的測距碼，量得訊號由衛星傳至接收機所需的傳播時間，再乘以光速所得的距離觀測量。它稱為「虛擬」距離，是因為衛星鐘與接收機鐘不同步，觀測值還含有時鐘偏差及其他誤差，並非單純的幾何距離。

單一曆元中，接收機位置有三個未知數 $X_r,Y_r,Z_r$，接收機鐘差另有一個未知數；因此至少須同時觀測四顆衛星，才能解算三維位置與接收機鐘差。

觀測方程式

第 $i$ 顆衛星的虛擬距離觀測方程式可寫為：

其中幾何距離為：

各符號代表：

• $P_r^i$：接收機 $r$ 對第 $i$ 顆衛星量得的虛擬距離。
• $\rho_r^i$：衛星與接收機的幾何距離；衛星座標 $(X^i,Y^i,Z^i)$ 由衛星星曆求得，接收機座標 $(X_r,Y_r,Z_r)$ 為待求量。
• $c$：光速。
• $\delta t_r$：接收機鐘差。
• $\delta t^i$：第 $i$ 顆衛星鐘差。
• $I_r^i$、$T_r^i$：電離層與對流層延遲，以距離表示。
• $\varepsilon_r^i$：多路徑、接收機雜訊及未改正誤差等觀測誤差。

若以公尺為單位，令接收機鐘差距離量為 $b_r=c\delta t_r$、衛星鐘差距離量為 $b^i=c\delta t^i$，則可改寫為：

衛星鐘差通常依導航電文資料改正；電離層、對流層延遲則可用模型改正，或藉由多頻觀測、差分等方式削弱。

解題方法

每顆衛星提供一條虛擬距離方程式。以四顆衛星為例，將四條方程式聯立，求解接收機的 $X_r,Y_r,Z_r$ 與鐘差 $b_r$。由於幾何距離含座標平方根，方程式是非線性的，實務上先以近似座標線性化，再以最小二乘法迭代求解。

若接收機近似座標為 $(X_0,Y_0,Z_0)$，衛星至接收機的近似距離為 $\rho_0^i$，則幾何距離的一階改正為：