112 地方特考四等 土木工程類科 測量學概要 考古題詳解

112 年・地方特考・四等・土木工程類科
試題代碼 測量學概要

第 一 題35 分

擬採用全測站儀完成放樣任務。已知如下圖所示三點 AA、BB、CC 坐標（EE、NN）分別如下：

(EA,NA)=(304232.000,2770519.000)(E_A,N_A)=(304232.000,2770519.000)

(EB,NB)=(304332.020,2770692.321)(E_B,N_B)=(304332.020,2770692.321)

(EC,NC)=(304332.000,2770519.000)(E_C,N_C)=(304332.000,2770519.000)

坐標值單位均為 m。

請計算 ACAC 距離為何？AB→\overrightarrow{AB} 與 AC→\overrightarrow{AC} 方向之方位角分別為何？由 AB→\overrightarrow{AB} 方向順時針計算之夾角 ∠BAC\angle BAC 為何？若已知 AB→\overrightarrow{AB} 在全測站度盤上的方向值為 359∘59′20′′359^\circ59'20''，則 AC→\overrightarrow{AC} 在全測站度盤顯示幕上的方向讀數應該為何？

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核心觀念

本題考查：

  • 坐標增量與距離計算
  • 測量方位角定義：由北方向起算，順時針量至目標方向
  • 全測站方向讀數的角度加法與 360∘360^\circ 化算

坐標增量為：

ΔE=E終點−E起點,ΔN=N終點−N起點\Delta E=E_{\text{終點}}-E_{\text{起點}},\qquad \Delta N=N_{\text{終點}}-N_{\text{起點}}

方位角以北方向為 0∘0^\circ，順時針增加至 360∘360^\circ。

一、計算 AC‾\overline{AC} 距離

由 AA 至 CC：

ΔEAC=304332.000−304232.000=100.000 m\Delta E_{AC}=304332.000-304232.000=100.000\text{ m} ΔNAC=2770519.000−2770519.000=0.000 m\Delta N_{AC}=2770519.000-2770519.000=0.000\text{ m}

因此：

AC=(ΔEAC)2+(ΔNAC)2AC=\sqrt{(\Delta E_{AC})^2+(\Delta N_{AC})^2} AC=1002+02=100.000 mAC=\sqrt{100^2+0^2}=100.000\text{ m}

二、計算 AB→\overrightarrow{AB} 方位角

由 AA 至 BB：

ΔEAB=304332.020−304232.000=100.020 m\Delta E_{AB}=304332.020-304232.000=100.020\text{ m} ΔNAB=2770692.321−2770519.000=173.321 m\Delta N_{AB}=2770692.321-2770519.000=173.321\text{ m}

因為 ΔE>0\Delta E>0、ΔN>0\Delta N>0，所以 AB→\overrightarrow{AB} 位於東北象限，其方位角為：

αAB=tan⁡−1(ΔEΔN)=tan⁡−1(100.020173.321)\alpha_{AB} =\tan^{-1}\left(\frac{\Delta E}{\Delta N}\right) =\tan^{-1}\left(\frac{100.020}{173.321}\right) αAB≈29∘59′18′′\alpha_{AB}\approx29^\circ59'18''

三、計算 AC→\overrightarrow{AC} 方位角

由 AA 至 CC 僅向東，且：

ΔEAC>0,ΔNAC=0\Delta E_{AC}>0,\qquad \Delta N_{AC}=0

因此：

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第 二 題25 分

已知 DD、EE 兩點間水準測量如下表所示：

點位後視前視高程差改正數改正後高程差高程值
DD1.5535.284
TP11.4681.296
TP21.5421.283
TP31.6671.811
TP41.4191.425
EE1.5231.503
TP51.4791.469
TP61.5831.675
TP71.4861.251
TP81.3891.706
DD1.6935.284

每個測站間兩尺距離均為 100 m，請問上表之 DEDE 測線水準測量成果閉合差為何？是否符合 7mm7\sqrt{\text{mm}} 以內的閉合差標準？並請分配閉合差，於試卷上依照上表格式，填寫完成所有空白格。已知 DD 點高程為 5.284 m，並標示 EE 點高程為何？

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核心觀念

水準測量每一測段的高程差為「後視讀數減前視讀數」：

Δh=後視−前視\Delta h=\text{後視}-\text{前視}

閉合測線的理論高程差為零，故閉合差為各測段高程差總和。本題測線由 DD 出發後再回到 DD，共有 10 個測段，每段 100 m，總長 K=1.0K=1.0 km。

閉合差容許標準為 7K7\sqrt{K} mm，其中 KK 以公里為單位。

解題方法

依測線順序計算各段高程差，並將該段結果填在抵達點的列上。例如，DD 至 TP1 的高程差為 1.553−1.296=+0.2571.553-1.296=+0.257 m；TP1 至 TP2 則為 1.468−1.283=+0.1851.468-1.283=+0.185 m。

點位後視（m）前視（m）高程差（m）改正數（m）改正後高程差（m）高程值（m）
DD1.5535.2840
TP11.4681.296+0.257+0.0003+0.25735.5413
TP21.5421.283+0.185+0.0003+0.18535.7266
TP31.6671.811−0.269+0.0003−0.26875.4579
TP41.4191.425+0.242+0.0003+0.24235.7002
EE1.5231.503−0.084+0.0003−0.08375.6165
TP51.4791.469+0.054+0.0003+0.05435.6708
TP61.5831.675−0.196+0.0003−0.19575.4751
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第 三 題20 分

以下文字取材自內政部國土測繪中心 e-GNSS 即時動態定位系統入口網站。請閱讀之後，比較 GNSS 與 GPS 的異同？說明何謂 RTK？何謂整週波未定值（Ambiguity）？以及 e-GNSS 即時動態定位系統的原理為何？

VBS-RTK 即時動態定位技術是 e-GNSS 即時動態定位系統之核心定位技術。其係採用多個衛星定位基準站所組成的 GNSS 網絡來評估基準站涵蓋地區之定位誤差，再配合最鄰近的實體基準站觀測資料，產製一個虛擬的基準站做為 RTK 主站，所以移動站並不是接收某個實體基準站之實際觀測資料，而是經過誤差修正後的虛擬觀測數據，也就是 RTK 主站是經過人為產製的虛擬化基準站，其意義如同在移動站附近架設實體的基準站一樣，故被稱之為虛擬基準站即時動態定位技術，簡稱 VBS-RTK。

相較於傳統單主站式 RTK 即時動態定位技術之最大瓶頸，在於主站系統誤差改正參數之有效作用距離，因 GNSS 定位誤差的空間相關性會隨著基準站與移動站距離的增加而逐漸失去線型誤差模型的有效性，因此在較長距離的情況下（一般大於 10 公里），經過差分計算處理後之觀測數據仍然含有很大的系統誤差，尤其是電離層的殘餘誤差，將導致整週波未定值（Ambiguity）求解的困難，甚至無法求解，以致於造成定位成果不佳。故為克服單主站式 RTK 定位技術的缺陷，利用虛擬基準站即時動態定位技術求解區域性 GNSS 多基準站網絡誤差模型，如對流層、電離層及軌道誤差等，將可有效增加傳統單主站 RTK 定位之作業範圍，亦即採用多個衛星定位基準站所組成的 GNSS 網絡來評估衛星定位基準站涵蓋地區的 GNSS 定位誤差，並配合最鄰近的實體基準站觀測資料，建構一個虛擬基準站（Virtual Base Station, VBS）做為 RTK 主站使用。此時該虛擬基準站的觀測數據將會與移動站衛星定位接收儀實際接收的觀測數據及誤差模型具有極高的相關性，當再進行 RTK 差分計算處理後，系統誤差即可徹底消除，使用者當然可以快速且方便地獲得高精度、高可靠度及高可用性之即時動態定位成果。

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核心觀念

本題考查衛星定位系統的基本名詞與網路型即時動態定位原理，重點包括 GNSS 與 GPS 的範圍關係、RTK 的載波相位差分定位、整週波未定值，以及 e-GNSS 採用 VBS-RTK 的作業方式。

  • **GNSS（Global Navigation Satellite System，全球導航衛星系統）**是各國全球或區域性衛星導航系統的總稱，包含美國 GPS、俄羅斯 GLONASS、歐盟 Galileo、中國 BeiDou 等。
  • **GPS（Global Positioning System）**是美國建置的全球衛星定位系統，屬於 GNSS 的一種。因此 GPS 是 GNSS 的子集；GNSS 可使用多個衛星系統，GPS 則專指美國系統。
  • **RTK（Real-Time Kinematic，即時動態定位）**利用基準站與移動站同步觀測衛星載波相位，透過即時通訊傳送基準站資料，再以差分方式求解移動站位置。當整週波未定值固定解成功時，可即時取得公分級定位成果。
  • **整週波未定值（Ambiguity）**是接收儀開始追蹤衛星訊號時，衛星至接收儀之間整數個載波波長的未知數。載波相位觀測值可寫為：

Φ=ρ+λN+其他誤差項\Phi = \rho + \lambda N + \text{其他誤差項}

其中 Φ\Phi 為以距離表示的載波相位觀測值，ρ\rho 為幾何距離，λ\lambda 為載波波長，NN 為整週波未定值。RTK 必須正確求得整數 NN，才能充分發揮載波相位的高精度。

解題方法

依題意先區分系統名稱，再說明定位方法與誤差處理流程：

  1. 比較 GNSS 與 GPS：從「總稱與個別系統」切入，指出 GPS 是 GNSS 之一，而 GNSS 可整合多個衛星定位系統。
  2. 說明 RTK 與 Ambiguity：交代 RTK 以基準站和移動站的同步載波相位觀測進行差分；Ambiguity 則是載波相位中待解的整數週數。
  3. 說明 e-GNSS 原理：題文所述核心是 VBS-RTK。系統先由多個實體基準站估計區域性誤差，再為移動站建立虛擬基準站及其觀測資料，讓虛擬基準站與移動站的誤差更具相關性，最後進行 RTK 差分定位。
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第 四 題20 分

一段平坦地距離以銦鋼尺施測 10 次，得到下列觀測值：

10.105、10.106、10.107、10.104、10.104、10.106、10.105、11.105、10.103、10.105

單位均為 m。請計算其最或然值、觀測值標準差以及最或然值標準差。

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核心觀念

等精度重複觀測同一距離時，最或然值採觀測值的算術平均數。觀測值標準差表示單次觀測的離散程度；最或然值標準差則表示平均數的不確定度：

xˉ=∑i=1nxin,s=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1,sxˉ=sn\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n},\qquad s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}},\qquad s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}

其中 nn 為觀測次數。題目列出 10 筆觀測值，且未指定剔除任何觀測，因此計算時 10 筆均納入。

解題方法

先計算 10 筆觀測值的總和：

∑xi=102.050 m\sum x_i=102.050\text{ m}

因此最或然值為：

xˉ=102.05010=10.205 m\bar{x}=\frac{102.050}{10}=10.205\text{ m}

接著計算各觀測值與平均數的殘差平方和。為便於計算，將各值寫成 10.105+di10.105+d_i，則

di=(0, 0.001, 0.002, −0.001, −0.001, 0.001, 0, 1.000, −0.002, 0)d_i=(0,\ 0.001,\ 0.002,\ -0.001,\ -0.001,\ 0.001,\ 0,\ 1.000,\ -0.002,\ 0)
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