112 地方特考四等 土木工程類科 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查簡支梁支承反力、剪力圖與彎矩圖。

• $A$ 點為鉸支承，可提供水平反力 $A_x$ 與垂直反力 $A_y$。
• $C$ 點為滾支承，可提供垂直反力 $C_y$。
• 集中力作用處，剪力圖會產生跳躍；彎矩圖則保持連續。
• 集中力作用處若剪力由正變負，該處為正彎矩最大值。

取：

• 向上力為正；
• 左截面剪力向上為正；
• 下凹彎矩為正。

解題方法：計算支承反力

梁全長為

設支承反力為 $A_y$、$C_y$，由於外力沒有水平分量：

對 $A$ 點取力矩平衡：

因此

由鉛直力平衡：

故支承反力為

剪力圖

$A$ 至 $B$ 區段

在 $A$ 點右側，剪力為

因此 $A$ 至 $B$ 間剪力維持 $+5\ \mathrm{kN}$。

$B$ 點

$B$ 點有向下集中力 $20\ \mathrm{kN}$，剪力產生向下跳躍：

$B$ 至 $C$ 區段

因此 $B$ 至 $C$ 間剪力維持

$C$ 點

在 $C$ 點受到向上反力 $15\ \mathrm{kN}$：

剪力圖如下：

V (kN)
 +5 ────────────────┐
 │ B點下降20 kN
 -15 └───────────────┐
 │ C點上升15 kN
 0 └────────
 A B C
 |------ 6 m ------|---- 2 m ----|

剪力圖各區段：

彎矩圖

$A$ 點

簡支梁端點彎矩為零：

$A$ 至 $B$ 區段

取距離 $A$ 點 $x$ 處截面：

核心觀念

本題為一次超靜定梁，採「單位力法」求固定端 $A$ 點轉角。基本公式為虛功法：

其中：

• $M$：實際荷載及冗餘力造成之彎矩。
• $m$：在欲求位移或轉角位置施加單位力或單位力矩所造成之彎矩。
• $EI$：常數。
• $B$ 點為支承，因此 $B$ 點撓度必須為零。

取 $A$ 為原點，沿梁向左至 $C$ 為 $x$ 軸，則：

取逆時針為正，向下荷載造成的彎矩取負號。

一、求支承反力 $R_B$

將 $B$ 點支承反力 $R_B$ 視為冗餘力，基本結構為固定端 $A$ 的懸臂梁。

均布載重造成的彎矩為：

冗餘力 $R_B$ 造成的彎矩為：

在 $B$ 點施加單位向下力，所得虛擬彎矩為：

由單位力法，均布載重造成的 $B$ 點向下撓度為：

代入：

令 $y=L-x$，則 $2L-x=L+y$：

冗餘力造成的反向撓度為：

因為 $B$ 點為支承：

因此：

解得：

核心觀念

本題考查簡支鋼筋混凝土梁在均布載重作用下的：

1. 彎矩、剪力分布與裂縫型態。
2. 撓曲裂縫與剪力裂縫的走向。
3. 梁抗剪設計之臨界斷面位置。
4. 支承附近載重以壓力拱作用直接傳至支承的規定。

以下以命題當年民國112年法規為準。梁的有效深度以 $d$ 表示，支承面至梁端中心線的距離不影響「距支承面 $d$」之規定。

一、彎矩與剪力分布

設梁跨距為 $L$，均布載重為 $w$，兩端為簡支。

支承反力為

距左支承 $x$ 處之剪力為

因此：

• 左、右支承附近剪力最大。
• 跨中央 $x=L/2$ 處剪力為零。
• 剪力圖為通過零點的直線三角形分布。

距左支承 $x$ 處之彎矩為

即

彎矩圖為拋物線，跨中央最大：

所以：

• 跨中央彎矩最大、撓曲變形最大。
• 支承處彎矩為零，但剪力最大。
• 裂縫主要依據彎矩與剪力的大小分布。

二、撓曲裂縫

簡支梁受均布載重時，梁下緣為拉力區，故撓曲裂縫主要發生於梁底。

裂縫走向

撓曲裂縫大致呈垂直方向，即：

其原因是彎矩造成梁底縱向拉應力，當混凝土抗拉強度被超過後，裂縫沿著近似垂直方向向上發展。

裂縫分布

可繪示如下：

均布載重 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

────────────────────────── 梁頂
 │ │ │ │ │ │ │
 │ │ │ │ │ │ │ ← 撓曲裂縫，約呈垂直方向
────────────────────────── 梁底
▲ ▲
左支承 右支承

實際分布特徵如下：

• 跨中央附近撓曲裂縫最密集、最寬。
• 由跨中央向兩側支承逐漸減少。
• 裂縫高度通常由梁底向上延伸，接近梁上緣時逐漸變短。
• 支承處彎矩為零，因此支承正上方通常不形成主要撓曲裂縫。
• 撓曲裂縫在剪力較大的支承附近，可能進一步轉變為斜向的彎剪裂縫。

三、剪力裂縫

裂縫走向

剪力裂縫主要發生於支承附近，通常由梁側下方或梁底附近開始，向上朝跨中央方向傾斜。

典型方向約為 $30^\circ\sim45^\circ$，但實際角度會受梁深、箍筋、載重位置及裂縫發展情形影響。

均布載重 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

──────────────────────────
 \ \ │ │ │ / /
 \ \ │ │ │ / /
──────────────────────────
▲ ▲
左支承 右支承

裂縫分布

剪力圖在兩端最大，因此剪力裂縫具有下列特徵：

• 左、右支承附近最容易產生。
• 跨中央剪力為零，通常不產生純剪力裂縫。
• 裂縫由梁底或梁側拉力區開始，向上斜向延伸。
• 靠近支承處裂縫較密集。
• 裂縫可能與原有垂直撓曲裂縫連接，形成彎剪裂縫。
• 若剪力鋼筋不足，斜裂縫可能迅速貫穿梁腹，造成脆性剪力破壞。

四、抗剪臨界斷面位置

核心觀念

本題考查單筋矩形梁極限彎矩狀態下：

1. 平面維持平面的應變一致性。
2. 混凝土壓力等效矩形應力塊。
3. 鋼筋降伏後之拉力平衡。
4. 鋼筋比定義： $\rho=\frac{A_s}{bd}$

混凝土壓力合力為：

$C=0.85f'_c\,b\,\beta_1c$

當受拉鋼筋已降伏時，鋼筋拉力為：

$T=A_sf_y$

一、由應變一致性求中性軸深度

壓力側最外緣混凝土應變為 $0.003$，最外緣受拉鋼筋位於深度 $d_t$，其應變為 $\varepsilon_t$。

依比例三角形：

因此：

題目指定：

代入得：

整理：

故：

二、由力平衡求鋼筋量

梁達到極限彎矩狀態時，內力須滿足：

$T=C$

因此：