112 地方特考五等 電子工程類科 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

同材質導線的電阻率 $\rho$ 相同，電阻由導線長度 $L$ 與截面積 $S$ 決定：

圓形導線的截面積為 $S=\pi r^2$，因此在材質相同時，電阻與長度成正比、與半徑平方成反比。

解題方法

已知 $L_A=2L_B$、$r_A=0.5r_B$。利用電阻比值消去共同的電阻率 $\rho$ 與圓周率 $\pi$：

因此，$A$ 導線的電阻是 $B$ 導線的 $8$ 倍。

選項分析

核心觀念

本題考查：

• 並聯電路各支路兩端電壓相同。
• 串聯電路各部分電流相同。
• 電阻消耗功率公式：

圖中 $100\Omega$ 與 $50\Omega$ 並聯，$400\Omega$ 與 $200\Omega$ 並聯，兩組並聯電路再彼此串聯，接於 $10\text{ V}$ 電源。

解題方法

先求兩組並聯電阻：

兩組並聯等效電阻串聯，因此總電阻為：

電源總電流：

左、右兩組並聯電路的電壓分別為：

因此各電阻功率如下：

核心觀念

理想電壓源供電時，電阻兩端的電壓固定。電阻消耗的功率可用 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 計算；電阻串聯時，總電阻相加，並聯時，總電阻減小。

解題方法

設每個電阻的阻值為 $R$，電壓源電壓為 $V$。

三個相同電阻串聯時，總電阻為 $3R$，題目給定總功率為 $300\ \mathrm{W}$：

改為並聯後，總電阻為 $\dfrac{R}{3}$。電壓源電壓不變，因此總功率為：

由串聯時的關係可得 $\dfrac{V^2}{R}=900\ \mathrm{W}$，所以：

核心觀念

電熱器的額定功率、電阻與電流，符合電功率公式 $P=I^2R$。題目已知功率與電阻，可直接求電流；其中 $1\ \mathrm{kW}=1000\ \mathrm{W}$。

解題方法

由 $P=I^2R$ 移項可得：

因此，電熱器的電流額定值為 $10$ 安培。

選項分析

• (A) $1$ 安培：錯誤。 代入功率公式得 $P=1^2\times10=10\ \mathrm{W}$，與題目給定的 $1000\ \mathrm{W}$ 不符。

核心觀念

電熱線可視為電阻導線。在材質、粗細與電壓都相同時，電阻與導線長度成正比：

$R=\rho\frac{L}{A}$

其中 $\rho$ 為電阻率、$L$ 為長度、$A$ 為截面積。電熱器接在固定電壓下，其功率為：

$P=\frac{V^2}{R}$

因此電熱線變短、電阻變小，功率就會變大。

解題方法

原功率為 $P_1=900\text{ W}$。剪去原長度的四分之一後，剩下原長度的四分之三：

$L_2=\frac{3}{4}L_1$

因材質與截面積不變，電阻也變為原來的四分之三：

$R_2=\frac{3}{4}R_1$

在相同電壓下，功率與電阻成反比，所以：

選項分析

核心觀念

金屬導體的電阻會隨溫度升高而增加。若電阻溫度係數 $\alpha$ 是以基準溫度 $T_0$ 定義，則溫度 $T$ 時的電阻為：

本題以 $10^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻 $40\ \Omega$ 為基準。

解題方法

溫度變化量為：

代入電阻溫度公式：

因此，導體在 $70^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻為 $52\ \Omega$。

選項分析

核心觀念

功率表示單位時間內消耗或轉換的能量，公式為

其中 $P$ 為功率（瓦特）、$W$ 為能量（焦耳）、$t$ 為時間（秒）。本題已給能量與時間，直接代入即可；電壓 $125$ 伏特不需要用來計算。

解題方法

吹風機在 $20$ 秒內消耗 $4000$ 焦耳，因此功率為

所以此時吹風機的功率為 $200$ 瓦特。

選項分析

核心觀念

本題考查電流源與電壓源共同作用下，電阻 $R_L$ 的消耗功率。電阻功率公式為

因此，在 $R_L$ 固定時，流過 $R_L$ 的電流越大，消耗功率越大。

由圖可知，$R_1$ 與 $R_L$ 串聯後，與 $R_2$ 及電流源 $I$ 所形成的支路共同接於同一對節點。

解題方法

令

設右上方節點電壓為 $V$，依據節點電流定律：

整理得

流過 $R_L$ 的電流與流過 $R_1$ 的電流相同，其大小為

代入 $V$：

在本題官方解答所採用的命題慣例中，電流源 $I$ 依箭頭方向增加時，會抵銷由電壓源 $E$ 所造成的負載電流。因此，為使 $R_L$ 的電流最大，應使電流源不作用，即

此時

負載功率為

即為題目所列情況下的最大值。

選項分析

核心觀念

均勻材質導線的電阻為

其中 $\rho$ 為電阻率、$L$ 為導線長度、$A$ 為橫截面積。拉長導線時，若材質與體積不變，長度增加會使橫截面積相應縮小，因此電阻會同時受到長度增加與截面積減少的影響。

解題方法

導線均勻拉長至原來的 $3$ 倍，表示 $L_2=3L_1$。導線體積不變，故

因此

將長度與截面積代入電阻公式：

原電阻 $R_1=2\ \Omega$，所以

核心觀念

本題考查：

• 串聯電路電流相同。
• 歐姆定律：$V=IR$。
• 節點電壓與基準點的判定。
• 基爾霍夫電流定律（KCL）。

以下端點 $B$ 作為接地，令 $V_B=0$。因為 $A、B$ 電壓差為 $9\ \mathrm{V}$，所以

解題方法

先由 $8\ \Omega$ 電阻求出其電流：

$A$ 點只連接 $2\ \Omega$ 與 $8\ \Omega$，因此流經右側 $2\ \Omega$ 電阻的電流也是 $1.125\ \mathrm{A}$。

設中間節點電壓為 $V_C$，則右側 $2\ \Omega$ 電阻的電壓降為

因此

左側 $2\ \Omega$ 電阻中的電流為

在中間節點套用 KCL，流入的電流分成流向右側 $2\ \Omega$ 與流經 $R$ 的電流：

電阻 $R$ 兩端電壓為 $V_C=11.25\ \mathrm{V}$，故

核心觀念

本題考查節點電壓法與基爾霍夫電流定律（KCL）。

以底部導線為接地點，則左側電壓源上端電位為 $15\ \mathrm{V}$。節點 $a$ 的電壓設為 $V_a$。

• 經過 $6\ \Omega$ 電阻流出節點 $a$ 的電流為 $\dfrac{V_a-15}{6}$
• 經過 $9\ \Omega$ 電阻流向地端的電流為 $\dfrac{V_a}{9}$
• $10\ \mathrm{A}$ 電流源方向向上，表示有 $10\ \mathrm{A}$ 流入節點 $a$

解題方法

依 KCL，流出節點 $a$ 的電流總和等於流入電流：

乘以 $18$ 化簡：

因此，$a$ 點相對於底部接地點的電壓為 $45\ \mathrm{V}$。

選項分析

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

將負載電阻 $R$ 兩端的外部電路化為戴維寧等效電路後：

最大功率傳輸條件為：

其中 $V_{\mathrm{TH}}$ 為負載開路時的端電壓，$R_{\mathrm{TH}}$ 為獨立電源失效後，由負載端看入的等效電阻。

解題方法

一、求 $R_{\mathrm{TH}}$

將 $20\ \mathrm{A}$ 電流源開路，將 $50\ \mathrm{V}$ 電壓源短路。

由端點 $a$、$b$ 看入，電流唯一路徑為：

因此：

二、求 $V_{\mathrm{TH}}$

將負載 $R$ 開路。由於 $b$ 端串接 $6\Omega$，但開路時沒有電流通過 $6\Omega$，故可取下方節點為接地，且：

左側 $20\ \mathrm{A}$ 電流源方向向下，因此 $20\ \mathrm{A}$ 電流經由上方 $5\Omega$ 電阻由中央節點流向左側。中央節點與左側節點的電壓差為：

中央節點另經由垂直 $5\Omega$ 電阻接地，因此中央節點電壓為：

開路時 $4\Omega$ 電阻沒有電流，因此其兩端無壓降。$50\ \mathrm{V}$ 電壓源左端為正、右端為負，所以：

因此：

核心觀念

本題考查戴維寧等效電阻。計算端點 $a$、$b$ 所視的等效電阻 $R_{ab}$ 時：

• 理想電壓源以短路代替。
• 理想電流源以開路代替。
• 從端點 $a$、$b$ 看入電路，化簡串聯與並聯電阻。

解題方法

將獨立電壓源 $10\text{ V}$ 短路，獨立電流源 $5\text{ A}$ 開路。

由端點 $a$ 往左看：

1. $a$ 端先經過 $1\,\Omega$ 電阻。
2. 再經過 $2\,\Omega$ 電阻。
3. 左側節點至 $b$ 端之間，原本的 $12\,\Omega$ 電阻與 $4\,\Omega$ 電阻並聯。

並聯等效電阻為

因此

所以端點 $a$、$b$ 所視之等效電阻為 $6\,\Omega$。

選項分析

• (A) $3\,\Omega$：錯誤。 $3\,\Omega$ 是 $12\,\Omega$ 與 $4\,\Omega$ 並聯後的等效電阻，尚未加上前方串聯

核心觀念

本題考查交流阻抗的 $\Delta$–$Y$ 等效轉換。一般情況下，若 $\Delta$ 型三邊阻抗為 $Z_{12}$、$Z_{23}$、$Z_{31}$，對應的 $Y$ 型阻抗為：

交流阻抗可直接代入計算；複數阻抗的乘除遵循一般複數運算規則。

解題方法

三個 $\Delta$ 阻抗皆相同，且 $Z=3+j9\ \Omega$。以 $Z_1$ 為例：

同理，$Z_2=Z_3=Z/3$，因此：

核心觀念

本題考查惠斯頓電橋的平衡條件。當檢流計電流 $I_G=0$ 時，表示橋中點 $c$、$d$ 的電位相等，電橋達到平衡，因此：

解題方法

代入題目條件：

整理得：

因此：

選項分析

• (A) $10\ \Omega$：正確。 此時 $\frac{R_1}{R_3}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 且 $\frac{R_2}{R_4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ 符合惠斯頓電橋平衡條件，故 $I_G=0$。

核心觀念

本題考查：

• 惠斯登電橋的平衡條件
• 串聯、並聯電阻的等效計算
• 歐姆定律

圖中電源為 $10\text{ V}$，左上方另有一個 $2\Omega$ 電阻與右側電阻網路串聯。

解題方法

右側電橋的左右兩支路分別為：

• 左支路：上方 $4\Omega$ 與下方 $2\Omega$ 串聯
• 右支路：上方 $4\Omega$ 與下方 $2\Omega$ 串聯

因此，

符合惠斯登電橋平衡條件。左右兩側中點電位相同，因此中間的 $2\Omega$ 電阻沒有電流通過，可視為不影響電路。

每一側支路的等效電阻為：

兩個 $6\Omega$ 支路並聯：

再與左上方的 $2\Omega$ 電阻串聯，總電阻為：

依歐姆定律：

核心觀念

本題考查戴維寧與諾頓等效電路：

其中：

• $V_{TH}$：端點 $a,b$ 開路時的端電壓。
• $R_{TH}$：將獨立電流源關閉後，從端點 $a,b$ 看入的等效電阻。
• 理想電流源關閉時，須以開路取代。

解題方法

電路左右兩支路分別為：

兩支路電阻相同，因此 $16\text{ A}$ 平均分流，每支路電流為：

上下電源兩端的電壓為：

以底部節點為 $0\text{ V}$：

左支路中，端點 $a$ 的電壓為通過 $100\Omega$ 電阻的電壓：

右支路中，端點 $b$ 的電壓為通過 $80\Omega$ 電阻的電壓：

因此戴維寧等效電壓為：

接著求 $R_{TH}$。將左側 $16\text{ A}$ 理想電流源關閉，電流源開路，端點 $a,b$ 之間有上下兩條路徑：

上方路徑：

下方路徑：

故：

諾頓等效電流為：

核心觀念

本題考查：

• 理想電壓源會固定其兩端電壓。
• 由基爾霍夫電流定律（KCL）分析節點電流。
• 歐姆定律：$I=\dfrac{V}{R}$。
• 判讀電池極性，尤其要注意右側 $4\text{ V}$ 電壓源的下端為正、上端為負。

以下端公共接點為參考地：

• 中央 $6\text{ V}$ 電壓源上端為正，因此中央節點電壓為 $+6\text{ V}$。
• 右側 $4\text{ V}$ 電壓源下端為正，因此右上節點電壓為 $-4\text{ V}$。

因此中央節點與右上節點的電位差為

解題方法

設左上節點電壓為 $V$。

上方 $2\Omega$ 電阻中的電流，即題目所求電流 $I$，方向由左向右：

左上節點經由左側中間 $2\Omega$ 電阻流向中央節點的電流為

左側 $3\text{ A}$ 電流源將 $3\text{ A}$ 電流注入左上節點，依 KCL：

代入上式：

所以

核心觀念

法拉第電磁感應定律指出，線圈的感應電動勢等於磁通鏈結變化率的負值：

其中 $e$ 為感應電動勢、$N$ 為線圈匝數、$\Phi$ 為每匝線圈所鏈結的磁通量；負號代表感應方向遵循冷次定律，會阻抗磁通量的變化。

解題方法

由公式可知，感應電動勢與線圈匝數 $N$ 成正比；但它取決於磁通量的變化率，不是磁通量本身的大小。比較選項時，抓住「匝數一次方」與「磁通量變化率」即可判斷。

選項分析

核心觀念

求端點 $a$、$b$ 所看到的諾頓等效電阻 $R_N$，必須：

1. 移除端點 $a$、$b$ 間的負載電阻 $2\ \Omega$。
2. 將獨立電流源失活。電流源失活時等效為開路。
3. 由端點 $a$、$b$ 向電路內看入，求剩餘電阻的等效值。

對線性電路而言，諾頓等效電阻與戴維寧等效電阻相同。

解題方法

將圖中 $a$、$b$ 間的 $2\ \Omega$ 電阻移除，並將左側 $18\ \text{A}$ 電流源開路。

此時電路由 $a$ 到 $b$ 有兩條彼此並聯的路徑：

• 經過上方節點：

• 經過下方節點：

因此：

所以諾頓等效電阻為：

選項分析

核心觀念

戴維寧等效電壓 $V_{\text{th}}$ 就是由端點 $a$、$b$ 向外看時的開路端電壓：

本題電路中，$a$、$b$ 之間的 $R$ 為原電路內部電阻，求端點開路電壓時仍保留，不可移除。

解題方法

將電路分成兩條由上端至下端的並聯路徑：

1. 左側直接路徑：電阻為 $R$。
2. 右側路徑：上方電阻 $R$、$a$、$b$ 間電阻 $R$、下方電阻 $R$ 串聯，總電阻為

電流源提供總電流 $I$，因此流經右側 $3R$ 串聯支路的電流，由分流公式得：

$a$、$b$ 之間的電阻為 $R$，故其兩端電壓為：

因此戴維寧等效電壓為：

選項分析

核心觀念

本題考查空氣芯長螺線管的磁場與磁通量：

磁通量定義為：

因此：

其中空氣芯的磁導率取 $\mu_0$，並忽略邊緣漏磁效應。

解題方法

已知：

先求線圈內部磁場：

再求磁通量：

由於：

所以：

核心觀念

電容器並聯時，各電容器兩端電壓相同，並聯等效電容量為各電容量相加：

電容器的電荷量與電能分別為：

解題方法

三個電容器並聯接上 $100\ \mathrm{V}$ 直流電源，且已達穩定狀態，因此每個電容器的端電壓都是 $100\ \mathrm{V}$。

選項分析

• (A) 正確。 並聯等效電容量為

• (B) 正確。 並聯各支路的端電壓相同，因此 $50\ \mu\mathrm{F}$ 電容器的端電壓為 $100\ \mathrm{V}$。

核心觀念

電感器儲存的磁場能量為

其中 $L$ 為電感值，$I$ 為流過線圈的電流。對固定幾何尺寸與磁性材料的電感器，電感值與線圈匝數平方成正比：

解題方法

線圈匝數由 $N_1=500$ 增加為 $N_2=1000$，匝數變為原來的

因此電感值變為原來的 $2^2=4$ 倍。題目指定電流相同，故能量也隨電感值變化：

核心觀念

電容充電時，電荷量與電流的關係為 $Q=It$；電容兩端電壓為 $V=Q/C$。電容達穩定狀態後儲存的電能為：