113 地方特考離島三等 土木工程 土壤力學與測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤三相組成的基本指標，以及土層受應力歷程的指標。土壤由土粒、水與空氣組成；解題時須分清楚「重量比」、「體積比」與「單位體積重量」，並依定義標示單位。

解題方法與名詞說明

（一）比重 $G_s$

比重是土粒單位體積重量與同溫度下水的單位體積重量之比：

其中 $\gamma_s$、$\rho_s$ 分別為土粒的單位體積重量與密度，$\gamma_w$、$\rho_w$ 為水的相應數值。因為是同類量相除，比重無單位。一般土粒比重約為 $2.6\sim2.8$，但實際值依土壤礦物成分而異。

（二）單位重 $\gamma$

單位重是物體重量除以其總體積：

土壤的總單位重以總重量除以土壤總體積計算，常用單位為 $\mathrm{kN/m^3}$；也可用 $\mathrm{N/m^3}$ 或 $\mathrm{gf/cm^3}$。若特別指乾單位重、飽和單位重或浮單位重，應依題意使用相應的重量與體積定義。

（三）飽和度 $S_r$

飽和度是孔隙中水所占體積與總孔隙體積之比：

其中 $V_w$ 為水的體積，$V_v$ 為孔隙體積。飽和度以百分率表示，範圍為 $0\%\leq S_r\leq100\%$；土壤完全飽和時 $S_r=100\%$。

核心觀念

滲透性係數（permeability coefficient，常以 $k$ 表示）是描述水在土壤孔隙中流動難易程度的參數。依達西定律，在飽和土壤中，單位時間的滲流量與水力坡降及垂直於流向的土體截面積成正比：

其中 $Q$ 為流量、$i$ 為水力坡降、$A$ 為垂直於流向的截面積。滲透性係數為

其量綱為長度／時間，常用單位為 $\mathrm{cm/s}$ 或 $\mathrm{m/s}$。$k$ 主要受土粒大小、級配、孔隙比、土壤結構與水的黏滯性影響；一般而言，粗粒土的 $k$ 較大，細粒土的 $k$ 較小。

本題要求說明兩種實驗室測定方法：定水頭試驗與變水頭試驗。

解題方法一：定水頭試驗

定水頭試驗適用於滲透性較大的土壤，例如砂土。試驗期間保持試體兩端的水頭差固定，量測一段時間內通過試體的水量。

試驗步驟

1. 將已知長度 $L$、截面積 $A$ 的土樣裝入滲透儀，確保試體飽和並排除氣泡。
2. 使水流穩定通過試體，維持試體兩端水頭差 $h$ 不變。
3. 量測試驗時間 $t$ 內流出的水量 $Q$。
4. 計算水力坡降 $i=h/L$，代入達西定律求 $k$。

數據處理

由達西定律：

整理得：

若以量筒直接讀取水量，須使用同一組一致的長度、面積、時間單位；例如 $Q$ 用 $\mathrm{cm^3}$、$L$ 用 $\mathrm{cm}$、$A$ 用 $\mathrm{cm^2}$、$h$ 用 $\mathrm{cm}$、$t$ 用 $\mathrm{s}$，則 $k$ 的單位為 $\mathrm{cm/s}$。

解題方法二：變水頭試驗

變水頭試驗適用於滲透性較小的土壤，例如粉土或黏土。試體出口連接截面積已知的測壓管，管內水位隨水流通過試體而下降，因此水頭差會隨時間改變。

試驗步驟

1. 將已知長度 $L$、截面積 $A$ 的飽和土樣裝入滲透儀。
2. 將內截面積為 $a$ 的測壓管與試體出口連接，並使管中水位高於出口水頭。

核心觀念

本題考查高程基準的差異：正高以大地水準面為基準，橢球高以參考橢球為基準；兩者之間以大地起伏連結。三角高程測量的高程需依重力與高程基準處理，GNSS 直接求得的則是相對於參考橢球的高程。

解題方法與各小題解析

（一）正高（orthometric height）的定義

地面點沿鉛垂線至大地水準面的距離，稱為正高。若地面點為 $P$、大地水準面為基準，正高記為 $H$。大地水準面是與平均海水面相符合、並延伸至陸地之重力等位面。

正高是以重力場中的鉛垂方向量度，常作為一般工程及地形圖所使用的高程。

（二）橢球高（ellipsoidal height）的定義

地面點沿參考橢球法線方向，到參考橢球面的距離，稱為橢球高，記為 $h$。它是幾何量，不以大地水準面為基準。

GNSS 定位以參考橢球與地心座標系為基礎，因此直接得到的高程是橢球高。

（三）大地起伏的定義

大地起伏是大地水準面相對於參考橢球面的高差，記為 $N$。常用正值方向表示大地水準面位於橢球面上方時 $N>0$。三者的關係為：

因此，橢球高轉換為正高時：

（四）三角高程測量所得的高程

核心觀念

閉合水準測量的高程差由相鄰兩點間的後視、前視讀數計算：

$\Delta h=\text{前一測點後視讀數}-\text{後一測點前視讀數}$

閉合回到已知高程的 A 點後，理論上各段高程差總和應為零。若有閉合差，採平均法將閉合差平均分配至各段。本題共 5 段，因此每段改正量相同。

解題方法

依序計算 A→B、B→C、C→D、D→E、E→A 的高程差：

閉合差為：

$f_h=\sum \Delta h=-0.753+0.095+0.391+0.732-0.445=0.020\text{ m}$

平均分配至 5 段的改正量為：

$v=-\frac{f_h}{5}=-\frac{0.020}{5}=-0.004\text{ m／段}$

各段改正後高程差為 $\Delta h'= \Delta h+v$。由 A 點已知高程 $100.000$ 公尺逐段累加，即得各點高程。