113 地方特考離島三等 土木工程 材料力學與結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 均勻風壓合力： $F=pA$
2. 偏心載重造成的彎矩與扭矩： $\mathbf{M}_A=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$
3. 圓形實心柱的扭轉剪應力： $\tau=\frac{Tr}{J},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}$
4. 橫向剪力造成的剪應力在圓形截面外緣為零。

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解題方法

一、求風載重合力

看板面積為

$$A_b=2(1)=2\ \mathrm{m^2}$$

風壓為

$$p=2.0\ \mathrm{kPa}=2.0\ \mathrm{kN/m^2}$$

因此風載重合力為

$$F=pA_b =(2.0)(2) =4.0\ \mathrm{kN}$$

均勻分布載重的合力作用於看板幾何中心。

看板底端距離 $A$ 點 $3\ \mathrm{m}$，看板高度為 $1\ \mathrm{m}$，所以合力作用線距離 $A$ 點：

$$z_F=3+\frac{1}{2}=3.5\ \mathrm{m}$$

看板長度為 $2\ \mathrm{m}$，支撐柱位於看板一端，因此合力作用線距離支柱軸線：

$$y_F=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$$

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二、求 $A$ 斷面的內力

以圖示方向表示，風力沿 $x$ 軸方向作用，因此截面內力包括：

• 軸力：$N=0$
• 剪力：$V_x=4.0\ \mathrm{kN}$
• 彎矩：由垂直偏心距 $3.5\ \mathrm{m}$ 產生
• 扭矩：由水平偏心距 $1\ \mathrm{m}$ 產生

1. 彎矩

$$M_y=F(3.5) =(4.0)(3.5) =14.0\ \mathrm{kN\cdot m}$$

2. 扭矩

$$T=M_z=F(1) =(4.0)(1) =4.0\ \mathrm{kN\cdot m}$$

因此，$A$ 斷面內力的大小為

$$\boxed{N=0}$$ $$\boxed{V_x=4.0\ \mathrm{kN}}$$ $$\boxed{M_y=14.0\ \mathrm{kN\cdot m}}$$ $$\boxed{T_z=4.0\ \mathrm{kN\cdot m}}$$

核心觀念

本題考查變截面軸向桿件的：

1. 軸力判定：利用截面法求各段內力。
2. 正向應力公式：

$$\sigma=\frac{N}{A}$$

3. 軸向變形公式：

$$\delta=\frac{NL}{AE}$$

其中拉力取正、壓力取負。由圖可知：

• $A$ 點：$36\ \text{kN}$ 向右
• $B$ 點：$45\ \text{kN}$ 向左
• $C$ 點：$18\ \text{kN}$ 向左
• $D$ 點：$27\ \text{kN}$ 向右

且全桿滿足平衡：

$$36+27-45-18=0$$

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一、各段軸力

$AB$ 段

取 $AB$ 段任一截面，左側外力僅有 $36\ \text{kN}$，故：

$$N_{AB}=36\ \text{kN}$$

為拉力。

$BC$ 段

取 $BC$ 段任一截面，左側外力合力為：

$$36-45=-9\ \text{kN}$$

因此：

$$N_{BC}=9\ \text{kN}$$

為拉力。

$CD$ 段

取 $CD$ 段任一截面，左側外力合力為：

$$36-45-18=-27\ \text{kN}$$

因此：

$$N_{CD}=27\ \text{kN}$$

為拉力。

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二、最大正向應力

各段截面積為：

$$A=\frac{\pi d^2}{4}$$

$AB$ 段

$$A_{AB}=\frac{\pi(20)^2}{4}=100\pi\ \text{mm}^2$$ $$\sigma_{AB} =\frac{36\,000}{100\pi} =114.6\ \text{MPa}$$

$BC$ 段

$$A_{BC}=\frac{\pi(25)^2}{4}=156.25\pi\ \text{mm}^2$$ $$\sigma_{BC} =\frac{9\,000}{156.25\pi} =18.3\ \text{MPa}$$

$CD$ 段

$$A_{CD}=\frac{\pi(12)^2}{4}=36\pi\ \text{mm}^2$$ $$\sigma_{CD} =\frac{27\,000}{36\pi} =238.7\ \text{MPa}$$

因此最大正向應力發生於直徑最小的 $CD$ 段：

$$\boxed{\sigma_{\max}=238.7\ \text{MPa}}$$

方向為拉應力。

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三、$A$ 點相對於 $D$ 點的位移

銅的彈性係數：

核心觀念

本題考查：

• 內鉸接 $B$ 處彎矩必為 $0$。
• 以內鉸 $B$ 將梁分成左右兩個獨立自由體。
• 支承反力由靜力平衡求得。
• 剪力圖斜率為分布載重，集中力造成剪力跳躍。
• 彎矩圖斜率等於剪力，集中彎矩造成彎矩圖跳躍。

取向上力為正，剪力正號採左截面向上，彎矩正號採下凹（正彎矩）；圖示 $60\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ 為順時針方向。

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一、支承反力

令各點座標為

$$A=0,\quad B=10,\quad \text{集中力}=16,\quad C=20,\quad D=26,\quad E=32\ \mathrm{m}$$

1. 左側 $AB$ 梁段

均佈載重合力為

$$wL=2(10)=20\ \mathrm{kN}$$

作用於距離 $A$ 點 $5\ \mathrm{m}$ 處。

對 $B$ 點取矩：

$$10A_y-20(5)=0$$

因此

$$A_y=10\ \mathrm{kN}$$

由垂直力平衡：

$$A_y+B_y^{(左)}-20=0$$ $$B_y^{(左)}=10\ \mathrm{kN}$$

故內鉸對右側梁段施加向下力 $10\ \mathrm{kN}$。

2. 右側 $BE$ 梁段

設 $C_y,E_y$ 為支承反力。

垂直力平衡：

$$C_y+E_y-10-5=0$$ $$C_y+E_y=15$$

對 $B$ 點取逆時針矩：

$$10C_y+22E_y-5(6)-60=0$$ $$10C_y+22E_y=90$$

聯立得

$$\boxed{C_y=20\ \mathrm{kN}}$$ $$\boxed{E_y=-5\ \mathrm{kN}}$$

負號表示 $E$ 點實際反力方向向下。

因此全部反力為

$$\boxed{A_y=10\ \mathrm{kN}\uparrow}$$ $$\boxed{C_y=20\ \mathrm{kN}\uparrow}$$ $$\boxed{E_y=5\ \mathrm{kN}\downarrow}$$

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二、剪力圖

依各區段計算剪力：

$A$ 至 $B$

在 $A$ 點：

$$V_{A^+}=10\ \mathrm{kN}$$

均佈載重 $w=2\ \mathrm{kN/m}$ 使剪力呈線性下降：

$$V(x)=10-2x,\qquad 0\leq x\leq 10$$

故

$$V_{B^-}=10-2(10)=-10\ \mathrm{kN}$$

$B$ 為內鉸，沒有外加集中力，因此剪力不跳躍：

$$V_{B^+}=-10\ \mathrm{kN}$$

$B$ 至集中力作用點

剪力維持

$$V=-10\ \mathrm{kN}$$

在 $x=16\ \mathrm{m}$ 處受 $5\ \mathrm{kN}$ 向下載重，剪力下降 $5\ \mathrm{kN}$：

$$V_{16^+}=-15\ \mathrm{kN}$$

集中力作用點至 $C$

剪力維持

$$V=-15\ \mathrm{kN}$$

到達 $C$ 點前：

$$V_{C^-}=-15\ \mathrm{kN}$$

受 $C_y=20\ \mathrm{kN}$ 向上反力後：

$$V_{C^+}=-15+20=5\ \mathrm{kN}$$

$C$ 至 $E$

$D$ 點的集中彎矩不影響剪力，因此

$$V=5\ \mathrm{kN}$$

直到 $E$ 點。

在 $E$ 點受向下 $5\ \mathrm{kN}$ 反力後：

$$V_{E}=5-5=0$$

剪力圖關鍵值如下：

位置	剪力
$A^+$	$+10\ \mathrm{kN}$
$B$	$-10\ \mathrm{kN}$
$16^-$	$-10\ \mathrm{kN}$
$16^+$	$-15\ \mathrm{kN}$
$C^-$	$-15\ \mathrm{kN}$
$C^+$	$+5\ \mathrm{kN}$
$D^-$、$D^+$	$+5\ \mathrm{kN}$
$E^-$	$+5\ \mathrm{kN}$
$E$ 後	$0$

核心觀念

本題為「固定端—定向支承梁」的靜不定結構，採傾角變位法分析。

由圖示定向支承 B 可知：

• A 為固定端，因此 $\theta_A=0$。
• B 可沿鉛直方向移動，但不能轉動，因此 $\theta_B=0$。
• B 點無鉛直支承反力，外力 $P$ 直接由梁端剪力傳遞。
• $EI$ 為常數，梁長為 $L$。

設 B 點向下位移為 $\Delta_B$。

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解題方法：傾角變位法

1. 端彎矩方程式

對沒有跨中荷載的 $AB$ 梁段，傾角變位法之端彎矩式為

$$M_{AB} = \frac{2EI}{L} \left( 2\theta_A+\theta_B-\frac{3\Delta}{L} \right)$$ $$M_{BA} = \frac{2EI}{L} \left( 2\theta_B+\theta_A-\frac{3\Delta}{L} \right)$$

其中 $\Delta$ 為 B 端相對於 A 端的垂直位移。

因為

$$\theta_A=\theta_B=0$$

故端彎矩大小為

$$|M_{AB}|=|M_{BA}| = \frac{6EI}{L^2}\Delta_B$$

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2. 建立 B 點垂直力關係

定向支承 B 不提供鉛直反力，因此梁端剪力必須平衡集中載重 $P$。

由傾角變位法之剪力—位移關係：

$$P=\frac{12EI}{L^3}\Delta_B$$

因此

$$\Delta_B=\frac{PL^3}{12EI}$$

位移方向與外力 $P$ 相同，故 B 點向下位移為

$$\boxed{\Delta_B=\frac{PL^3}{12EI}\text{（向下）}}$$

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3. 計算端彎矩