113 地方特考離島四等 經建行政 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查二維次數分配表的邊際分配，以及期望值、變異數、共變異數與相關係數：

（一）餐廳品質評等分數 $X$

由列合計可得：

1. 計算 $E(X)$

2. 計算 $Var(X)$

先求 $E(X^2)$：

因此：

所以：

（二）餐點價格分數 $Y$

由欄合計可得：

1. 計算 $E(Y)$

2. 計算 $Var(Y)$

先求 $E(Y^2)$：

因此：

核心觀念

本題考查以卜瓦松分配近似二項分配。若每件產品為不良品的機率為 $p$，抽取 $n$ 件時，不良品件數 $X$ 原本服從二項分配 $B(n,p)$。當 $n$ 大、$p$ 小時，可用卜瓦松分配近似，參數為

解題方法

每 $1{,}000$ 件平均有 $1$ 件不良品，因此單件為不良品的機率為

樣本數為 $n=8{,}000$，故卜瓦松分配的參數為

因此以 $X\sim\operatorname{Poisson}(8)$ 近似。題目要算「少於 $10$ 件」，即 $X\leq 9$：

核心觀念

設 $X$ 為隨機抽出的 $200$ 位成年人中，有抽菸習慣的人數。每位成年人有抽菸習慣的機率為 $p=0.15$，未抽菸的機率為 $1-p=0.85$。在隨機抽樣且每人的抽菸狀況可視為相互獨立下，抽菸人數服從二項分配：

題目問「至少有 $35$ 位」，即求 $P(X\ge 35)$。

解題方法

二項分配的精確機率為：

此為長尾累加，採常態近似計算。二項分配的平均數與變異數為：

因 $n$ 夠大，且 $np=30$、$n(1-p)=170$ 均不小，可用常態分配近似二項分配。採連續性修正，「$X\ge 35$」改為常態變數 $Y$ 大於等於 $34.5$：

核心觀念

已知母體標準差 $\sigma$，母體平均數 $\mu$ 的 $99\%$ 信賴區間使用標準常態分配的臨界值 $z_{0.005}=2.576$：

信賴區間的中心是樣本平均數 $\bar{x}$，半寬則是誤差範圍 $E=z_{0.005}\sigma/\sqrt{n}$。

解題方法

題目給定信賴區間端點 $244.051$ 與 $255.949$。先取端點平均，求得區間中心：

再以區間端點之差求半寬：

將已知 $\sigma=12$ 及 $99\%$ 信賴水準的臨界值 $z_{0.005}=2.576$ 代入誤差範圍公式：

核心觀念

本題考查兩個獨立常態母體之：

1. 平均數差的 $95\%$ 信賴區間。
2. 兩母體變異數是否相等的雙尾 $F$ 檢定。
3. 兩母體平均數是否相等的雙尾兩樣本 $t$ 檢定。

設經濟學系為母體 1，統計學系為母體 2：

以下假設兩樣本相互獨立，且母體均為常態分布。

（一）兩學系平均起薪差異的 $95\%$ 信賴區間

由（二）之變異數檢定可知，兩母體變異數沒有顯著差異，因此採用等變異數的合併變異數法。

先計算合併樣本變異數：

因此：

平均數差的標準誤為：

自由度為：

查表得：

平均數差為：

故信賴區間為：

所以：

若以「統計學系減經濟學系」表示，則為：

解釋

以 $95\%$ 信賴水準估計，統計學系畢業生的平均月薪約比經濟學系高 $284.57$ 元至 $715.43$ 元。由於區間不包含 $0$，顯示兩學系平均起薪具有顯著差異。

（二）兩學系起薪變異數是否有顯著差異

1. 假設

令兩母體變異數分別為 $\sigma_1^2$、$\sigma_2^2$。

這是雙尾檢定。

2. 檢定統計量

為使 $F$ 值大於 $1$，以較大樣本變異數置於分子：

其自由度為：

3. 拒絕域

在 $\alpha=0.05$ 的雙尾檢定下，每尾面積為 $0.025$：