114 地方特考離島四等 經建行政類科 統計學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查類別資料的次數分配與百分比分配，並以長條圖呈現各評分類別的分布。評分等級是有順序的類別資料，應保留題目給定的順序：優（E）、非常好（V）、好（G）、一般（F）、差（P）。

百分比分配的計算公式為：

解題方法

先依評分等級統計 50 位乘客的評分次數，再將各類別次數除以 50，換算成百分比。

上述統計未涵蓋全部 50 筆評分，因此需依題目所列資料逐列核對：第一列 10 筆、第二列 10 筆、第三列 10 筆、第四列 10 筆、第五列 10 筆。逐筆計數結果為 E 19 次、V 23 次、G 5 次、F 1 次、P 2 次，合計 50 次。因此正確百分比分配如下：

核心觀念

本題考查列聯表中的條件機率與事件獨立性。

若已知事件 $A$ 已發生，事件 $B$ 的條件機率為：

兩事件 $A$、$B$ 獨立的判斷方式是：

也可在 $P(A)>0$ 時檢查 $P(B\mid A)=P(B)$。

解題方法

（一）全職學生中，本科為工程的機率

題目已限定學生打算全職攻讀 MBA，因此分母取「全職」列總計 $505$；其中本科為工程的學生有 $161$ 人，故：

因此，所求機率約為 $31.88\%$。

（二）事件 $A$ 與事件 $B$ 是否獨立

事件 $A$ 為打算全職攻讀 MBA，事件 $B$ 為本科專業是商業。由表中數據：

核心觀念

本題考常態分布下的標準化，以及標準常態分布的累積機率與分位數。

令 $X$ 表示國內大型股票基金的 3 年報酬率（以百分比表示），則題目給定：

標準化公式為：

其中，至少達到某報酬率的機率由標準常態右尾面積求得；躋身前 $10\%$ 則是求右尾機率為 $0.10$ 的第 $90$ 百分位數。

解題方法

（一）3 年報酬率至少達到 $20\%$ 的機率

先將 $20\%$ 標準化：

因此：

查標準常態分布表，$\Phi(1.27)\approx0.8980$，所以：

機率約為 $10.2\%$。

（二）躋身前 $10\%$ 所需的報酬率

核心觀念

本題考驗母體標準差已知時，單一母體平均數的左尾檢定。母體標準差 $\sigma=300$ 已知，且樣本數 $n=60$，因此以標準常態分配進行 $Z$ 檢定。樣本平均數記為 $\bar{x}$，母體平均數記為 $\mu$。

解題方法

題目要檢定中西部地區平均支出是否低於東北部的 $838$ 美元，因此設定：

計算檢定統計量時，以虛無假設的邊界值 $\mu_0=838$ 作為比較基準。顯著水準為 $\alpha=0.05$，左尾檢定的標準常態臨界值為 $z_{0.05}=-1.645$，故拒絕域為：

檢定統計量為：

核心觀念

本題考查成對樣本平均數差異的單尾 $t$ 檢定。每個航班都有本年度與上年度兩筆票價，兩筆資料屬於同一航班，彼此不是獨立樣本，因此應先計算各航班的票價差，再對差值進行單一樣本 $t$ 檢定。

令第 $i$ 個航班的票價差為

「平均價格上漲」表示母體平均差 $\mu_d$ 大於 $0$，故為右尾檢定。母體差值標準差未知，且樣本數為 $n=12$，使用自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。

解題方法與計算

依題目表格逐一配對，得到票價差：

設定假設：

其中 $H_0$ 表示平均票價沒有上漲；$H_1$ 表示本年度平均票價高於上年度。

差值總和為 $\sum d_i=276$，因此樣本平均差為

核心觀念

本題考多元迴歸方程式的預測，以及迴歸係數的解釋。估計迴歸式為

其中 $\hat{y}$ 是預測銷售額；$x_1$ 和 $x_2$ 分別是庫存投資與廣告支出。由於兩項投入金額與銷售額都以「仟美元」為單位，代入方程式時須先將美元換算為仟美元。

解題方法

(一) 預測銷售額

庫存投資 $15{,}000$ 美元等於 $15$ 仟美元；廣告支出 $10{,}000$ 美元等於 $10$ 仟美元。因此代入 $x_1=15$、$x_2=10$：

$\hat{y}$ 的單位也是仟美元，因此預測銷售額為 $255$ 仟美元，即 255,000 美元。

(二) 係數 10 與 8 的意義