114 地方特考離島四等 土木工程類科 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的支承反力與截面法。先以整體平衡求支承反力，再切開桁架，對截取的自由體列平衡方程式。桿件軸力以拉力為正；計算結果為負時，表示桿件受壓。

圖中底部各節點間距為 $3\ \mathrm{m}$；$N$ 點位於 $F$ 點正上方，距底弦 $4\ \mathrm{m}$。因此 $EN$ 的水平投影為 $3\ \mathrm{m}$、垂直投影為 $4\ \mathrm{m}$，其方向比為 $3:4:5$。

解題方法

1. 求支承垂直反力

以 $A$ 點為原點，四個向下載重分別作用於 $E,F,G,H$，距 $A$ 為 $12,15,18,21\ \mathrm{m}$。以逆時針為正，對整體取 $A$ 點力矩：

再列垂直力平衡：

2. 截取右側自由體，求 $MN$ 軸力

以截面切過 $EF$、$EN$、$MN$，取右側自由體。右側包含 $F,G,H,I$，受 $I_y=55\ \mathrm{kN}$ 向上反力，以及 $F,G,H$ 各 $20\ \mathrm{kN}$ 向下載重。

以 $E$ 點取矩，可消去通過 $E$ 點的 $EF$、$EN$ 軸力。$MN$ 與 $E$ 點的垂直距離為 $4\ \mathrm{m}$：

故 $MN$ 受壓，軸力大小為 $75\ \mathrm{kN}$。

3. 求 $EF$ 軸力

核心觀念

本題考多層受拉鋼筋的有效深度，以及以等值矩形壓力塊計算鋼筋混凝土梁的彎矩強度。有效深度 $d$ 是梁頂面至受拉鋼筋合力作用點的距離；各層鋼筋面積相同時，可用各層深度的加權平均求得。

依命題當年（民國 114 年）混凝土結構設計規範，矩形壓力塊深度為 $a=\beta_1 c$；本題 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta_1=0.85$。若最外側受拉鋼筋應變 $\varepsilon_t\ge 0.005$，彎矩強度折減係數 $\phi=0.90$。

解題方法

圖二梁寬為 $b=60\ \mathrm{cm}$。底層有 7 支 D32，鋼筋中心深度為 $83\ \mathrm{cm}$；第二層有 2 支 D32，深度為 $76\ \mathrm{cm}$。由於各支鋼筋面積相同，受拉鋼筋合力位置為：

受拉鋼筋總面積：

先以截面力平衡求壓力塊深度：

因 $\beta_1=0.85$，中性軸深度為：

最外側受拉鋼筋位於 $83\ \mathrm{cm}$ 深處，其應變為：

核心觀念

本題考查無剪力筋構件的混凝土剪力強度，以及剪力強度折減係數 $\phi$ 的使用。依題目指定的我國《混凝土結構設計規範》（112 年版），當 $A_v<A_{v,\min}$ 時，採用式 (c) 計算 $V_c$。

底層 D13 鋼筋是板的彎曲鋼筋，不是剪力筋，因此剪力筋面積 $A_v=0$，且 $V_s=0$。題目未提供軸力，取 $N_u=0$。以下以命題當年民國 114 年適用的規範計算。

解題方法

以 $1\ \mathrm{m}$ 寬板帶作為等效梁，幾何與材料資料為：

先換算每米寬的縱向鋼筋面積：

因此縱向鋼筋比為：

一般常重混凝土取 $\lambda=1.0$。尺寸效應係數為：

核心觀念

圖四為長 $18\text{ m}$ 的梁，左端為自由端；支承點 $A$、$B$ 分別位於距左端 $6\text{ m}$、$12\text{ m}$ 處。全梁承受向下線性增加的三角形分布載重，從左端的 $0$ 增至右端的 $20\text{ kN/m}$。

令 $x$ 自左端起算，則載重強度為

剪力圖滿足 $dV/dx=-w(x)$，彎矩圖滿足 $dM/dx=V(x)$。以下採正彎矩為撓曲（下凹）正號；負彎矩表示上凹。

解題方法與支承反力

三角形載重的合力為載重圖形面積：

合力作用點位於三角形較小端起算 $2/3$ 底長處，也就是距左端 $12\text{ m}$，恰在 $B$ 點。

以 $A$ 點取矩：

再由垂直力平衡：

因此 $A$ 點沒有剪力跳躍；$B$ 點則因 $180\text{ kN}$ 向上反力，剪力向上跳 $180\text{ kN}$。

剪力圖

由左端自由端 $V(0)=0$，對分布載重積分：

在 $B$ 點反力造成剪力跳躍，因此

主要剪力值如下：