115 國安局特考三等 數理組(選試英文) 機率統計 考古題詳解

115 年・國安局特考・三等・數理組(選試英文)
試題代碼 機率統計

第 一 題20 分

令隨機向量 (X,Y)(X,Y) 為一服從連續型均勻分配之隨機向量，其值域為 0<x<10<x<1、0<y<10<y<1、x+y<1x+y<1，請回答下列問題：

（一）(X,Y)(X,Y) 之聯合密度函數為何？

（二）P(X+Y=0.5)= ?P(X+Y=0.5)=\ ?

（三）P(X+Y<0.5)= ?P(X+Y<0.5)=\ ?

（四）在給定 Y=yY=y，0<y<10<y<1 時，XX 之條件期望值為何？

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核心觀念

本題考查二維連續型均勻分配的聯合密度、連續型隨機變數落在單一直線上的機率，以及條件期望值。

二維均勻分配在值域內的密度為常數；由總機率為 11，此常數等於值域面積的倒數。若 X,YX,Y 具有聯合密度 fX,Y(x,y)f_{X,Y}(x,y)，則邊際密度與條件密度分別為

fY(y)=∫−∞∞fX,Y(x,y) dx,fX∣Y(x∣y)=fX,Y(x,y)fY(y).f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx, \qquad f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.

條件期望值則為

E[X∣Y=y]=∫−∞∞xfX∣Y(x∣y) dx.E[X\mid Y=y]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx.

解題方法

值域是單位正方形中滿足 x+y<1x+y<1 的三角形。先求此三角形面積，得到聯合密度常數；再分別依據連續型機率與條件密度的定義計算。

（一）聯合密度函數

值域可寫為 0<x<10<x<1、0<y<1−x0<y<1-x，其面積為

∫01(1−x) dx=12.\int_0^1(1-x)\,dx=\frac12.

均勻分配的密度在值域內為常數 cc，且總機率須為 11，因此

c⋅12=1⟹c=2.c\cdot\frac12=1 \quad\Longrightarrow\quad c=2.

故聯合密度函數為

fX,Y(x,y)={2,0<x<1, 0<y<1, x+y<1,0,其他情形.f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 2, & 0<x<1,\ 0<y<1,\ x+y<1,\\ 0, & \text{其他情形}. \end{cases}

（二）P(X+Y=0.5)P(X+Y=0.5)

事件 X+Y=0.5X+Y=0.5 是平面上的一條線段，面積為 00。對連續型二維隨機向量，機率由聯合密度在事件區域上的二重積分給出；零面積集合的積分為 00。因此

P(X+Y=0.5)=0.P(X+Y=0.5)=0.

（三）P(X+Y<0.5)P(X+Y<0.5)

在原值域內，X+Y<0.5X+Y<0.5 對應第一象限中由 x=0x=0、y=0y=0、x+y=0.5x+y=0.5 圍成的三角形，其面積為

12(0.5)(0.5)=18.\frac12(0.5)(0.5)=\frac18.

聯合密度在此區域為 22，故

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第 二 題30 分

某集團為評估是否要於甲市中再設立一處大賣場，計劃先評估甲市內家戶之消費能力。若家戶平均每月可支配所得超過新臺幣 10 萬元，則可進一步考慮設立新的大賣場。

為此該集團進行了一項調查，本調查以簡單隨機方式於甲市選擇了 500 份家戶樣本，詢問樣本家戶之每月可支配所得。所得樣本平均為 10.5 萬元，樣本變異數為 125 萬元平方。請回答下列問題：

（一）請以一組樣本之 tt 檢定，在 95% 之信心水準下，判斷該集團是否需進一步評估在甲市設立另一處大賣場，請敘明適當之虛無及對立假設。

（二）如果該市之家戶平均每月可支配所得確實已達新臺幣 10.5 萬元，請問（一）之檢定之型二誤差機率為何？如何解釋此一型二誤差？

（三）某人進一步檢視這 500 筆資料，發現正如一般的所得資料常見之情形，樣本資料呈現右偏，但一組樣本之 tt 檢定假設母體為常態，因此質疑在此使用本檢定是否合宜。但執行調查單位解釋，因為樣本數足夠大，所以還是可以使用一組樣本之 tt 檢定，請解釋執行單位此一說明之理論依據。

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核心觀念

本題考單一母體平均數的單一樣本 tt 檢定，以及型二誤差的計算與中央極限定理的適用。母體變異數未知時，以樣本標準差估計，檢定統計量為

T=Xˉ−μ0S/n,T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n},

在母體常態的假設下，虛無假設成立時 TT 服從自由度 n−1n-1 的 tt 分配。

集團要判斷平均所得是否「超過」10 萬元，因此應採右尾檢定。

（一）單一樣本 tt 檢定

令 μ\mu 為甲市家戶平均每月可支配所得（單位：萬元），設定

H0:μ≤10,H1:μ>10.H_0:\mu\le 10,\qquad H_1:\mu>10.

計算樣本標準差與標準誤：

S=125≈11.180,SE=S500=125500=0.5.S=\sqrt{125}\approx 11.180,\qquad SE=\frac{S}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{125}{500}}=0.5.

檢定統計量為

t=10.5−100.5=1.00,df=500−1=499.t=\frac{10.5-10}{0.5}=1.00,\qquad df=500-1=499.

在顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 下，右尾臨界值約為 t0.95,499≈1.648t_{0.95,499}\approx1.648。由於 1.00<1.6481.00<1.648，不拒絕虛無假設；等價地，右尾 pp 值約為 0.1590.159，大於 0.050.05。

因此，在 95% 信心水準下，沒有足夠證據認定甲市家戶平均月所得超過 10 萬元。依題意，集團不因這項檢定結果而進一步考慮設立新大賣場。

（二）型二誤差機率與解釋

型二誤差是指母體平均數確實大於 10 萬元，卻未拒絕虛無假設。題目指定真實平均數為 10.510.5 萬元，並沿用（一）的檢定及其樣本標準差估計 S=125S=\sqrt{125}。

（一）的拒絕域為

T>t0.95,499≈1.648.T>t_{0.95,499}\approx1.648.

當真實平均數 μ=10.5\mu=10.5 時，統計量具有非中央 tt 分配，其非中央參數為

λ=μ−μ0σ/n≈10.5−10125/500=1.\lambda=\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} \approx\frac{10.5-10}{\sqrt{125}/\sqrt{500}} =1.

以（一）所給樣本標準差估計母體標準差，型二誤差機率約為

β=P(T≤1.648∣μ=10.5)≈0.74.\beta=P(T\le 1.648\mid \mu=10.5)\approx0.74.

亦可用大樣本常態近似理解：在真實平均數為 10.510.5 時，樣本平均數的標準誤約為 0.50.5，檢定門檻約為 10+1.648(0.5)=10.82410+1.648(0.5)=10.824，故

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第 三 題10 分

為分析家庭收入狀況，某鎮公所蒐集了 200 筆家庭收入資料，繪製直方圖如下：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請回答下列問題：

（一）這 200 筆資料之樣本平均數及樣本中位數之大小關係為何？請說明理由。

（二）樣本平均數及樣本中位數中，何者在此一狀況下比較適合用以描述資料之位置或整體水準？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查樣本平均數、樣本中位數與偏態分布的關係。

  • 樣本平均數： xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i 會受到極端值影響。
  • 樣本中位數：將資料由小到大排列後，位於中央位置的數值。本題有 n=200n=200 筆資料，因此中位數為第 100100 筆與第 101101 筆資料平均： Median=x(100)+x(101)2\text{Median}=\frac{x_{(100)}+x_{(101)}}{2}

直方圖中資料主要集中於較低收入區間，右側延伸至較高收入，呈現「右偏」或「正偏」分布。

（一）樣本平均數與樣本中位數的大小關係

直方圖顯示：

  • 大多數家庭收入集中在 00 至 22 附近；
  • 右側仍有少數收入較高的資料，延伸至約 88；
  • 因此分布具有右尾，屬於右偏分布。

右側的少數高收入資料會明顯拉高樣本平均數，但對樣本中位數的影響較小。因此在此分布下：

樣本平均數>樣本中位數\boxed{\text{樣本平均數}>\text{樣本中位數}}

也就是：

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第 四 題25 分

為分析作物產量與化肥用量的關係，蒐集了 10 筆稻田資料，記錄其每公畝稻米產量及化肥用量如下：

稻米產量（公斤）54786090579657758172
化肥用量（公斤）44611774557

樣本統計量為：

統計量稻米產量（公斤）化肥用量（公斤）
樣本平均726
樣本變異數2164.67
相關係數\multicolumn{2}{c}{0.4935}

若欲配置一簡單線性迴歸模型，以化肥用量為解釋變數，稻米產量為反應變數，請回答下列問題：

（一）寫出此一線性模型中之斜率及截距之最小平方法估計值，並解釋其含意。

（二）寫出此一線性模型之變異數分析表如下格式：

變異來源平方和（SS）自由度（df）均方（MS）FF
迴歸
殘差
總和

（三）請問在 95% 信心水準下，化肥用量是否為稻米產量之顯著解釋變數？

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核心觀念

本題考查一元簡單線性迴歸：

Yi=β0+β1Xi+εiY_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i

其中：

  • XX：化肥用量
  • YY：稻米產量
  • β0\beta_0：母體截距
  • β1\beta_1：母體斜率

最小平方法估計式為：

β^1=SxySxx=rsysx\hat{\beta}_1 =\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =r\frac{s_y}{s_x} β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}

（一）斜率與截距之最小平方法估計值

由原始資料可得：

Sxx=∑i=110(Xi−Xˉ)2=(n−1)sX2=9(4.67)≈42S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2 =(n-1)s_X^2=9(4.67)\approx42 Syy=(n−1)sY2=9(216)=1944S_{yy}=(n-1)s_Y^2=9(216)=1944

由相關係數 r=0.4935r=0.4935，可得：

Sxy=rSxxSyy≈141S_{xy}=r\sqrt{S_{xx}S_{yy}} \approx141

因此斜率估計值為：

β^1=SxySxx=14142≈3.357\hat{\beta}_1 =\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{141}{42} \approx3.357

截距估計值為：

β^0=Yˉ−β^1Xˉ=72−(3.357)(6)≈51.857\hat{\beta}_0 =\bar Y-\hat{\beta}_1\bar X =72-(3.357)(6) \approx51.857

所以迴歸方程式為：

Y^=51.857+3.357X\boxed{\hat Y=51.857+3.357X}

參數意義

  • 斜率 β^1=3.357\hat{\beta}_1=3.357：化肥用量每增加 11 公斤，每公畝稻米的預測產量平均增加約 3.3573.357 公斤。
  • 截距 β^0=51.857\hat{\beta}_0=51.857：當化肥用量為 00 公斤時，模型預測每公畝稻米產量約為 51.85751.857 公斤。此數值屬於模型之外插或內插意義，是否具有實際農業意義仍須視資料範圍判斷。

（二）變異數分析表

1. 總平方和

SST=Syy=1944SST=S_{yy}=1944

2. 迴歸平方和

SSR=Sxy2Sxx=141242≈473.357SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} =\frac{141^2}{42} \approx473.357

也可利用相關係數表示：

SSR=r2SST=(0.4935)2(1944)≈473.4SSR=r^2SST =(0.4935)^2(1944) \approx473.4

3. 殘差平方和

SSE=SST−SSR=1944−473.357≈1470.643SSE=SST-SSR =1944-473.357 \approx1470.643

4. 自由度與均方

樣本數 n=10n=10，簡單線性迴歸含有截距與一個解釋變數，因此：

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第 五 題15 分

一組獨立且分配一致之隨機變數 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n，XiX_i 服從伽瑪分布，記為 Xi∼Γ(a,b)X_i\sim\Gamma(a,b)，其密度函數如下：

f(xi)=xia−1exp⁡(−xi/b)baΓ(a),xi>0f(x_i)=\frac{x_i^{a-1}\exp(-x_i/b)}{b^a\Gamma(a)},\qquad x_i>0

其中 a>0a>0、b>0b>0 為本分布之參數。已知 XiX_i 之期望值及變異數分別為

E(Xi)=abE(X_i)=ab

及

var⁡(Xi)=ab2\operatorname{var}(X_i)=ab^2

令 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 之樣本平均及樣本變異數分別為

X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i

及

S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2

請回答下列問題：

（一）請以動差估計法利用 X‾\overline{X} 及 S2S^2 估計參數 aa 及 bb。

（二）請敘述動差估計法之優點。

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核心觀念

動差估計法是將母體的理論動差與樣本動差相等，再解出未知參數。本題的伽瑪分布有兩個未知參數 a,ba,b，因此使用兩個動差方程式。

題目提供的母體平均數與變異數為

E(Xi)=ab,var⁡(Xi)=ab2.E(X_i)=ab,\qquad \operatorname{var}(X_i)=ab^2.

樣本平均 X‾\overline{X} 是母體平均數的樣本對應量；題目定義的樣本變異數 S2S^2 是母體變異數的樣本對應量。

解題方法

將兩個樣本動差分別與母體理論動差相等：

X‾=ab,S2=ab2.\overline{X}=ab,\qquad S^2=ab^2.

由第一式得

a=X‾b.a=\frac{\overline{X}}{b}.

代入第二式：

S2=X‾bb2=X‾b,S^2=\frac{\overline{X}}{b}b^2=\overline{X}b,

所以

b^MM=S2X‾.\widehat{b}_{\mathrm{MM}}=\frac{S^2}{\overline{X}}.

再代回 X‾=ab\overline{X}=ab，得到

a^MM=X‾b^MM=X‾ 2S2.\widehat{a}_{\mathrm{MM}} =\frac{\overline{X}}{\widehat{b}_{\mathrm{MM}}} =\frac{\overline{X}^{\,2}}{S^2}.

因此，aa 與 bb 的動差估計量分別為

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