114 國安局特考三等 數理組(選試英文) 機率統計 考古題詳解

核心觀念

本題考查聯合機率質量函數的正規化條件與邊際機率質量函數。

• 聯合機率質量函數的總和必須為 $1$： $\sum_x\sum_y P_{X,Y}(x,y)=1.$
• 由聯合機率質量函數求邊際機率質量函數時，將另一個變數的所有可能值加總： $P_X(x)=\sum_y P_{X,Y}(x,y),\qquad P_Y(y)=\sum_x P_{X,Y}(x,y).$
• 本題會用到指數函數的冪級數展開： $e^a=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}.$

解題方法與推導

（一）求常數 $k$

由正規化條件，

因此

（二）求 $X$ 的邊際機率質量函數 $P_X(x)$

固定 $x$，對 $y=0,1,2,\ldots$ 加總：

核心觀念

這題考「卜瓦松分配的稀釋性」：卵的總數服從卜瓦松分配，而每個卵又獨立地以機率 $p$ 存活。若卵數 $N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，存活卵數記為 $X$，則 $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda p)$。因此，存活卵數的平均值為 $\lambda p$，而沒有卵存活的機率為 $e^{-\lambda p}$。

解題方法

設產卵數 $N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$。給定產下 $n$ 個卵時，存活卵數 $X\mid N=n\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$。

（一）求平均存活數

利用條件期望：

所以平均有 $\lambda p$ 個卵存活。

（二）求沒有任何卵存活的機率

給定產下 $n$ 個卵，每個卵都不存活的機率是 $1-p$，且各卵存活情形彼此獨立，因此：

核心觀念

本題考驗母體變異數 $\sigma^2$ 的估計與推論。若樣本來自常態母體，則樣本變異數

是不偏估計量；且

因此，變異數的假設檢定與信賴區間皆使用卡方分配。本題樣本數 $n=13$，自由度為 $12$。

解題方法

先計算樣本平均數與離均差平方和。觀測值總和為 $182$，平方和為 $2{,}874$，故

（一）$\sigma^2$ 的不偏估計

以自由度 $n-1$ 為分母計算樣本變異數：

因此，$\sigma^2$ 的不偏點估計為 $\boxed{27.167}$。

（二）檢定 $\sigma^2$ 是否等於 $20$

採用雙尾卡方檢定：

在 $H_0$ 成立時，檢定統計量為

且服從自由度 $12$ 的卡方分配。題目未指定顯著水準，依慣例取 $\alpha=0.05$。自由度 $12$ 的臨界值為

核心觀念

本題考簡單線性迴歸的最小平方法估計、誤差變異估計，以及在給定 $X$ 值時的平均反應信賴區間。斜率、截距與誤差平方和可由題目提供的離均差平方和直接計算。

解題方法

（一）估計 $\beta_0$ 與 $\beta_1$

OLS 斜率估計量為

截距估計量為

因此，估計迴歸式為

（二）求 SSE 與 MSE

簡單線性迴歸的誤差平方和為

模型估計了截距與斜率兩個參數，因此殘差自由度為 $n-2=10$，均方誤差為

（三）$X=110$ 時的預測值及其 $95\%$ 信賴區間

點預測值為

題目所述「預測 $Y$ 值及其信賴區間」依迴歸分析慣例，以下計算 $X=110$ 時平均反應 $E(Y\mid X=110)$ 的 $95\%$ 信賴區間。其標準誤為