114 國安局特考三等 數理組(選試英文) 線性代數 考古題詳解

核心觀念

本題考高斯消去法：對增廣矩陣施行初等列運算，將係數矩陣化為階梯形矩陣，再由簡化後的方程式判斷主變數與自由變數。

初等列運算包括：交換兩列、以非零常數乘一列，以及將一列加上另一列的倍數。這些運算不會改變方程組的解集合。

解題方法

先將方程組寫成增廣矩陣：

$$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1&1&-1&1&1&1\\ 2&-1&3&-1&1&2\\ 3&2&-1&2&3&4 \end{array} \right].$$

先消去第二、三列的 $x_1$ 項：

$$\begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-2R_1,\\ R_3&\leftarrow R_3-3R_1, \end{aligned} \qquad \left[ \begin{array}{ccccc|c} 1&1&-1&1&1&1\\ 0&-3&5&-3&-1&0\\ 0&-1&2&-1&0&1 \end{array} \right].$$

交換第二、三列，並以第三列消去第二列的 $x_2$ 項：

$$R_2\leftrightarrow R_3,\qquad R_3\leftarrow R_3-3R_2,$$

得到

$$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1&1&-1&1&1&1\\ 0&-1&2&-1&0&1\\ 0&0&-1&0&-1&-3 \end{array} \right].$$

接著將第三列乘以 $-1$，再消去第二列的 $x_3$ 項：

$$R_3\leftarrow -R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,$$

所以

核心觀念

線性變換相對於有序基底的矩陣，第 $j$ 欄是該變換作用在第 $j$ 個基底向量後，再以同一組基底表示所得的座標向量。

若 $C$ 的第 $j$ 欄是第 $j$ 個 $\beta$ 基底向量以 $\gamma$ 表示的座標，則

$$[v]_{\gamma}=C[v]_{\beta}, \qquad [T]_{\beta}=C^{-1}[T]_{\gamma}C。$$

解題方法

先計算 $T$ 作用在標準基底 $\beta=\{1,x,x^2\}$ 上的結果，得到 $[T]_{\beta}$。接著計算 $T$ 作用在 $\gamma$ 的基底向量上，並將結果改寫成 $\gamma$ 座標，以得到 $[T]_{\gamma}$。最後依題目給定的相似關係，建立由 $\beta$ 座標轉成 $\gamma$ 座標的矩陣 $C$。

（一）計算 $[T]_{\beta}$ 與 $[T]_{\gamma}$

對 $\beta$ 的基底向量分別計算：

$$T(1)=1,$$ $$T(x)=(x+1)\cdot 1+(x+2)=2x+3,$$ $$\begin{aligned} T(x^2) &=(x+1)\cdot 2x+(x+2)^2\\ &=2x^2+2x+x^2+4x+4\\ &=3x^2+6x+4。 \end{aligned}$$

以 $\beta=\{1,x,x^2\}$ 表示，三個結果的座標分別為

$$[T(1)]_{\beta}= \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad [T(x)]_{\beta}= \begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix},\quad [T(x^2)]_{\beta}= \begin{bmatrix}4\\6\\3\end{bmatrix}。$$

因此

$$[T]_{\beta}= \begin{bmatrix} 1&3&4\\ 0&2&6\\ 0&0&3 \end{bmatrix}。$$

再計算 $\gamma=\{x-1,x+1,x^2-x\}$ 的基底向量在 $T$ 下的像：

$$T(x-1)=T(x)-T(1)=2x+2,$$ $$T(x+1)=T(x)+T(1)=2x+4,$$ $$T(x^2-x)=T(x^2)-T(x)=3x^2+4x+1。$$

設任意多項式的 $\gamma$ 座標為 $(a,b,c)^{\mathsf T}$，則

$$a(x-1)+b(x+1)+c(x^2-x) =cx^2+(a+b-c)x+(-a+b)。$$

因此：

$$2x+2=0(x-1)+2(x+1)+0(x^2-x),$$ $$2x+4=-(x-1)+3(x+1)+0(x^2-x),$$ $$3x^2+4x+1=3(x-1)+4(x+1)+3(x^2-x)。$$

三個像的 $\gamma$ 座標依序為

$$\begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}-1\\3\\0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}3\\4\\3\end{bmatrix}。$$

故

核心觀念

矩陣 $A$ 若為實對稱矩陣，依譜定理可由一組互相正交的單位特徵向量組成正交矩陣 $P$，使

$$P^{-1}AP=P^{T}AP=D,$$

其中 $D$ 為對角矩陣。$P$ 的各欄是 $A$ 的單位特徵向量，對角線上的元素則是對應的特徵值。

解題方法

先求特徵值。特徵多項式為

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &= \begin{vmatrix} \lambda&-1&-1\\ -1&\lambda-3&-1\\ -1&-1&\lambda \end{vmatrix}\\ &=\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda+1\\ &=(\lambda+1)(\lambda^2-4\lambda+1). \end{aligned}$$

因此特徵值為

$$\lambda_1=-1,\qquad \lambda_2=2+\sqrt3,\qquad \lambda_3=2-\sqrt3.$$

分別求特徵向量。

當 $\lambda_1=-1$ 時，解 $(A+I)x=0$，可取特徵向量

$$v_1= \begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

其長度為 $\sqrt2$，故單位特徵向量為

$$u_1=\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} -1\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

對另外兩個特徵值，特徵向量可取 $v=(1,\lambda-1,1)^T$。代入可得：

$$v_2= \begin{bmatrix} 1\\1+\sqrt3\\1 \end{bmatrix} \quad(\lambda_2=2+\sqrt3), \qquad v_3= \begin{bmatrix} 1\\1-\sqrt3\\1 \end{bmatrix} \quad(\lambda_3=2-\sqrt3).$$

兩者長度分別為 $\sqrt{6+2\sqrt3}$ 與 $\sqrt{6-2\sqrt3}$，因此

核心觀念

本題考查子空間的基底與格拉姆－施密特正交化法。對線性獨立向量 $v_1,v_2,v_3$，依序定義

$$u_1=v_1,\qquad u_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k,u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle}u_j \quad (k=2,3).$$

所得非零向量 $u_1,u_2,u_3$ 彼此正交，且張成空間與原向量相同。本題採用 $\mathbb R^4$ 的標準內積。

解題方法

由條件

$$x_1+2x_2+3x_3+x_4=0$$

可令 $x_2=s,\ x_3=t,\ x_4=r$，則 $x_1=-2s-3t-r$。因此

$$(x_1,x_2,x_3,x_4) =s(-2,1,0,0)+t(-3,0,1,0)+r(-1,0,0,1).$$

故可取 $W$ 的一組基底

$$v_1=(-2,1,0,0),\qquad v_2=(-3,0,1,0),\qquad v_3=(-1,0,0,1).$$

這三個向量線性獨立，且任一向量都符合 $W$ 的線性條件。對它們施行格拉姆－施密特法。

先取

$$u_1=v_1=(-2,1,0,0),\qquad \langle u_1,u_1\rangle=5.$$

第二個向量扣除其在 $u_1$ 上的投影：

$$\langle v_2,u_1\rangle=6,$$ $$u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 =v_2-\frac65u_1 =\left(-\frac35,-\frac65,1,0\right).$$

為方便書寫，可將 $u_2$ 乘以 $5$，取

$$u_2=(-3,-6,5,0).$$

非零倍數不改變向量所張成的方向。

核心觀念

向量組的張成空間，是由該組向量所有線性組合構成的集合。若兩組向量能互相用對方的線性組合表示，則它們的張成空間相同。

本題也可視為比較兩組向量的係數矩陣是否可逆。若係數矩陣可逆，每一組向量都能由另一組線性組合表示，因此兩組張成空間相同。

解題方法

令

$$u_1=v_1-2v_2,\qquad u_2=2v_1+3v_2,$$

以及

$$w_1=v_1+v_2,\qquad w_2=2v_1-v_2.$$

先將 $u_1,u_2$ 表示成 $w_1,w_2$ 的線性組合：

$$\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&1\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}.$$

也就是

$$u_1=-w_1+w_2,\qquad u_2=w_1+2w_2.$$

因此 $\operatorname{span}\{u_1,u_2\}\subseteq\operatorname{span}\{w_1,w_2\}$。