108 國安局特考三等 電子組(選試英文) 工程數學 考古題詳解

核心觀念

1. 二階常係數齊次線性微分方程式： 將自伴算子（Sturm-Liouville）形式的微分方程展開並消去共同指數因子 $e^{-2x}$ 後，可化為標準常係數常微分方程式（ODE）： $ay'' + by' + cy = 0$ 利用特徵方程式 $ar^2 + br + c = 0$ 的根（實根、重根或共軛複根）建立通解結構。
2. 邊界值問題（Boundary Value Problem, BVP）與特徵值問題： 探討在齊次邊界條件 $y(0) = 0$ 與 $y(1) = 0$ 下，使系統存在非零解（Non-trivial solution）​的參數 $\lambda$（稱為特徵值，Eigenvalue），以及所對應的非零解 $y(x)$（稱為特徵函數，Eigenfunction）。
3. Sturm-Liouville 系統： 本題原式為正規的 Sturm-Liouville 形式 $\left(p(x)y'\right)' + (q(x) + \lambda w(x))y = 0$，其中權重函數 $w(x) = e^{-2x} > 0$。依定理可知其特徵值必為實數，且其對應的特徵函數系具備正交性。

解題方法

步驟一：展開並化簡微分方程式

原方程式為： $\left(e^{-2x}y'\right)' + (1+\lambda)e^{-2x}y = 0$

利用乘積微分律展開左式第一項： $\left(e^{-2x}y'\right)' = -2e^{-2x}y' + e^{-2x}y''$

代回原式可得： $e^{-2x}y'' - 2e^{-2x}y' + (1+\lambda)e^{-2x}y = 0$

由於對任意實數 $x$，指數函數 $e^{-2x} \neq 0$，等式兩邊同除以 $e^{-2x}$： $y'' - 2y' + (1+\lambda)y = 0$

步驟二：求微分方程式之特徵根與通解

設 $y = e^{rx}$，代入得其輔助方程式（特徵方程式）： $r^2 - 2r + (1+\lambda) = 0$

利用一元二次方程式公式解求根： $r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1+\lambda)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4\lambda}}{2} = 1 \pm \sqrt{-\lambda}$

步驟三：討論判別式並配合邊界條件求解

為使齊次邊界值問題具備非零解，依 $\lambda$ 的正負分為三種情形討論：

1. 當 $\lambda < 0$ 時： 令 $\lambda = -\mu^2$（其中 $\mu > 0$），則 $\sqrt{-\lambda} = \mu$。 特徵根為相異實根：$r = 1 \pm \mu$。 通解為： $y(x) = c_1 e^{(1+\mu)x} + c_2 e^{(1-\mu)x} = e^x \left( c_1 e^{\mu x} + c_2 e^{-\mu x} \right)$ 代入邊界條件：

• $y(0) = c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = -c_1$
• $y(1) = e^1 c_1 \left( e^{\mu} - e^{-\mu} \right) = 2e c_1 \sinh(\mu) = 0$

因 $\mu > 0$，故 $\sinh(\mu) \neq 0$，必得 $c_1 = 0$，隨之 $c_2 = 0$。 此時僅有顯然解 $y(x) \equiv 0$，無特徵值。

2. 當 $\lambda = 0$ 時： 特徵根為重根：$r = 1, 1$。 通解為： $y(x) = (c_1 + c_2 x)e^x$ 代入邊界條件：

• $y(0) = c_1 e^0 = c_1 = 0$
• $y(1) = c_2 (1) e^1 = 0 \implies c_2 = 0$

核心觀念

本題旨在考查無限域一維波動方程式（1D Wave Equation on an Infinite Domain）的初值問題求解，主要涉及以下數學理論與工具：

1. 偏微分方程式之分離變數法（Separation of Variables）：在無限域（$-\infty < x < \infty$）且要求解答有界（bounded）的物理條件下，分離常數必須取負值 $-\omega^2$（$\omega > 0$），得到連續頻譜的空間與時間簡諧振盪基底解。
2. 連續疊加原理（Continuous Superposition）：由於空間無邊界限制，固有值（頻率 $\omega$）為連續分佈，通解由對全頻域積分形式呈現，而非有限區間的傅立葉級數和。
3. 傅立葉積分定理（Fourier Integral Theorem）：任意滿足絕對可積與狄利克雷條件（Dirichlet conditions）的函數 $g(x)$，在實數全域上可唯一展開為傅立葉餘弦與正弦積分： $g(x) = \int_0^\infty [A(\omega)\cos(\omega x) + B(\omega)\sin(\omega x)]\,d\omega$ 其中： $A(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(\xi)\cos(\omega\xi)\,d\xi,\qquad B(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(\xi)\sin(\omega\xi)\,d\xi$

解題方法

本題為標準的偏微分方程式推導題，求解步驟分為四個階段：

步驟一：分離變數法

設解形式為空間與時間函數之乘積： $y(x,t) = X(x)T(t)$

將其代入波動方程式 $\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = \frac{\partial^2y}{\partial x^2}$，兩邊同除以 $X(x)T(t)$： $\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{T(t)} = k \quad (\text{常數})$

若 $k > 0$ 或 $k = 0$，空間解 $X(x)$ 將包含指數發散項或線性成長項，在 $-\infty < x < \infty$ 無法滿足物理有界性要求。因此分離常數必為負值，設 $k = -\omega^2$（其中 $\omega > 0$）。

可拆分為兩個常微分方程式： $X''(x) + \omega^2 X(x) = 0 \implies X(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$ $T''(t) + \omega^2 T(t) = 0 \implies T(t) = C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t)$

步驟二：套用初始位移條件

由題目給定初始位移條件 $y(x,0) = 0$： $y(x,0) = X(x)T(0) = 0 \implies T(0) = 0$

將 $t = 0$ 代入 $T(t)$： $T(0) = C\cos(0) + D\sin(0) = C = 0$

因此時間部分簡化為： $T(t) = D\sin(\omega t)$

單一頻率 $\omega$ 的特解可寫為（將常數 $D$ 併入空間振幅係數中）： $y_\omega(x,t) = \left[a_\omega\cos(\omega x) + b_\omega\sin(\omega x)\right]\sin(\omega t)$

步驟三：由連續疊加原理建立積分通解

因為區間為無限域 $-\infty < x < \infty$，固有值 $\omega$ 為連續變數（$\omega \in (0, \infty)$）。由疊加原理，整體解答為所有頻率成分對 $\omega$ 的連續積分： $y(x,t) = \int_0^\infty \left[a_\omega\cos(\omega x) + b_\omega\sin(\omega x)\right]\sin(\omega t)\,d\omega$

步驟四：套用初始速度條件求係數

對解答 $y(x,t)$ 關於時間 $t$ 偏微分： $\frac{\partial y}{\partial t}(x,t) = \int_0^\infty \omega\left[a_\omega\cos(\omega x) + b_\omega\sin(\omega x)\right]\cos(\omega t)\,d\omega$

核心觀念

1. 反矩陣（Inverse Matrix）之存在條件： 若方陣 $A$ 為非奇異矩陣（Non-singular Matrix），即行列式值 $\det(A) \neq 0$（或記為 $|A| \neq 0$），則 $A$ 之反矩陣 $A^{-1}$ 存在，且滿足： $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ 其中 $I$ 為同階之單位矩陣（Identity Matrix）。

2. 古典伴隨矩陣法（Adjugate Matrix Method）： 求取 $3 \times 3$ 矩陣之反矩陣，最常用且不易受分數運算干擾的方法為伴隨矩陣公式： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$

• 餘因子（Cofactor）：$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 為去除第 $i$ 列與第 $j$ 行後所剩餘之 $2 \times 2$ 子行列式值（Minor）。
• 伴隨矩陣（Adjugate Matrix）：為餘因子矩陣 $C = [C_{ij}]$ 的轉置矩陣（Transpose）： $\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$

3. 高斯－喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination）： 透過基本列運算（Elementary Row Operations），將增廣矩陣 $[A \mid I]$ 化簡為簡約列梯標式（RREF）： $[A \mid I] \xrightarrow{\text{列運算}} [I \mid A^{-1}]$

解題方法

本題採用考場上計算最穩健、步驟最清晰的「伴隨矩陣法」進行推導。

步驟一：計算矩陣之行列式值 $\det(A)$

沿第 1 列進行拉普拉斯展開（Laplace Expansion）：

分別計算各 $2 \times 2$ 行列式：

• $\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 8 & -5 \end{vmatrix} = (3)(-5) - (-3)(8) = -15 + 24 = 9$
• $\begin{vmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (6)(-5) - (-3)(2) = -30 + 6 = -24$
• $\begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = (6)(8) - (3)(2) = 48 - 6 = 42$

代回行列式展開式：

因 $\det(A) = 162 \neq 0$，故 $A$ 為非奇異矩陣，$A^{-1}$ 確定存在。

步驟二：計算各元素之餘因子 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

• 第 1 列元素對應之餘因子： $C_{11} = + \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 8 & -5 \end{vmatrix} = 9$ $C_{12} = - \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = -(-24) = 24$ $C_{13} = + \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 42$

• 第 2 列元素對應之餘因子： $C_{21} = - \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 8 & -5 \end{vmatrix} = -[ (4)(-5) - (2)(8) ] = -(-20 - 16) = 36$ $C_{22} = + \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (-2)(-5) - (2)(2) = 10 - 4 = 6$ $C_{23} = - \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = -[ (-2)(8) - (4)(2) ] = -(-16 - 8) = 24$

• 第 3 列元素對應之餘因子：

核心觀念

本題考向量的內積、外積與範數性質。外積 $\mathbf{v}\times\mathbf{u}$ 垂直於 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$；內積則可用來判斷兩向量是否垂直。此外，範數滿足三角不等式：

等號只在兩向量方向相同或其中一者為零向量時成立。

解題方法

先利用外積的垂直性判斷選項 (A)，再以一般向量的反例檢驗其餘選項是否能對所有向量成立。題目未指定特定向量，因此選項若使用嚴格不等號或等號，就必須符合一般情況，而不能只在特殊情況成立。

選項分析

(A) $\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{u})=0$：正確。

$\mathbf{v}\times\mathbf{u}$ 垂直於 $\mathbf{u}$，因此兩者內積為零：

若 $\mathbf{v}$ 與 $\mathbf{u}$ 平行，外積為零向量，等式仍成立。

(B) $\lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert<\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert$：錯誤。

此嚴格不等式不一定成立。取 $\mathbf{v}=-\mathbf{u}$ 且 $\mathbf{u}\neq\mathbf{0}$，則

核心觀念

子空間是向量空間的子集合，必須符合三項條件：

1. 包含零向量。
2. 對向量加法封閉。
3. 對純量乘法封閉。

本題的環境是 $\mathbb{R}^3$，因此選項所描述的集合也必須是 $\mathbb{R}^3$ 的子集合，且符合上述條件。

解題方法

先檢查集合中的向量是否有三個分量，再代入參數值檢驗零向量，並觀察集合是否由齊次線性條件描述。若集合由 $x_3=x_1-2x_2$ 這類齊次線性關係描述，便可寫成向量的線性組合，進而確認子空間性。

選項分析

(A) 錯誤。 集合中的向量第三分量固定為 $1$，所以零向量 $(0,0,0)$ 不在集合內。子空間必須包含零向量，因此不是子空間。

(B) 錯誤。 每個向量有四個分量 $(x_1,x_2,x_1,x_2)$，屬於 $\mathbb{R}^4$，不是 $\mathbb{R}^3$ 的子集合，因此不符合題目所問。

核心觀念

行列式的列運算會影響其值：某一列乘以常數 $k$，行列式也乘以 $k$；某一列加上另一列的倍數，行列式值不變。題目給定原行列式為 $5$，可將新行列式的三列表示成原行列式各列的線性組合。

解題方法

令原行列式的三列依序為 $A=(a_1,a_2,a_3)$、$B=(b_1,b_2,b_3)$、$C_0=(c_1,c_2,c_3)$。題目中的新行列式三列分別是

利用行列式對各列的線性性展開：

第二項的第二列與第三列皆為 $B$ 的倍數，因此兩列成比例，行列式為 $0$。第一項再對第一列展開：

核心觀念

矩陣 $A$ 的零空間是所有滿足 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的向量所構成的集合。若 $A$ 有 $n$ 個欄，則由秩—零度定理：

本題有 $4$ 個欄，因此只要求出 $A$ 的秩，即可算出零空間維度。

解題方法

對 $A$ 進行列簡化：

核心觀念

線性轉換保有向量的線性組合。若已知 $L(\mathbf{u})$ 與 $L(\mathbf{v})$，先將題目所求向量寫成 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 的線性組合，再以線性性質計算：

解題方法

令

尋找 $a,b$ 使

比較各分量，得到

由前兩式解得 $a=2,\ b=3$，且第三式也成立。因此

利用線性性質：

核心觀念

非零向量 $\mathbf v$ 是矩陣 $A$ 的特徵向量，若存在純量 $\lambda$ 使得

因此，將每個選項代入 $A\mathbf v$，檢查結果是否為該向量的純量倍數，即可判斷是否為特徵向量。

解題方法

令

官方答案選項 D 的向量為

代入矩陣：

因此 $\mathbf v_D$ 對應特徵值 $\lambda=-1$，確為 $A$ 的特徵向量。

選項分析

• (A) $\begin{bmatrix}4&-15&-6\end{bmatrix}^{T}$：

核心觀念

複數函數 $f(z)$ 在 $z_0$ 的極限存在，表示當 $z$ 從複平面中任意方向趨近 $z_0$ 時，$f(z)$ 都趨近同一個複數。若能找出兩條路徑，使函數值的極限不同，則二變數極限不存在。

本題另涉及複數辯角 $\operatorname{Arg}(z)$。採主辯角慣例時，$\operatorname{Arg}(z)\in(-\pi,\pi]$；在負實軸附近從上、下兩側趨近時，主辯角分別趨近 $\pi$ 與 $-\pi$。

解題方法與選項分析

(A) $\displaystyle\lim_{z\to i}z\operatorname{Arg}(z)$

因為 $i$ 不在辯角的分支切線上，$\operatorname{Arg}(z)\to\operatorname{Arg}(i)=\frac{\pi}{2}$，且 $z\to i$，所以

極限存在，故 (A) 不是答案。

(B) $\displaystyle\lim_{z\to-1}[\operatorname{Arg}(z)]^2$

在負實軸附近，主辯角可能從上側趨近 $\pi$，或從下側趨近 $-\pi$；但平方後兩者相同：

核心觀念

複數開立方根可用極式求得。若 $z^3=i$，先將 $i$ 表示成極式，再求出三個根。每個根的模長都是 $1$，幅角則相差 $120^\circ$。

解題方法

將 $i$ 寫成極式：

因此 $z^3=i$ 的根為

三個根分別是

這三個值都是 $z^3=i$ 的根；比較選項可知，選項（C）不在其中。

選項分析

核心觀念

本題考複變函數的柯西積分公式。若 $f(z)$ 在閉曲線 $C$ 上及其內部解析，且 $a$ 位於 $C$ 內部，則

其中正向（逆時針）積分取正號；若曲線以順時針方向繞行，積分值則反號。

解題方法

將被積函數寫成

分母在 $z=1$ 為零，而 $|1|<2$，故唯一奇點 $z=1$ 位於圓 $|z|=2$ 內。分子 $f(z)$ 是多項式，在整個複平面皆解析，可以直接套用柯西積分公式。

若圓周按慣例取正向（逆時針），則

核心觀念

常係數齊次線性微分方程式

可設解為 $y=e^{rt}$，代入後得到特徵方程式。若特徵根為 $r_1,r_2,r_3$，通解即為三個對應指數解的線性組合。

解題方法

令 $y=e^{rt}$，則 $y'=re^{rt}$、$y''=r^2e^{rt}$、$y'''=r^3e^{rt}$。代入微分方程式並約去不為零的 $e^{rt}$：

分組因式分解：

因此特徵根為 $r=-3,-1,1$，通解為

核心觀念

複數平面上，複數 $z$ 與固定複數 $z_0$ 的距離為 $|z-z_0|$。因此，方程式 $|z-z_0|=r$ 表示所有與 $z_0$ 的距離恰為 $r$ 的點，圖形是以 $z_0$ 為圓心、$r$ 為半徑的圓（當 $r>0$）。

解題方法

將題目中的複數模長改寫成與標準形式比較：

因此圓心是 $3-7i$，對應複數平面上的座標 $(3,-7)$；半徑為 $4$。由於半徑大於 $0$，解的集合是一個圓。

選項分析

核心觀念

本題考二階常係數線性微分方程的解法：先解齊次方程，再依右側各項尋找特解，最後代入初始條件決定常數。

對微分算子

若 $y=e^{rx}$，則

對三角函數，則可將候選特解代入 $L[y]$，核對能否產生指定的正弦與餘弦項。

解題方法

先解齊次方程：

特徵方程為

因此齊次解是

接著求特解。對右側的 $e^x$，因為

所以其特解為 $e^x$。

對三角函數部分，取 $y_p=-2\cos x$，則

代入可得

因此方程的一般解為