112 年國安局特考三等電子組(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

求微分方程式（Differential Equations） $$\frac{d^2}{dx^2}y(x)-9y(x)=9xe^{-3x}$$ 之通解（general solution）。

Accepted Answer

核心觀念 本題考二階常係數非齊次線性微分方程式： $$y''-9y=9xe^{-3x}.$$ 解題分成兩部分：先求齊次方程式 $y''-9y=0$ 的通解，再求非齊次方程式的一個特解，兩者相加即為原方程式的通解。右側含有 $e^{-3x}$，且 $-3$ 是特徵方程的根，因此特解試設時須乘上 $x$，以處理共振情形。 解題方法 先求齊次解。令 $y=e^{rx}$，得到特徵方程 $$r^2-9=0,$$ 故 $r=\pm 3$。因此齊次通解為 $$yh=C1e^{3x}+C2e^{-3x}.$$ 右側為一次多項式乘上 $e^{-3x}$，而 $e^{-3x}$ 已出現在齊次解中，故依待定係數法，設特解為 $$yp=xe^{-3x}(Ax+B).$$ 亦可利用 $$\left(\frac{d^2}{dx^2}-9\right)(e^{-3x}v)=e^{-3x}(v''-6v')$$ 簡化代入計算。取 $v=Ax^2+Bx$，則 $$v'=2Ax+B,\qquad v''=2A.$$ 代入原方程式左側的微分算子： $$ \left(\frac{d^2}{dx^2}-9\right)yp =e^{-3x}\left[2A-6(2Ax+B)\right] =e^{-3x}(-12Ax+2A-6B). $$

Question 2

矩陣（matrix） $$A=\begin{bmatrix}-1&2\0&-3\end{bmatrix}$$ （每小題 5 分，共 15 分）。 （一）求矩陣（matrix）$A$之特徵值（eigenvalues）與特徵向量（eigenvectors）。 （二）求矩陣函數$e^{At}$。 （三）求系統方程式（system equations） $$\frac{dx1(t)}{dt}=-x1(t)+2x2(t)$$ $$\frac{dx2(t)}{dt}=-3x2(t)$$ 之通解（general solution）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值與特徵向量，以及線性常係數系統 $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$ 的解。若 $A$ 的特徵值為 $\lambda$ 、對應特徵向量為 $\mathbf{v}$ ，則 $e^{At}\mathbf{v}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$ 。若有兩個線性獨立的特徵向量組成矩陣 $P$ ，則 $A=PDP^{-1}$ ，並有 $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$ 。

解題方法

（一）特徵值與特徵向量

由特徵方程 $\det(A-\lambda I)=0$ 求特徵值：

\det\begin{bmatrix}-1-\lambda&2\\0&-3-\lambda\end{bmatrix} =(-1-\lambda)(-3-\lambda)=0.

因此特徵值為 $\lambda_1=-1$ 、 $\lambda_2=-3$ 。

對 $\lambda_1=-1$ ，解 $(A+I)\mathbf{v}=0$ ：

\begin{bmatrix}0&2\\0&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},

得到 $v_2=0$ ，可取特徵向量 $\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 。

對 $\lambda_2=-3$ ，解 $(A+3I)\mathbf{v}=0$ ：

\begin{bmatrix}2&2\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},

得到 $v_1=-v_2$ ，可取特徵向量 $\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ 。

（二）求 $e^{At}$

以兩個特徵向量作為欄向量，令

P=\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-3\end{bmatrix}.

此處 $P^{-1}=P$ ，且 $A=PDP^{-1}$ 。因此

Question 3

擲四枚硬幣（Flip four coins），試驗結果有 16 種結果（outcomes）： $o_1,o_2,\ldots,o_{16}$ ，其中 $o_1=HHHH$ 、 $o_2=HTHH$ 、……、 $o_{16}=TTTT$ 。

若定義隨機變數（random variable） $X$ 為： $X(o_j)=$ 出現背面（ $T$ ）的硬幣數目，例如： $X(o_1)=0$ 、 $X(o_2)=1$ 。

$P$ 為隨機變數 $X$ 之機率分布（probability distribution），例如： $P(0)=1/16$ 、 $P(1)=4/16$ 。（每小題 5 分，共 10 分）

（一）求此隨機變數 $X$ 之均值（mean）或期望值（expected value）： $\mu_X$ 。

（二）求此隨機變數 $X$ 之標準差（standard deviation）或變異數的開根號（square root of the variance）： $\sigma_X$ 。

Accepted Answer

核心觀念

四枚公平硬幣各自獨立，單次擲出共有 $2^4=16$ 種等可能結果。隨機變數 $X$ 表示四枚硬幣中出現反面的枚數，因此 $X$ 服從二項分布：

X\sim \operatorname{Binomial}\left(4,\frac12\right)

其機率質量函數為

P(X=k)=\binom{4}{k}\left(\frac12\right)^4,\qquad k=0,1,2,3,4.

二項分布的期望值與變異數分別為

\mu_X=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p),

標準差則是變異數的平方根： $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ 。

解題方法

出現 $k$ 枚反面的結果數為 $\binom{4}{k}$ ，所以 $X$ 的機率分布如下：

$k$	$P(X=k)$
$0$	$\frac{1}{16}$
$1$	$\frac{4}{16}$
$2$	$\frac{6}{16}$
$3$	$\frac{4}{16}$
$4$	$\frac{1}{16}$

（一）求期望值

由期望值定義，

Question 4

複數函數 $$f(z)=\frac{ze^z}{(z-1)(z+1)}$$ （每小題 5 分，共 10 分）。 （一）求$f(z)$在$z=1$與$z=-1$的留數（residue）。 （二）閉合曲線（closed curve）$C$為圓$|z|=2$；利用柯西（Cauchy）留數定理（Residue Theorem）求複數線積分 $$\ointC\frac{ze^z}{(z-1)(z+1)}\,dz$$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考複變函數的留數與留數定理。若 $z=a$ 是 $f(z)$ 的一階極點，留數可用 $$ \operatorname{Res}(f,a)=\lim{z	o a}(z-a)f(z) $$ 求得。若閉合曲線 $C$ 為正向（逆時針）簡單閉曲線，且曲線上沒有奇點，則 $$ \ointC f(z)\,dz=2\pi i\sum{a	ext{ 在 }C	ext{ 內}}\operatorname{Res}(f,a). $$ 解題方法 將函數寫成 $$ f(z)=\frac{ze^z}{(z-1)(z+1)}. $$ 分母在 $z=1$ 與 $z=-1$ 為零，而分子在這兩點皆不為零，因此兩點都是一階極點。 （一）求留數 在 $z=1$： $$ \begin{aligned} \operatorname{Res}(f,1) &=\lim{z	o1}(z-1)\frac{ze^z}{(z-1)(z+1)}\ &=\left.\frac{ze^z}{z+1}ight|{z=1} =\frac{e}{2}. \end{aligned} $$ 在 $z=-1$：

Question 5

某能量場可用函數 $$\varphi(x,y,z)=0.5(x^2+2xy+2y^2+z^2)$$ 表示。該能量場在點$P(-1,0,1)$的最大變化率（rate of change）為何？ (A) $-\sqrt{3}$ (B) $-\sqrt{2}$ (C) $\sqrt{2}$ (D) $\sqrt{3}$

Accepted Answer

核心觀念 純量場 $\varphi(x,y,z)$ 在某點的最大變化率，等於該點梯度向量的大小： $$ \max{\|\mathbf u\|=1} D{\mathbf u}\varphi =\|
abla\varphi\| $$ 其中 $
abla\varphi$ 指向函數值增加最快的方向；最大變化率是非負數。 解題方法 先對 $\varphi$ 分別取偏導，求出梯度： $$ \varphi(x,y,z)=\frac12(x^2+2xy+2y^2+z^2) $$ $$ 
abla\varphi =\left( \frac{\partial\varphi}{\partial x}, \frac{\partial\varphi}{\partial y}, \frac{\partial\varphi}{\partial z} ight) =(x+y,\ x+2y,\ z) $$ 代入 $P(-1,0,1)$：

Answer

答案：D

Question 6

令矩陣 $$ A=\begin{bmatrix} 1&-3&4&-2&5\ 2&-6&9&-1&8\ 2&-6&9&-1&9\ -1&3&-4&2&-5 \end{bmatrix} $$ ，則下列選項中何者為矩陣$A$的秩數（rank）？ (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

Accepted Answer

核心觀念

矩陣的秩是其線性獨立的列向量（或行向量）的最大個數，也等於列化簡後的主元個數。判斷秩時，可用初等列運算將矩陣化為階梯形。

解題方法

先觀察第 4 列是第 1 列的相反數，因此第 4 列不會增加秩。對矩陣做列運算：

A= \begin{bmatrix} 1&-3&4&-2&5\\ 2&-6&9&-1&8\\ 2&-6&9&-1&9\\ -1&3&-4&2&-5 \end{bmatrix}

令 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 、 $R_3\leftarrow R_3-2R_1$ 、 $R_4\leftarrow R_4+R_1$ ，得到

\begin{bmatrix} 1&-3&4&-2&5\\ 0&0&1&3&-2\\ 0&0&1&3&-1\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}.

再令 $R_3\leftarrow R_3-R_2$ ：

Answer

答案：B

Question 7

考慮齊次方程組$A\boldsymbol{x}=0$，其中$A\in\mathbb{R}^{8	imes10}$。若此方程組的通解含有 6 個任意常數，則$A$的值域空間（range space）維度（dimension）為何？ (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 3

Accepted Answer

核心觀念

齊次線性方程組 $A\boldsymbol{x}=0$ 的解空間是 $A$ 的零空間（null space）。其任意常數個數等於零空間維度，也就是 $A$ 的零度（nullity）。

矩陣的秩與零度滿足秩－零度定理：

\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=\text{欄數}.

此外， $A$ 的值域空間維度等於 $A$ 的秩：

\dim(\operatorname{Range}(A))=\operatorname{rank}(A).

解題方法

$A\in\mathbb{R}^{8\times 10}$ 有 $10$ 欄，因此未知向量 $\boldsymbol{x}$ 有 $10$ 個分量。通解含有 $6$ 個任意常數，表示零空間維度為 $6$ ：

\operatorname{nullity}(A)=6.

套用秩－零度定理：

Answer

答案：C

Question 8

給定兩向量 $$u=\begin{bmatrix}1&1&2\end{bmatrix}^{T}$$ 及 $$v=\begin{bmatrix}2&-1&1\end{bmatrix}^{T}$$ ，下列選項何者錯誤？ (A) 此兩向量的範數（norm）乘積為 6。 (B) 此兩向量的內積（inner product）為 3。 (C) 此兩向量的外積（cross product）為 $$\begin{bmatrix}-3&-3&3\end{bmatrix}^{T}$$ (D) 此兩向量的夾角為$\frac{\pi}{3}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考向量的範數、內積、外積與夾角公式。對三維向量 $u=(u1,u2,u3)^T$、$v=(v1,v2,v3)^T$： $$ \|u\|=\sqrt{u1^2+u2^2+u3^2},\qquad u\cdot v=u1v1+u2v2+u3v3 $$ $$ u	imes v= \begin{bmatrix} u2v3-u3v2\ u3v1-u1v3\ u1v2-u2v1 \end{bmatrix}, \qquad \cos	heta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} $$ 其中 $	heta$ 為兩向量的夾角。 解題方法 題目給定 $$ u=\begin{bmatrix}1\1\2\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}2\-1\1\end{bmatrix}. $$ 先計算範數與內積，再由此求夾角；外積則依照分量公式計算。 兩向量的範數為 $$ \|u\|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}, \qquad \|v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}. $$ 因此範數乘積為 $$ \|u\|\|v\|=\sqrt{6}\sqrt{6}=6. $$ 內積為 $$ u\cdot v=1(2)+1(-1)+2(1)=2-1+2=3. $$ 外積為

Answer

答案：C

Question 9

$T$為$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^3$的線性轉換，且滿足 $$ T(u+4v)=\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix},\qquad T(2u+3v)=\begin{bmatrix}0\-1\3\end{bmatrix}。 $$ $T(u)=?$ (A) $\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-3\-7\12\end{bmatrix}$ (B) $\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3\7\12\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}3\7\12\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}-3\-7\12\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 線性轉換滿足線性組合性質： $$ T(au+bv)=aT(u)+bT(v). $$ 已知兩個線性組合的輸出，可先設 $T(u)=\mathbf{x}$、$T(v)=\mathbf{y}$，建立聯立向量方程，再解出所求。 解題方法 令 $$ \mathbf{x}=T(u),\qquad \mathbf{y}=T(v). $$ 由線性性質，題目條件化為 $$ \mathbf{x}+4\mathbf{y}= \begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix},\qquad 2\mathbf{x}+3\mathbf{y}= \begin{bmatrix}0\-1\3\end{bmatrix}. $$ 消去 $\mathbf{y}$：第一式乘以 $3$，第二式乘以 $4$，相減得 $$ (3\mathbf{x}+12\mathbf{y})-(8\mathbf{x}+12\mathbf{y}) = \begin{bmatrix}3\3\0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0\-4\12\end{bmatrix}. $$ 因此

Answer

答案：A

Question 10

若 $$ A=\begin{bmatrix} -1&0&3\ 0&2&0\ 0&0&2 \end{bmatrix} $$ 存在可逆矩陣$P$可將其對角化為 $$ P^{-1}AP=\begin{bmatrix} -1&0&0\ 0&2&0\ 0&0&2 \end{bmatrix} $$ ，則$P$的第一行行向量為何？ (A) $\begin{bmatrix}0\-1\1\end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix}1\0\1\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}-1\0\0\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 相似對角化 $P^{-1}AP=D$ 等價於 $AP=PD$。因此，$P$ 的各欄向量依序是 $A$ 對應於 $D$ 對角線特徵值的特徵向量。題目指定第一個對角元素為 $-1$，所以 $P$ 的第一欄必須是 $A$ 對應於特徵值 $-1$ 的特徵向量。 解題方法 設 $P$ 的第一欄為 $v1$。由 $AP=PD$ 可得 $$Av1=-v1,$$ 亦即 $$(A+I)v1=0.$$ 計算： $$ A+I= \begin{bmatrix} 0&0&3\ 0&3&0\ 0&0&3 \end{bmatrix}. $$ 令 $v1=\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}$，則 $(A+I)v1=0$ 給出 $z=0$、$y=0$，而 $x$ 可任意取非零值。因此 $$v1=c\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix},\qquad c
e0.$$ 題目問的是 $P$ 的第一行行向量；選項以直行向量表示，而符合第一個特徵向量方向的是 $\begin{bmatrix}-1\0\0\end{bmatrix}$，亦即選項 (D)。 選項分析

Answer

答案：D

Question 11

令矩陣 $$ A=\begin{bmatrix} -3&4&1\ 0&4&1\ 0&0&-1 \end{bmatrix} $$ ，則$A^2$的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？ (A) 9 (B) 1 (C) 16 (D) 4

Accepted Answer

核心觀念 若矩陣 $A$ 的特徵值為 $\lambda$，則 $A^2$ 的對應特徵值為 $\lambda^2$。因為若 $Av=\lambda v$，則 $$ A^2v=A(Av)=A(\lambda v)=\lambda Av=\lambda^2v. $$ 本題的 $A$ 是上三角矩陣，其特徵值就是主對角線上的元素。 解題方法 矩陣 $$ A=\begin{bmatrix} -3&4&1\ 0&4&1\ 0&0&-1 \end{bmatrix} $$ 的特徵值為 $-3、4、-1$。因此，$A^2$ 的特徵值為這些數的平方：

Answer

答案：D

Question 12

下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？ (A) $$\begin{bmatrix}1&1\2&1\end{bmatrix}$$ (B) $$\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix}$$ (C) $$\begin{bmatrix}1&2\1&1\end{bmatrix}$$ (D) $$\begin{bmatrix}2&1\1&1\end{bmatrix}$$

Accepted Answer

核心觀念 矩陣 $A$ 可對角化，表示存在可逆矩陣 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 為對角矩陣。對 $2	imes2$ 矩陣而言，若有兩個相異特徵值，便可對角化；若只有一個重根，則須有兩個線性獨立的特徵向量，才可對角化。 解題方法 逐一計算各矩陣的特徵值，並檢查特徵向量是否足夠。特徵值由特徵方程 $$ \det(A-\lambda I)=0 $$ 求得。 選項分析 (A) $$ A-\lambda I= \begin{bmatrix} 1-\lambda&1\ 2&1-\lambda \end{bmatrix}, \qquad \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2-2. $$ 特徵值為 $\lambda=1\pm\sqrt{2}$，互異，因此矩陣可對角化。此項不是答案。 (B) $$ B-\lambda I= \begin{bmatrix} 1-\lambda&1\ 0&1-\lambda \end{bmatrix}, \qquad \det(B-\lambda I)=(1-\lambda)^2. $$ 唯一特徵值為 $\lambda=1$，代入 $B-I$ 得 $$ B-I=\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}. $$

Answer

答案：B

Question 13

考慮微分方程 $$\frac{dy}{dx}=a(x)b(y),\qquad a(x)b(y)
e0。$$ 若乘上積分因子$\mu(x,y)$後可將此方程式轉換成正合（exact）微分方程式，則$\mu$為下列何者？ (A) $\mu=a(x)$ (B) $\mu=\frac{1}{a(x)}$ (C) $\mu=-b(y)$ (D) $\mu=\frac{1}{b(y)}$

Accepted Answer

核心觀念

將微分方程寫成微分形式 $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ 。若在適當區域內滿足

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},

則此方程為正合微分方程。

題目給定

\frac{dy}{dx}=a(x)b(y),

整理成微分形式：

a(x)b(y)\,dx-dy=0.

解題方法

分離變數，將原式兩邊除以 $b(y)$ ：

\frac{1}{b(y)}\,dy-a(x)\,dx=0.

此式已是正合形式，因為可取

M(x,y)=-a(x),\qquad N(x,y)=\frac{1}{b(y)},

所以

\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.

兩者相等，因此將原微分形式乘上積分因子 $\mu(x,y)=1/b(y)$ 後，即成正合方程。

選項分析

Answer

答案：D

Question 14

考慮微分方程式 $$\frac{d^2y}{dx^2}+\cos(x)\frac{dy}{dx}+\sin(x)y=1-x^3，$$ $y(0)=1$， $$\frac{dy}{dx}(0)=0。$$ 若此方程式的級數解可表示為 $$y(x)=\sum{n=0}^{\infty}cnx^n，$$ 則$c3$為何？ (A) $c3=-\frac{1}{3}$ (B) $c3=-\frac{1}{6}$ (C) $c3=\frac{1}{6}$ (D) $c3=\frac{1}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 1. 常微分方程式在常點處的泰勒級數解（Taylor Series Solution）： 對於二階線性常微分方程式，若係數函數在 $x = 0$ 處解析（Analytic），則解 $y(x)$ 可表示為麥克勞林級數（Maclaurin Series）： $$y(x) = \sum{n=0}^{\infty} cn x^n = \sum{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ 因此各項係數滿足關係式： $$cn = \frac{y^{(n)}(0)}{n!}$$ 特別地，$c0 = y(0)$、$c1 = y'(0)$、$c2 = \frac{y''(0)}{2!}$、$c3 = \frac{y'''(0)}{3!}$。 2. 基本初等函數之級數展開： $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$ $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ --- 解題方法 此題僅要求低階係數 $c3$，有兩種標準解法，以下依序呈現： 【方法一：逐次微分求導法（考場推薦速解）】 由題目已知初始條件： $$y(0) = 1, \quad y'(0) = 0$$ 原微分方程式為： $$y'' + \cos(x) y' + \sin(x) y = 1 - x^3$$ 步驟一：求 $y''(0)$ 將 $x = 0$ 代入原方程式： $$y''(0) + \cos(0) y'(0) + \sin(0) y(0) = 1 - 0^3$$ $$y''(0) + 1 \cdot (0) + 0 \cdot (1) = 1 \implies y''(0) = 1$$ 步驟二：對原式微分一次，求 $y'''(0)$ 對原微分方程式兩邊對 $x$ 微分： $$\frac{d}{dx}\left[y'' + \cos(x) y' + \sin(x) y\right] = \frac{d}{dx}\left[1 - x^3\right]$$ $$y''' + \left(-\sin(x) y' + \cos(x) y''\right) + \left(\cos(x) y + \sin(x) y'\right) = -3x^2$$ 化簡其中 $-\sin(x) y'$ 與 $+\sin(x) y'$ 項互相抵消： $$y''' + \cos(x) y'' + \cos(x) y = -3x^2$$ 將 $x = 0$ 代入上式： $$y'''(0) + \cos(0) y''(0) + \cos(0) y(0) = -3(0)^2$$ $$y'''(0) + 1 \cdot y''(0) + 1 \cdot y(0) = 0$$ 代入已知…

Answer

答案：A

Question 15

函數$f(t)$之拉普拉斯轉換（Laplace transform）為$\mathcal{L}\{f(t)\}$，令 $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s(s+1)^2}，$$ 則下列何者正確？ (A) $f(t)=te^{-t}-e^{-t}+1$ (B) $f(t)=-te^{-t}+e^{-t}+1$ (C) $f(t)=-te^{-t}-e^{-t}-1$ (D) $f(t)=-te^{-t}-e^{-t}+1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉普拉斯轉換的反轉換，以及部分分式分解。常用公式為： $$ \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1},\qquad \mathcal{L}\{te^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^2}. $$ 解題方法 先將題目中的有理式拆成容易查表反轉換的部分分式： $$ \frac{1}{s(s+1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}. $$ 兩側同乘 $s(s+1)^2$，得 $$ 1=A(s+1)^2+Bs(s+1)+Cs. $$ 令 $s=0$，得到 $A=1$；令 $s=-1$，得到 $C=-1$。比較 $s^2$ 項係數可得 $A+B=0$，所以 $B=-1$。因此 $$ \frac{1}{s(s+1)^2} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}. $$ 逐項取反拉普拉斯轉換： $$ f(t)=1-e^{-t}-te^{-t}. $$ 選項分析

Answer

答案：D

Question 16

函數$f(t)=2\cos(3t)$，$0\leq t\leq\frac{\pi}{3}$。若在$t=0$處，$f(t)$的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到$A$，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到$B$；存在$t=\frac{\pi}{3}$處，$f(t)$的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到$C$，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到$D$。則$A,B,C,D$各值為何？ (A) $A=0,\ B=0,\ C=0,\ D=0$ (B) $A=2,\ B=0,\ C=-2,\ D=0$ (C) $A=0,\ B=2,\ C=-2,\ D=0$ (D) $A=2,\ B=0,\ C=2,\ D=0$

Accepted Answer

核心觀念 傅立葉餘弦級數相當於將原函數在區間端點作偶延拓；傅立葉正弦級數則相當於作奇延拓。傅立葉級數在延拓後的跳躍點收斂到左右極限的平均值： $$ \frac{f(t^-)+f(t^+)}{2}. $$ 因此，端點的收斂值可由偶延拓或奇延拓後的左右極限判定。 解題方法 本題區間為 $0\leq t\leq \frac{\pi}{3}$，且 $$ f(t)=2\cos(3t). $$ 在右端點 $t=\frac{\pi}{3}$，原函數值為 $$ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos(\pi)=-2. $$ - 餘弦級數：偶延拓 偶延拓在端點兩側的極限相同，故收斂值等於端點函數值。於 $t=0$ 有 $A=2$；於 $t=\frac{\pi}{3}$ 有 $C=-2$。

Answer

答案：B

Question 17

已知函數 $$f(t)=\frac{1}{a}e^{-a|t|},\qquad a0，$$ 則下列何者為函數$f(t)$的傅立葉轉換（Fourier transform）（$i=\sqrt{-1}$）？ (A) $\frac{-2i\omega}{a(a^2+\omega^2)}$ (B) $\frac{2i\omega}{a(a^2+\omega^2)}$ (C) $-\frac{2}{a^2+\omega^2}$ (D) $\frac{2}{a^2+\omega^2}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考偶函數的傅立葉轉換，以及傅立葉轉換的定義。採用工程數學常見慣例：

F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

由於 $f(t)=\frac{1}{a}e^{-a|t|}$ 是偶函數，轉換結果為實數，且可將積分化為餘弦積分：

F(\omega)=2\int_0^\infty f(t)\cos(\omega t)\,dt.

解題方法

分段處理絕對值：

f(t)= \begin{cases} \frac{1}{a}e^{at},&t<0,\\[4pt] \frac{1}{a}e^{-at},&t\geq 0. \end{cases}

因此

Answer

答案：D

Question 18

考慮複變函數 $$f(z)=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)，$$ 其中$z=x+iy$。則 $$\frac{df(z)}{dz}$$ 為何？ (A) $$\frac{df(z)}{dz}=(-6xy)+i(3x^2-3y^2)$$ (B) $$\frac{df(z)}{dz}=(3x^2-3y^2)+i(6xy)$$ (C) $$\frac{df(z)}{dz}=(3x^2-3y^2)+i(3x^2-3y^2)$$ (D) $f(z)$不可以微分

Accepted Answer

核心觀念 本題考複變函數的複數微分。給定 $z=x+iy$，若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，且 $u,v$ 的一階偏導數連續，則滿足柯西－黎曼方程 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx $$ 時，$f$ 在該點複微分；導數可由 $$ f'(z)=ux+ivx=vy-iuy $$ 計算。 解題方法 題目給定 $$ u(x,y)=x^3-3xy^2,\qquad v(x,y)=3x^2y-y^3. $$ 計算偏導數： $$ ux=3x^2-3y^2,\qquad uy=-6xy, $$ $$ vx=6xy,\qquad vy=3x^2-3y^2. $$ 可見 $ux=vy$，且 $uy=-vx$，所以柯西－黎曼方程在所有 $(x,y)$ 都成立。由於這些偏導數皆連續，$f$ 處處可微，且

Answer

答案：B

Question 19

考慮複變函數 $$f(z)=\frac{z+1}{z^2-2z+5}，$$ $C$為逆時鐘繞圓圓$|z-1-i|=2$的路徑，且 $$\ointCf(z)\,dz=a+bi，$$ 則下列選項何者正確？ (A) $a=\frac{\pi}{2}$ (B) $a=\pi$ (C) $b=-\frac{\pi}{2}$ (D) $b=-\pi$

Accepted Answer

核心觀念 本題考複變函數的留數定理。若 $f(z)$ 在逆時鐘簡單閉曲線 $C$ 內只有孤立奇點 $zk$，則 $$ \ointC f(z)\,dz=2\pi i\sumk\operatorname{Res}(f;zk). $$ 因此，先找出分母的零點，再判斷哪些零點落在圓內，最後計算留數即可。 解題方法 將分母因式分解： $$ z^2-2z+5=(z-1)^2+4=(z-(1+2i))(z-(1-2i)). $$ 所以 $f(z)$ 的兩個極點為 $z=1+2i$ 與 $z=1-2i$。圓心為 $1+i$、半徑為 $2$： $$ |(1+2i)-(1+i)|=1<2, $$ $$ |(1-2i)-(1+i)|=32. $$ 因此，圓內只有極點 $z=1+2i$。它是單極點，其留數為

Answer

答案：B

Question 20

給定複變數函數 $$f(z)=\frac{2}{(z-1)(z-3)}，$$ 針對區域$1<|z|<3$對函數$f(z)$展開可得 $$f(z)=\cdots+az^{-1}+b+cz+dz^2+\cdots，$$ 則下列選項何者正確？ (A) $a=-\frac{1}{3}$ (B) $b=-\frac{1}{3}$ (C) $c=-\frac{1}{3}$ (D) $d=-\frac{1}{3}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考複變函數在環形區域的 Laurent 級數展開。展開時須依收斂區域選擇幾何級數的形式：

\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n,\quad |w|<1.

題目給定的區域為 $1<|z|<3$ ，因此展開時要分別配合 $|z|>1$ 與 $|z|<3$ 來改寫各因子。

解題方法

先做部分分式分解：

\frac{2}{(z-1)(z-3)} =\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-3}.

比較係數可得 $A=-1$ 、 $B=1$ ，所以

f(z)=-\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z-3}.

在 $|z|>1$ 時，

-\frac{1}{z-1} =-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-z^{-1}} =-\sum_{n=0}^{\infty}z^{-(n+1)}.

在 $|z|<3$ 時，

\frac{1}{z-3} =-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-z/3} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{3^{n+1}}.

Answer

答案：B

Question 21

某元件使用壽命$X$（單位：小時），其機率密度函數（probability density function）為 $$f(x)=0.005e^{kx},\qquad x\geq0。$$ 則$k$值及元件平均使用壽命為何？ (A) $k=0.005$，平均使用壽命 200 小時 (B) $k=0.005$，平均使用壽命$\infty$小時 (C) $k=-0.005$，平均使用壽命 200 小時 (D) $k=-0.005$，平均使用壽命$\infty$小時

Accepted Answer

核心觀念 機率密度函數必須滿足兩項條件：在定義範圍內 $f(x)\geq 0$，且全範圍積分為 $1$。本題使用機率密度的正規化條件求出 $k$，再以期望值定義計算平均壽命。 解題方法 由 $x\geq 0$，正規化條件為 $$ \int0^\infty 0.005e^{kx}\,dx=1。 $$ 若 $k\geq 0$，被積函數不會在無窮遠處衰減，積分發散；因此必須有 $k<0$。此時 $$ \int0^\infty 0.005e^{kx}\,dx =0.005\left[\frac{e^{kx}}{k}\right]0^\infty =-\frac{0.005}{k}=1， $$ 所以 $$ k=-0.005。 $$ 平均使用壽命為期望值： $$ E[X]=\int0^\infty x f(x)\,dx =\int0^\infty 0.005x e^{-0.005x}\,dx。 $$

Answer

答案：C

Question 22

某雜訊的機率密度函數（probability density function）為$[-1,3]$的均勻分布，其變異數（variance）為$A$。經過增益為 5 的放大器放大以後，其變異數為$B$。則$A,B$各值為何？ (A) $A=\frac{4}{3}$，$B=\frac{20}{3}$ (B) $A=\frac{4}{3}$，$B=\frac{100}{3}$ (C) $A=\frac{16}{3}$，$B=\frac{80}{3}$ (D) $A=\frac{16}{3}$，$B=\frac{400}{3}$

Accepted Answer

核心觀念 均勻分布 $X\sim U(a,b)$ 的變異數為 $$ \operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}. $$ 若隨機變數經過增益 $g$，輸出為 $Y=gX$，則 $$ \operatorname{Var}(Y)=g^2\operatorname{Var}(X). $$ 變異數會隨增益的平方縮放。 解題方法 題目給定雜訊均勻分布於 $[-1,3]$，區間長度為 $$ 3-(-1)=4. $$ 因此輸入變異數 $$ A=\frac{(3-(-1))^2}{12} =\frac{16}{12} =\frac{4}{3}. $$ 放大器增益為 $5$，故輸出變異數為 $$ B=5^2 A =25\cdot\frac{4}{3} =\frac{100}{3}. $$ 選項分析

Answer

答案：B

Question 23

令隨機變數$X,Y$的聯合機率密度函數（Joint probability density function）為 $$ f{X,Y}(x,y)= \begin{cases} kx(1+2y),&0\leq x\leq2,\ 0<y<1,\ 0,&其他， \end{cases} $$ 其中$k$為實數，則下列何者正確？ (A) $k=\frac{1}{2}$ (B) 邊際機率密度（Marginal probability density function）為 $$g(x)=\frac{x}{4},\quad0\leq x\leq2$ (C) 邊際機率密度（Marginal probability density function）為 $$h(y)=\frac{1+2y}{4},\quad0<y<1$$ (D) 條件機率密度（conditional probability density function）為 $$f(y\mid x)=\frac{1+2y}{2},\quad0<y<1$$

Accepted Answer

核心觀念 聯合機率密度函數須滿足總積分為 $1$。邊際機率密度由聯合密度對另一個變數積分取得；條件機率密度則為聯合密度除以條件變數的邊際密度： $$ \int\!\!\int f{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=1,\qquad fX(x)=\int f{X,Y}(x,y)\,dy,\qquad f{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f{X,Y}(x,y)}{fX(x)}. $$ 解題方法 先利用總積分為 $1$ 求常數 $k$： $$ \begin{aligned} 1 &=\int0^2\int0^1 kx(1+2y)\,dy\,dx\ &=k\left(\int0^2 x\,dxight)\left(\int0^1(1+2y)\,dyight)\ &=k\cdot 2\cdot 2=4k. \end{aligned} $$ 因此 $k=\frac14$。 對 $y$ 積分可得 $X$ 的邊際密度： $$ fX(x)=\int0^1 \frac14 x(1+2y)\,dy =\frac{x}{2},\qquad 0\le x\le 2. $$ 對 $x$ 積分可得 $Y$ 的邊際密度：

Answer

答案：D

Question 24

給定兩向量 $$u=\begin{bmatrix}2&-1&3\end{bmatrix}^{T}$$ 及 $$v=\begin{bmatrix}4&-1&2\end{bmatrix}^{T}$$ ，分解$u$為$u1+u2$，其中$u1$為$u$在$v$的垂直投影（orthogonal projection），則下列選項何者錯誤？ (A) 向量$u1$為 $$u1=\begin{bmatrix}\frac{20}{7}&-\frac{5}{7}&\frac{10}{7}\end{bmatrix}^{T}$$ (B) 向量$u2$的範數（norm） $$\|u2\|=\frac{\sqrt{161}}{7}$$ (C) 兩向量$u2,v$的外積（cross product）為零向量 (D) 兩向量$u1,u2$的內積（inner product）為零

Accepted Answer

核心觀念 向量 $u$ 在非零向量 $v$ 上的垂直投影為 $$ u1=\operatorname{proj}v u=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v. $$ 令 $u2=u-u1$，則 $u2$ 與 $v$ 垂直，因此 $u1$ 與 $u2$ 也垂直。 解題方法 先計算內積與 $v$ 的平方範數： $$ u\cdot v=2(4)+(-1)(-1)+3(2)=15, \qquad v\cdot v=4^2+(-1)^2+2^2=21. $$ 因此 $$ u1=\frac{15}{21}v =\frac{5}{7} \begin{bmatrix}4\-1\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{20}{7}\-\frac{5}{7}\\frac{10}{7}\end{bmatrix}. $$ 接著求 $$ u2=u-u1 = \begin{bmatrix}2\-1\3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\frac{20}{7}\-\frac{5}{7}\\frac{10}{7}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{6}{7}\-\frac{2}{7}\\frac{11}{7}\end{bmatrix}. $$ 選項分析 (A) 正確。 投影向量 $u1$ 的計算結果正如選項所列。 (B) 正確。 $u2$ 的範數為

Answer

答案：C

112 國安局特考三等 電子組(選試英文) 工程數學 考古題詳解

第 一 題15 分

第 二 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）特徵值與特徵向量

（二）求 eAte^{At}eAt

第 三 題10 分

核心觀念

解題方法

第 四 題10 分

核心觀念

解題方法

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

第 4 題2 分

第 5 題2 分

核心觀念

解題方法

第 6 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 7 題2 分

核心觀念

解題方法

第 8 題2 分

第 9 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 10 題2 分

核心觀念

解題方法

【方法一：逐次微分求導法（考場推薦速解）】

【方法二：冪級數代入比較係數法】

第 11 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 12 題2 分

第 13 題2 分

核心觀念

解題方法

第 14 題2 分

第 15 題2 分

第 16 題2 分

核心觀念

解題方法

第 17 題2 分

核心觀念

解題方法

第 18 題2 分

第 19 題2 分

第 20 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

其他考古題

112 年電子組(選試英文)的其他科目

電子組(選試英文)《工程數學》其他年度

112 國安局特考三等電子組(選試英文) 工程數學考古題詳解

第一題15 分

第二題15 分

（二）求 $e^{At}$

第三題10 分

第四題10 分