核心觀念

本題考查兩個傅立葉轉換性質：

1. 因果衰減指數訊號的傅立葉轉換。
2. 正弦波調變的頻移性質，以及週期性脈衝列的傅立葉轉換。

採用頻率 $f$ 的傅立葉轉換定義：

一、（一）$x(t)\sin(2\pi f_ct)$ 的傅立葉轉換

解題方法

已知

其中因為訊號必須收斂，須有 $a>0$。

先求 $x(t)$ 的傅立葉轉換：

因此

利用正弦函數的指數表示式：

因此

根據調變的頻移性質：

所以

代入 $X(f)=1/(a+j2\pi f)$，得到

亦可整理為

解題技巧與陷阱

• 乘上 $e^{j2\pi f_ct}$，頻譜向右移 $f_c$，即 $X(f-f_c)$。
• 乘上 $e^{-j2\pi f_ct}$，頻譜向左移 $f_c$，即 $X(f+f_c)$。
• 正弦波前面的係數是 $1/(2j)$，不是 $1/2$。
• 由於原訊號為實數訊號，最後的頻譜應滿足共軛對稱性：

$Y(-f)=Y^*(f)$

一、（二）週期性脈衝列 $\delta_{T_0}(t)$ 的傅立葉轉換

核心觀念

依照題圖，脈衝出現在

因此週期性脈衝列可表示為

其週期為 $T_0$，基本頻率為

核心觀念

相位調變（PM）使載波的瞬時相位依照訊息 $m(t)$ 改變。若載波角頻率為 $\omega_c=2\pi f_c$，相位靈敏度為 $k_p$（單位為弧度／訊息單位），則 PM 訊號可寫成

載波振幅 $A_c$ 固定，訊息只改變相位，因此理想 PM 的瞬時振幅與傳送功率不隨訊息改變。

（一）PM 訊號與傳送功率

PM 的瞬時相位為

故訊號為

以 $1\,\Omega$ 負載計算，瞬時功率為

對載波週期取平均，餘弦項的平均值為零，因此平均傳送功率為

若負載為 $R$，則 $P_T=A_c^2/(2R)$。結果不含 $m(t)$ 或 $k_p$，所以在固定載波振幅下，理想 PM 的平均傳送功率恆定。

（二）訊息相加時，PM 訊號是否相加

由 $m(t)=m_1(t)+m_2(t)$，直接代入 PM 定義：

而分別調變所得訊號為

因此一般而言，

PM 對訊息的關係是相位相加後再取餘弦，並非訊號振幅的線性相加。令 $\omega_ct=0$、$k_pm_1(t)=k_pm_2(t)=0$，則 $s(t)=A_c$，但 $s_1(t)+s_2(t)=2A_c$，已可看出兩者不相等。

（三）PM 解調器設計

PM 訊號的相位偏移為 $k_pm(t)$。解調器可先由相位鑑別器取得瞬時相位，再扣除載波相位 $2\pi f_ct$，最後除以 $k_p$，還原訊息：

核心觀念

AWGN 通道下，若各個訊號符號具有相同先驗機率，最佳解調器為最大概似（Maximum Likelihood, ML）解調器，也就是：

$\hat{s}=\arg\min_{s_i}|r-s_i|^2$

因此：

• 一維 PAM：最佳決策閾值位於相鄰訊號點的中點。
• 二維 QAM：最佳決策邊界為相鄰星座點連線的垂直平分線，整體形成 Voronoi 分割。

定義高斯尾端函數：

$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2/2}\,dt$

（一）3-PAM 最佳偵測閾值與平均錯誤率

星座點為：

$s_1=-A,\qquad s_2=0,\qquad s_3=A$

接收訊號為：

$r=s_i+n,\qquad n\sim\mathcal{N}(0,\sigma_n^2)$

1. 最佳偵測閾值

相鄰訊號點的中點為最佳決策閾值，因此：

$\gamma_1=\frac{-A+0}{2}=-\frac{A}{2}$

$\gamma_2=\frac{0+A}{2}=\frac{A}{2}$

解調規則為：

2. 各符號錯誤機率

當傳送 $s=-A$ 時，錯誤事件為：

$r>-\frac{A}{2}$

由於 $r=-A+n$，因此：

由對稱性：

$P(e\mid A)=Q\left(\frac{A}{2\sigma_n}\right)$

當傳送 $s=0$ 時，只要 $r<-\dfrac{A}{2}$ 或 $r>\dfrac{A}{2}$ 即錯誤，因此：

3. 平均錯誤機率

三個符號等機率傳送，因此：

所以：

（二）V.29 特殊 16-QAM 最佳決策邊界

1. 星座點辨識

依照題圖，V.29 星座點可表示為：

$(\pm1,0),\quad(\pm3,0),\quad(\pm5,0)$

$(0,\pm1),\quad(0,\pm3),\quad(0,\pm5)$

以及四個斜向星座點：

$(\pm3,\pm3)$

總數為：

$6+6+4=16$

核心觀念

已知理想低通濾波器

且頻率響應以 $2\pi$ 為週期。

本題主要考查三個觀念：

1. 離散時間訊號乘上 $e^{j\omega_0 n}$，會造成頻譜平移。
2. 直接訊號與低通濾波訊號相減，可形成高通濾波器。
3. 升頻與降頻系統中的頻譜映射、影像頻譜及降頻造成的比例因子。

（一）前後各乘上 $(-1)^n$

解題方法

因為

若輸入訊號先乘上 $e^{j\pi n}$，其頻譜會向右平移 $\pi$：

通過低通濾波器後：

最後再乘上 $e^{j\pi n}$，頻譜再向右平移 $\pi$：

因此

利用頻譜的 $2\pi$ 週期性：

故等效頻率響應為

原本位於 $\omega=0$ 附近的低通通帶，被平移至 $\omega=\pi$ 附近。因此

在 $-\pi\le\omega\le\pi$ 範圍內，其頻率響應如下：

H1
1 ┌───────┐ ┌───────┐
 │ │ │ │
0 ───────┘ └─────────────────┘ └──── ω
 -π -3π/4 3π/4 π

判斷結果

此系統等效為以 $\omega=\pi$ 為中心的理想帶通濾波器，也可稱為高頻帶通濾波器，通帶為

（二）原訊號減去低通濾波後的訊號

解題方法

系統輸出為

其中 $*$ 表示摺積。傅立葉轉換後：

因此

等效頻率響應為

代入理想低通濾波器：

頻率響應如下：

H2
1 ┌───────────────────────────────┐
 │ │
0 ───────┘ └──── ω
 -π -π/4 π/4 π

判斷結果

此系統等效為截止頻率

且通帶增益為 $1$ 的理想高通濾波器。

（三）升頻 $2$ 倍、低通濾波、降頻 $2$ 倍

解題方法

設升頻後的訊號為 $u[n]$。升頻 $2$ 倍會在樣本之間插入零，其頻譜為

其中 $\Omega$ 是升頻後系統的頻率變數。

通過低通濾波器後：

核心觀念

本題考查二元線性區塊碼的：

1. Even-parity Check：每個檢查集合中的 $1$ 數量必須為偶數。
2. 錯誤症候（syndrome）：利用 $H\vec r^{T}$ 判斷錯誤位置。
3. 漢明距離：線性碼的最小漢明距離，等於所有非零碼字中最小的 $1$ 的個數。

所有加法皆在 $GF(2)$ 上進行，也就是 $1+1=0$。

（一）驗證 $(1,1,0,1,0,1,0)$ 為碼字

由圖形及題目中的方程式：

• $A$ 集合包含 $x_1,x_2,x_3,x_5$
• $B$ 集合包含 $x_1,x_2,x_4,x_6$
• $C$ 集合包含 $x_1,x_3,x_4,x_7$

代入

可得：

三個集合中的 $1$ 數量分別為 $2,4,2$，均為偶數。因此三個 parity check 均成立：

故 $(1,1,0,1,0,1,0)$ 為一組碼字。

（二）證明任何一個位元錯誤皆可偵測並更正

解題方法

令傳送碼字為 $\vec c$，錯誤向量為 $\vec e$，接收向量為

因為 $\vec c$ 為碼字，所以

因此：

所以接收向量的 syndrome 完全由錯誤向量決定。

七種單一位元錯誤

設 $\vec e_i$ 表示第 $i$ 個位置為 $1$、其餘位置為 $0$ 的錯誤向量，則

就是矩陣 $H$ 的第 $i$ 欄：

七個 syndrome 具有兩項特性：

1. 全部不是零向量，因此可以判斷確實發生錯誤。
2. 七個 syndrome 彼此不同，因此可以唯一判斷錯誤發生的位置。

例如題目所給的錯誤為第 $6$ 位元錯誤：

則

其 syndrome 為