114 年國安局特考三等電子組(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

假設 $$ g1(t)=\cos(2\pi fct),\qquad -\frac{T}{2}\leq t\leq\frac{T}{2}, $$ 其中 $fc$ 為頻率。$g2(t)$ 為一方波，如原卷圖示。 若 $$ g(t)=g1(t)g2(t), $$ 請求 $g(t)$ 的傅立葉轉換（Fourier transform）。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 時域相乘與頻域卷積的關係。 2. 矩形脈波的傅立葉轉換。 3. 餘弦訊號的傅立葉轉換與頻移性質。 依題圖，$g2(t)$ 為振幅 $A$、寬度 $T$、以 $t=0$ 為中心的矩形脈波： $$ g2(t)= \begin{cases} A, & -\dfrac{T}{2}\leq t\leq\dfrac{T}{2},\[4pt] 0, & \text{其他時間}. \end{cases} $$ 因此 $$ g(t)=g1(t)g2(t) = \begin{cases} A\cos(2\pi fct), & -\dfrac{T}{2}\leq t\leq\dfrac{T}{2},\[4pt] 0, & \text{其他時間}. \end{cases} $$ --- 解題方法 採用傅立葉轉換定義 $$ G(f)=\int{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt。 $$ 代入 $g(t)$： $$ G(f) =A\int{-T/2}^{T/2}\cos(2\pi fct)e^{-j2\pi ft}\,dt。 $$ 利用 $$ \cos(2\pi fct) =\frac{1}{2}\left(e^{j2\pi fct}+e^{-j2\pi fct}\right), $$ 可得 $$ G(f) =\frac{A}{2} \int{-T/2}^{T/2} \left(e^{j2\pi fct}+e^{-j2\pi fct}\right) e^{-j2\pi ft}\,dt。 $$ 整理為 $$ G(f) =\frac{A}{2} \left[ \int{-T/2}^{T/2}e^{-j2\pi(f-fc)t}\,dt + \int{-T/2}^{T/2}e^{-j2\pi(f+fc)t}\,dt \right]. $$ 利用公式 $$ \int{-T/2}^{T/2}e^{-j2\pi \alpha t}\,dt =T\,\operatorname{sinc}(\alpha T), $$ 其中採用 normalized sinc 定義 $$ \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}, $$ 因此

Question 2

非線性平方律偵測器（square-law detector）常用於傳統振幅調變（amplitude modulation, AM）系統的調變器與解調器設計中。考慮下列平方律偵測器：

v_2(t)=a_1v_1(t)+a_2v_1^2(t),

其中 $a_1$ 以及 $a_2$ 為常數， $v_1(t)$ 為輸入訊號，而 $v_2(t)$ 為輸出訊號。

(一) 假設輸入訊號

v_1(t)=A_c\cos(2\pi f_ct)+m(t),

其中 $m(t)$ 為欲傳送的信息（message），而 $A_c\cos(2\pi f_ct)$ 為載波（carrier wave）。請求該平方律偵測器的輸出訊號 $v_2(t)。（5 分）$

(二) 承（一），假設欲傳送的信息 $m(t)$ 為一頻寬為 $W$ 的基頻信號，其頻率響應 $M(f)$ 如原卷圖示。

假設載波的頻率 $f_c>3W$ ，根據 $M(f)$ ，請描繪出輸出訊號 $v_2(t)$ 的頻率響應 $V_2(f)$ 。（5 分）

(三) 承（二），假設我們想利用下列調諧電路（tuned circuit）來產生一 AM 信號，如原卷圖示。請設計該調諧電路，使之能產生一 AM 信號。（10 分）

(四) 承（三），請計算該 AM 信號的振幅靈敏度（amplitude sensitivity） $k_a$ 。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平方律非線性元件的頻譜展開，以及利用調諧電路選出載波頻率附近的頻譜成分，形成傳統 AM 信號。 採用傅立葉轉換定義： $$ X(f)=\int{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt $$ 並使用下列性質： $$ \mathcal{F}\{\cos(2\pi fct)\} =\frac{1}{2}\left[\delta(f-fc)+\delta(f+fc)ight] $$ $$ \mathcal{F}\{m(t)\cos(2\pi fct)\} =\frac{1}{2}\left[M(f-fc)+M(f+fc)ight] $$ $$ \mathcal{F}\{m^2(t)\}=M(f)M(f) $$ 其中 $$ 表示頻域摺積。 --- （一）求平方律偵測器輸出 $v2(t)$ 已知 $$ v1(t)=Ac\cos(2\pi fct)+m(t) $$ 平方律輸出為 $$ v2(t)=a1v1(t)+a2v1^2(t) $$ 先展開平方項： $$ \begin{aligned} v1^2(t) &=\left[Ac\cos(2\pi fct)+m(t)ight]^2\ &=Ac^2\cos^2(2\pi fct) +2Acm(t)\cos(2\pi fct)+m^2(t) \end{aligned} $$ 利用 $$ \cos^2(2\pi fct) =\frac{1}{2}\left[1+\cos(4\pi fct)ight] $$ 因此 $$ \begin{aligned} v2(t) ={}&a1Ac\cos(2\pi fct)+a1m(t)\ &+\frac{a2Ac^2}{2} +\frac{a2Ac^2}{2}\cos(4\pi fct)\ &+2a2Acm(t)\cos(2\pi fct) +a2m^2(t) \end{aligned} $$ 故輸出包含： 1. 基頻訊號 $m(t)$； 2. 直流項； 3. 載波頻率 $fc$； 4. 以 $fc$ 為中心的雙邊帶訊號； 5. 二倍載波頻率 $2fc$； 6. $m^2(t)$ 所產生的基頻成分。 --- （二）繪出 $V2(f)$ 的頻率響應 將上式逐項轉換，可得 $$ \begin{aligned} V2(f) ={}&a1M(f)+a2\mathcal{F}\{m^2(t)\}\ &+\frac{a2Ac^2}{2}\delta(f)\ &+\frac{a1Ac}{2} \left[\delta(f-fc)+\delta(f+fc)ight]\ &+\frac{a2Ac^2}{4} \left[\delta(f-2fc)+\delta(f+2fc)ight]\ &+a2Ac \left[M(f-f…

Question 3

假設 $$ s(t)=\cos(400\pi t)+0.5\cos(12000\pi t), $$ 將 $s(t)$ 以取樣頻率（sampling frequency） $$ fs=10\ \mathrm{kHz} $$ 進行取樣，可得離散時間訊號（discrete-time signal）$s[n]$。請描繪出 $s[n]$ 的頻譜（spectrum）。 請問所得的 $s[n]$ 是否滿足奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查連續時間正弦波取樣後的離散時間頻率，以及混疊（aliasing）。連續時間頻率 $f$ 取樣後，對應的離散角頻率為

\omega=2\pi\frac{f}{f_s}\quad \text{rad/sample},

而離散時間頻譜以 $2\pi$ 為週期。頻率相差整數倍取樣頻率的連續訊號，取樣後會落在相同的離散頻率位置。

解題方法

先將兩個餘弦項換算成頻率：

s(t)=\cos(2\pi\cdot 200\,t)+0.5\cos(2\pi\cdot 6000\,t).

因此訊號包含 $200\ \mathrm{Hz}$ 與 $6000\ \mathrm{Hz}$ ，振幅分別為 $1$ 與 $0.5$ 。以 $f_s=10\,000\ \mathrm{Hz}$ 取樣，令 $t=n/f_s$ ：

\begin{aligned} s[n] &=\cos\left(2\pi\frac{200}{10\,000}n\right) +0.5\cos\left(2\pi\frac{6000}{10\,000}n\right)\\ &=\cos(0.04\pi n)+0.5\cos(1.2\pi n). \end{aligned}

離散角頻率以 $2\pi$ 為週期；又因餘弦頻率具有正負對稱性，

\cos(1.2\pi n)=\cos((-0.8\pi)n)=\cos(0.8\pi n).

所以

\boxed{s[n]=\cos(0.04\pi n)+0.5\cos(0.8\pi n)}.

這表示 $6000\ \mathrm{Hz}$ 分量取樣後混疊至 $4000\ \mathrm{Hz}$ ，即取樣頻率一半以下的等效頻率 $f_s-6000=4000\ \mathrm{Hz}$ 。

以每週期 $2\pi$ 的離散角頻率表示，雙邊頻譜線位於：

$200\ \mathrm{Hz}$ 分量： $\omega=\pm0.04\pi$ ，振幅各為 $1/2$ 。
混疊後的 $4000\ \mathrm{Hz}$ 分量： $\omega=\pm0.8\pi$ ，振幅各為 $0.25$ 。

Question 4

差量調變（delta modulation, DM）是一種類比轉數位（ADC）和數位轉類比（DAC）的轉換技術，與一般 ADC/DAC 方式不同。差量調變並不是以奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）直接對原始類比訊號進行取樣（sampling）與量化（quantization），而是利用一高速的過取樣頻率（oversampling frequency），將類比訊號先切成一連串的小片段，並以一決策線路（threshold circuit）判斷該小片段訊號（或稱估算值）與實際類比訊號的差值。

如果這個差值為正，則差量調變系統送出正脈衝 $\Delta$ ；反之，若為負，則系統送出負脈衝 $-\Delta$ 。差量調變的解碼器其實只需要一個積分器（integrator），累加編碼端所送出的正負脈衝值（ $\pm\Delta$ ），即可得到解碼訊號。但是，有時解碼器所重建之訊號，其波形會趕不上原類比訊號而產生較大的錯誤（error），這種問題稱之為差量調變的斜率超負載（slope overload）。

(一) 假設原始類比訊號為振幅 $A_m$ 、頻率 $f_m$ 的弦波

m(t)=A_m\cos(2\pi f_mt)。

將 $m(t)$ 通過一差量調變調變器，該調變器的正負脈衝值為 $\Delta$ 、取樣時間（sampling period）為 $T_s$ 。請證明如果

A_m>\frac{\Delta}{2\pi f_mT_s},

則該差量調變將出現斜率超負載（slope overload）的問題。（15 分）

(二) 假設我們利用差量調變對一語音信號進行 ADC 的轉換。一般語音為一有限頻寬（band-limited）信號，其頻寬為 $3.4\ \mathrm{kHz}$ 。所使用的差量調變編碼器規格如下：取樣頻率 $f_s$ 為該語音信號的 10 倍奈奎斯特頻率，正負脈衝值 $\Delta=100\ \mathrm{mV}$ 。假設輸入信號為頻率 $f_m=1\ \mathrm{kHz}$ 弦波，若該差量調變的編碼器並不會產生斜率超負載問題，請計算該弦波的最大振幅為多少伏特？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

差量調變（DM）以每次取樣後輸出一個正或負的固定步階 $\pm\Delta$ ，讓重建訊號逐步追蹤輸入訊號。每個取樣週期內，重建訊號最多改變 $\Delta$ ，因此它能追蹤的最大斜率為

\left|\frac{\Delta}{T_s}\right|=\frac{\Delta}{T_s}.

若輸入訊號某處的斜率大於這個值，重建訊號便追不上輸入，形成斜率超負載。

解題方法

（一）推導斜率超負載條件

輸入弦波為

m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t).

對時間微分，得到輸入訊號的斜率：

\frac{dm(t)}{dt} =-2\pi f_m A_m\sin(2\pi f_m t).

其最大斜率絕對值為

\max_t\left|\frac{dm(t)}{dt}\right|=2\pi f_m A_m.

DM 重建訊號每隔 $T_s$ 最多改變 $\Delta$ ，故其最大追蹤斜率為 $\Delta/T_s$ 。當輸入最大斜率超過重建訊號的最大斜率時，即發生斜率超負載：

2\pi f_m A_m>\frac{\Delta}{T_s}.

整理可得

\boxed{A_m>\frac{\Delta}{2\pi f_mT_s}}.

因此題目所給的不等式正是斜率超負載的條件。

（二）計算最大振幅

語音頻寬為 $3.4\ \mathrm{kHz}$ ，其奈奎斯特頻率為頻寬的兩倍：

f_N=2(3.4\ \mathrm{kHz})=6.8\ \mathrm{kHz}.

Question 5

多重路徑干擾（multipath distortion）是一般無線傳輸通道的非理想效應。考慮一最基本的雙路徑干擾無線傳輸通道：假設傳輸訊號為 $x(t)$ ，經由通道傳送後的接收信號為

y(t)=a_1x(t-t_{01})+a_2x(t-t_{02}),

其中 $a_1$ 、 $a_2$ 為常數， $t_{01}$ 、 $t_{02}$ 分別為第一與第二路徑的傳輸延遲（delay）時間。

(一) 請計算該多重路徑通道的傳遞函數（transfer function） $H(f)$ 。（5 分）

(二) 為了解決多重路徑干擾的問題，在接收器中可利用一分接延遲線通道等化器（tapped-delay-line channel equalizer）來降低無線通訊系統傳輸的錯誤率。如果該通道等化器的轉移函數為 $H_e(f)$ ，則最佳的等化器設計為

H_e(f)=\frac{1}{H(f)}。

考慮一個三階延遲線通道等化器，如原卷圖示。

假設 $a_2=a_1$ 且 $t_{02}>t_{01}$ ，請設計該三階延遲線通道等化器，使之能排除雙路徑無線傳輸通道的干擾。

註 1：因為通道傳輸會產生時間延遲，因此一般等化器的設計允許最終系統的轉換函數，也就是 $H(f)\times H_e(f)$ ，為一個廣義線性相位系統（generalized linear-phase system）。

註 2：若 $k=1$ ，則

\frac{1}{1-kr}\approx 1+kr+k^2r^2。

（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 延遲訊號的傅立葉轉換。 2. 多重路徑通道傳遞函數的建立。 3. 分接延遲線等化器的頻率響應。 4. 以有限階數的幾何級數近似理想等化器。 延遲 $t0$ 的訊號滿足： $$ x(t-t0)\ \xleftrightarrow{\mathcal{F}}\ X(f)e^{-j2\pi f t0}. $$ --- （一）多重路徑通道傳遞函數 已知 $$ y(t)=a1x(t-t{01})+a2x(t-t{02}). $$ 對兩邊取傅立葉轉換： $$ Y(f)=a1X(f)e^{-j2\pi f t{01}} +a2X(f)e^{-j2\pi f t{02}}. $$ 因此通道傳遞函數為 $$ \boxed{ H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)} =a1e^{-j2\pi f t{01}} +a2e^{-j2\pi f t{02}} }. $$ 令兩路徑延遲差為 $$ \Delta t=t{02}-t{01}0, $$ 則可整理為 $$ H(f) =a1e^{-j2\pi f t{01}} \left[ 1+\frac{a2}{a1}e^{-j2\pi f\Delta t} \right]. $$ --- （二）三階分接延遲線等化器設計 1. 理想等化器 最佳等化器為 $$ He(f)=\frac{1}{H(f)}. $$ 令 $$ k=\frac{a2}{a1}, \qquad r=e^{-j2\pi f\Delta t}, $$ 則 $$ H(f)=a1e^{-j2\pi f t{01}}(1+kr). $$ 所以 $$ \frac{1}{H(f)} = \frac{e^{j2\pi f t{01}}}{a1} \frac{1}{1+kr}. $$ 由於整體系統允許保留一個純延遲項，$e^{j2\pi f t{01}}$ 可不必由等化器實際產生，而將最終系統的延遲 $e^{-j2\pi f t{01}}$ 視為廣義線性相位。 --- 2. 幾何級數近似 將分母寫成 $$ \frac{1}{1+kr} = \frac{1}{1-(-kr)}. $$ 利用幾何級數 $$ \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots, $$ 取前三項： $$ \frac{1}{1+kr} \approx 1-kr+k^2r^2. $$ 因此三階等化器可設計為 $$ He(f) = \frac{1}{a1} \left( 1-kr+k^2r^2 \right). $$ 代回 $r=e^{-j2\pi f\Delta t}$： $$ He(f) = \frac{1}{a1} \left[ 1 -k e^{-j2\pi f\Delta t} +k^2e^{-j4\pi f\Delta t} \right]. $$ ---

Question 6

重複碼（repetition code）是早期使用的錯誤更正碼。使用重複碼的核心思想是傳送端會將每個傳輸位元進行多次，如 $n$ 次（ $n=2m+1$ ，通常為奇數）的重複傳送；而接收端會從所收到的 $n$ 個位元中判斷「0」以及「1」的個數，並以多數決來判斷所接收的位元是否為「0」或是「1」。

如果通道為二元對稱通道（binary symmetric channel, BSC），如原卷圖示，其中 $p<1$ ，為輸入與輸出的轉移機率。

每小題 5 分，共 15 分。

(一) 假設 $n=3$ ，利用重複碼來傳送訊息，請說明錯誤的發生情形。

(二) 假設 $n=3$ ，請求該重複碼的平均錯誤機率（average probability of error）。

(三) 假設 $n=5$ ，請求該重複碼的平均錯誤機率。

Accepted Answer

核心觀念

重複碼將每一個位元重複傳送 $n=2m+1$ 次，接收端以多數決判定原始位元。

二元對稱通道（BSC）的位元錯誤率為 $p$ ，每次傳送：

正確接收的機率： $1-p$
錯誤接收的機率： $p$

因為 $n$ 為奇數，不會出現票數相同的情況。重複碼發生解碼錯誤的條件是：錯誤接收的次數至少為多數，即至少有 $m+1$ 次錯誤。

解題方法

若原始位元為 $0$ ，接收端以多數決判定為 $1$ ，表示收到的 $1$ 至少有 $m+1$ 個；若原始位元為 $1$ ，則收到的 $0$ 至少有 $m+1$ 個。

因此，重複碼的錯誤機率可由二項式機率計算：

P_e=\sum_{i=m+1}^{n}\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}

其中 $i$ 表示傳送過程中發生位元錯誤的次數。

由於 BSC 具有對稱性，不論原始位元為 $0$ 或 $1$ ，條件錯誤機率相同，因此平均錯誤機率也等於上述錯誤機率。

（一） $n=3$ 時的錯誤發生情形

此時 $n=3=2(1)+1$ ，多數決需要至少 $2$ 個錯誤位元。

以原始位元為 $0$ 為例：

錯誤次數	接收型態	解碼結果
$0$ 次	$000$	正確判定為 $0$
$1$ 次	$100,010,001$	仍判定為 $0$
$2$ 次	$110,101,011$	錯誤判定為 $1$
$3$ 次	$111$	錯誤判定為 $1$

因此， $n=3$ 時：

發生 $0$ 次錯誤：正確解碼；
發生 $1$ 次錯誤：由多數決更正，仍可正確解碼；
發生 $2$ 次或 $3$ 次錯誤：錯誤位元占多數，導致解碼錯誤。

若原始位元為 $1$ ，情形完全對稱：收到至少兩個 $0$ 時，才會錯誤解碼為 $0$ 。

（二） $n=3$ 的平均錯誤機率

$n=3$ 時，錯誤必須發生至少 $2$ 次，因此：

P_e = \binom{3}{2}p^2(1-p) + \binom{3}{3}p^3

P_e = 3p^2(1-p)+p^3

化簡得：

P_e=3p^2-3p^3+p^3

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頻率位置	頻譜成分
$f=0$	直流脈衝 $\dfrac{a_2A_c^2}{2}\delta(f)$
$-2W\leq f\leq 2W$	$a_1M(f)+a_2[M*M](f)$
$f=\pm f_c$	載波脈衝，大小為 $\dfrac{a_1A_c}{2}$
$f_c-W\leq f\leq f_c+W$	右側雙邊帶
$-f_c-W\leq f\leq -f_c+W$	左側雙邊帶
$f=\pm2f_c$	二倍載波脈衝，大小為 $\dfrac{a_2A_c^2}{4}$

114 國安局特考三等電子組(選試英文) 通訊系統考古題詳解

第一題15 分

核心觀念

解題方法

第二題25 分

核心觀念

（一）求平方律偵測器輸出 $v_2(t)$

（二）繪出 $V_2(f)$ 的頻率響應

頻譜位置

第三題10 分

核心觀念

解題方法

第四題20 分

核心觀念

解題方法

第五題15 分

核心觀念

（一）多重路徑通道傳遞函數

（二）三階分接延遲線等化器設計

1. 理想等化器

2. 幾何級數近似

第六題15 分

核心觀念

解題方法

（一） $n=3$ 時的錯誤發生情形

（二） $n=3$ 的平均錯誤機率

其他考古題

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114 國安局特考三等 電子組(選試英文) 通訊系統 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

第 二 題25 分

核心觀念

（一）求平方律偵測器輸出 v2(t)v_2(t)v2​(t)

（二）繪出 V2(f)V_2(f)V2​(f) 的頻率響應

頻譜位置

第 三 題10 分

核心觀念

解題方法

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

第 五 題15 分

核心觀念

（一）多重路徑通道傳遞函數

（二）三階分接延遲線等化器設計

1. 理想等化器

2. 幾何級數近似

第 六 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）n=3n=3n=3 時的錯誤發生情形

（二）n=3n=3n=3 的平均錯誤機率

其他考古題

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（一）求平方律偵測器輸出 $v_2(t)$

（二）繪出 $V_2(f)$ 的頻率響應

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第五題15 分

第六題15 分

（一） $n=3$ 時的錯誤發生情形

（二） $n=3$ 的平均錯誤機率