111 國安局特考三等 電子組(選試英文) 通訊系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查信號傳輸中的功率單位換算與鏈路功率預算：

1. 功率以 dBm 表示時： $P_{\mathrm{dBm}}=10\log_{10}\left(\frac{P}{1\ \mathrm{mW}}\right)$

2. 接收機增益等於輸出功率與輸入功率的 dB 差值： $G_{\mathrm{dB}}=P_{\mathrm{out,dBm}}-P_{\mathrm{in,dBm}}$

3. 光纖鏈路的總損耗為光纖損耗與連接器損耗之和： $L_{\mathrm{total}}=L_{\mathrm{fiber}}+L_{\mathrm{connector}}$

4. 功率預算關係為：

$$P_{\mathrm{received,dBm}} =P_{\mathrm{transmitted,dBm}}-L_{\mathrm{total}}$$

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（一）接收機增益

解題方法

先將輸入功率 $200\ \mathrm{pW}$ 換算成 dBm，再與目標輸出功率 $+3\ \mathrm{dBm}$ 相減。

1. 輸入功率換算為 dBm

$$200\ \mathrm{pW} =200\times 10^{-12}\ \mathrm{W} =2\times10^{-10}\ \mathrm{W}$$

因為 $1\ \mathrm{mW}=10^{-3}\ \mathrm{W}$，所以：

$$P_{\mathrm{in,dBm}} =10\log_{10}\left(\frac{2\times10^{-10}}{10^{-3}}\right)$$ $$=10\log_{10}(2\times10^{-7})$$ $$=10\left(\log_{10}2-7\right)$$ $$\approx 10(0.3010-7) =-66.99\ \mathrm{dBm}$$

2. 計算接收機增益

目標檢測器輸入功率為 $+3\ \mathrm{dBm}$，因此：

$$G_{\mathrm{dB}} =3-(-66.99) =69.99\ \mathrm{dB}$$

故接收機所需增益約為：

$$\boxed{G\approx70\ \mathrm{dB}}$$

解題技巧與常見陷阱

• $200\ \mathrm{pW}$ 是極小功率，換算後約為 $-67\ \mathrm{dBm}$。
• 增益不是 $3\ \mathrm{dB}$，而是「輸出 dBm 減去輸入 dBm」。
• $50\ \Omega$ 在本小題中不影響結果，因為題目已直接給出輸入功率，而非電壓或電流。

核心觀念

本題比較標準雙旁帶全載波振幅調變（AM）、雙旁帶抑制載波（DSB-SC）與單旁帶抑制載波（SSB-SC）的發射功率。

以單音調變訊號為例，標準 AM 波形為

$$s(t)=A_c(1+m\cos\omega_m t)\cos\omega_c t$$

其中：

• $A_c$：載波振幅
• $m$：振幅調變指數
• $\omega_c$：載波角頻率
• $\omega_m$：調變訊號角頻率

載波功率設為 $P_c$。在標準 AM 中：

$$P_{\text{carrier}}=P_c$$

每一個旁帶的功率為

$$P_{\text{one sideband}}=\frac{m^2}{4}P_c$$

因此，雙旁帶總功率為

$$P_{\text{DSB, AM}} =P_c+2\left(\frac{m^2}{4}P_c\right) =P_c\left(1+\frac{m^2}{2}\right)$$

當 $m=1$ 時：

$$P_{\text{DSB, AM}}=P_c\left(1+\frac{1}{2}\right)=1.5P_c$$

這是後續計算的比較基準。

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(一) DSB-SC 可省下的發射功率

解題方法

DSB-SC 只保留上下兩個旁帶，抑制載波成分，因此其發射功率等於兩個旁帶功率總和。

題目給定 $m=1$，每一個旁帶的功率為

$$P_{\text{one sideband}} =\frac{1^2}{4}P_c =\frac{1}{4}P_c$$

上下兩個旁帶的總功率為

$$P_{\text{DSB-SC}} =2\left(\frac{1}{4}P_c\right) =\frac{1}{2}P_c$$

標準 AM 的總發射功率為

$$P_{\text{AM}}=1.5P_c$$

因此省下的功率為

$$\Delta P =P_{\text{AM}}-P_{\text{DSB-SC}} =1.5P_c-0.5P_c =P_c$$

省下百分比為

$$\frac{\Delta P}{P_{\text{AM}}}\times 100\% = \frac{P_c}{1.5P_c}\times100\% = \frac{2}{3}\times100\% \approx66.67\%$$

結論

DSB-SC 相較於標準 AM，可省下

$$\boxed{66.67\%\text{ 的發射功率}}$$

此時 DSB-SC 的發射功率為標準 AM 的

$$\frac{0.5P_c}{1.5P_c}=\frac{1}{3}$$

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(二) SSB-SC 可省下的發射功率

解題方法

SSB-SC 同時抑制載波與其中一個旁帶，只傳送單一旁帶。

在 $m=1$ 時，單一旁帶功率為

$$P_{\text{SSB-SC}} =\frac{1}{4}P_c$$

標準 AM 的總發射功率仍為

$$P_{\text{AM}}=1.5P_c$$

因此省下的功率為

$$\Delta P =P_{\text{AM}}-P_{\text{SSB-SC}} =1.5P_c-0.25P_c =1.25P_c$$

省下百分比為

$$\frac{\Delta P}{P_{\text{AM}}}\times100\% = \frac{1.25P_c}{1.5P_c}\times100\% = \frac{5}{6}\times100\% \approx83.33\%$$

結論

核心觀念

本題考查二位元對稱通道（BSC）的：

1. 全機率定理。
2. 貝氏法則。
3. 通道容量公式。

由圖可知：

$$P(B_1\mid A_0)=P(B_0\mid A_1)=p$$

表示傳輸錯誤的機率為 $p$；因此正確接收的機率為 $1-p$：

$$P(B_0\mid A_0)=P(B_1\mid A_1)=1-p$$

又因為

$$P(A_0)=\alpha,\qquad P(A_1)=1-\alpha$$

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解題方法

（一）計算 $P(B_0)$ 與 $P(B_1)$

依全機率定理：

$$P(B_0)=P(B_0\mid A_0)P(A_0)+P(B_0\mid A_1)P(A_1)$$

代入各項：

$$\begin{aligned} P(B_0) &=(1-p)\alpha+p(1-\alpha)\\ &=\alpha-p\alpha+p-p\alpha\\ &=\alpha+p-2\alpha p\\ &=p+\alpha(1-2p) \end{aligned}$$

因此：

$$\boxed{P(B_0)=\alpha(1-p)+(1-\alpha)p =p+\alpha(1-2p)}$$

同理：

$$P(B_1)=P(B_1\mid A_0)P(A_0)+P(B_1\mid A_1)P(A_1)$$ $$\begin{aligned} P(B_1) &=p\alpha+(1-p)(1-\alpha)\\ &=p\alpha+1-p-\alpha+\alpha p\\ &=1-p-\alpha+2\alpha p\\ &=1-p-\alpha(1-2p) \end{aligned}$$

所以：

$$\boxed{P(B_1)=\alpha p+(1-\alpha)(1-p)}$$

亦可由互補性驗算：

$$P(B_0)+P(B_1)=1$$

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（二）利用貝氏法則計算事後機率

貝氏法則為：

$$P(A_i\mid B_j)=\frac{P(B_j\mid A_i)P(A_i)}{P(B_j)}$$

1. $B_0$ 確實由 $A_0$ 傳送的機率

$$P(A_0\mid B_0) =\frac{P(B_0\mid A_0)P(A_0)}{P(B_0)}$$

代入：

$$\boxed{ P(A_0\mid B_0) =\frac{(1-p)\alpha} {(1-p)\alpha+p(1-\alpha)} }$$

使用前述 $P(B_0)$ 的化簡式，也可寫成：

$$\boxed{ P(A_0\mid B_0) =\frac{\alpha(1-p)} {p+\alpha(1-2p)} }$$

2. $B_1$ 確實由 $A_1$ 傳送的機率

$$P(A_1\mid B_1) =\frac{P(B_1\mid A_1)P(A_1)}{P(B_1)}$$

代入：

核心觀念

本題考查三個傅立葉轉換與匹配濾波器觀念：

1. 調變特性 $v(t)\cos(\omega_ct)\longleftrightarrow \frac{1}{2}\left[V(\omega-\omega_c)+V(\omega+\omega_c)\right]$

2. 匹配濾波器 對於有限時間信號 $s(t)$，最佳脈衝響應為 $h_{\text{opt}}(t)=s(T-t)$

3. 褶積與頻域乘積 $y(t)=s(t)*h_{\text{opt}}(t)$ $Y(\omega)=S(\omega)H_{\text{opt}}(\omega)$

令輸入調變方塊脈衝為

$s(t)=v(t)\cos(\omega_ct)=A\,\operatorname{rect}(t/T)\cos(\omega_ct)$

其時間範圍為 $0\leq t\leq T$。

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（一）調變方塊脈衝之頻譜

已知

$V(\omega)=AT\,\operatorname{sinc}(\omega T)$

因此

$S(\omega)=\frac{1}{2}\left[V(\omega-\omega_c)+V(\omega+\omega_c)\right]$

代入可得

$$S(\omega)=\frac{AT}{2} \left[ \operatorname{sinc}\big((\omega-\omega_c)T\big) + \operatorname{sinc}\big((\omega+\omega_c)T\big) \right]$$

所以頻譜是原本低通 $\operatorname{sinc}$ 頻譜的兩個平移副本：

• 一個頻譜中心位於 $\omega=+\omega_c$；
• 另一個頻譜中心位於 $\omega=-\omega_c$；
• 每個頻譜的峰值為 $AT/2$；
• 每個 $\operatorname{sinc}$ 頻譜的零點間隔為 $2\pi/T$。

示意如下：

 AT/2
 ▲
 │ sinc 頻譜
 ___________│___________
 / \
------/---------------------------\------→ ω
 -ωc +ωc

較完整地表示為：

 以 -ωc 為中心 以 +ωc 為中心
 /\ /\
 / \ / \
------------/----\-----------------------/----\--------→ ω
 -ωc +ωc

兩個頻譜的旁瓣可能重疊，但其中心位置與振幅比例仍由上式決定。

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（二）匹配濾波器最佳脈衝響應

對原始方塊脈衝 $v(t)$，題目已給定

$h_{\text{opt}}(t)=v(T-t)$

對調變信號 $s(t)=v(t)\cos(\omega_ct)$，應將整個調變信號作時間反轉，因此

$$h_{\text{opt}}(t)=s(T-t)$$

故

$$\boxed{ h_{\text{opt}}(t) = v(T-t)\cos\big[\omega_c(T-t)\big] }$$

亦即

$$h_{\text{opt}}(t) = A\,\operatorname{rect}\left(\frac{T-t}{T}\right) \cos\big[\omega_c(T-t)\big]$$

其特性為：

• 時間範圍仍為 $0\leq t\leq T$；
• 包絡線為矩形；
• 載波為 $\cos[\omega_c(T-t)]$；
• 相較於輸入信號，波形在時間軸上反轉。

示意如下：

輸入 s(t)： A cos(ωct)，0≤t≤T

匹配濾波器：
hopt(t)=s(T−t)=A cos[ωc(T−t)]，0≤t≤T

若 $\omega_cT$ 為整數個週期的適當倍數，則可寫成

$$\cos[\omega_c(T-t)] = \cos(\omega_cT-\omega_ct)$$

此波形就是輸入調變脈衝的時間反轉形式。

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（三）匹配濾波器輸出之時域與頻域

1. 時域輸出

輸出為

$$y(t)=s(t)*h_{\text{opt}}(t)$$

因此

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)s(T-t+\tau)\,d\tau$$

這是輸入信號的自相關函數平移，故輸出具有下列特性：

• $0\leq t\leq 2T$ 時輸出不為零；
• 波形以 $t=T$ 為中心對稱；
• 在 $t=T$ 時達到最大值；
• 輸出包絡線大致呈三角形；

核心觀念

本題考查三項重點：

1. 源頭編碼與通道編碼的功能差異。
2. $(7,4)$ 漢明碼與 $(7,3)$ 最大長度序列碼的錯誤控制、擬亂雜訊特性及互為二元碼的關係。
3. 二元循環區塊碼利用產出多項式產生碼字的方法。

以下計算均在二元有限體 $GF(2)$ 中進行，因此係數運算採模 $2$，亦即 $1+1=0$。

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（一）源頭編碼與通道編碼

1. 源頭編碼（source coding）

源頭編碼的主要目的，是去除信息本身的統計冗餘，以減少表示信息所需的位元數，提升資料壓縮效率。

其處理對象是「信息來源」，重點在於：

• 降低平均碼長。
• 提高頻寬或儲存空間使用效率。
• 根據信息的統計特性進行編碼。
• 理想情況下，解碼後應能完全恢復原始資料。

常見應用包括：

• 文字、檔案壓縮。
• 圖像壓縮，如 JPEG。
• 音訊壓縮，如 MP3。
• 影像壓縮，如 MPEG、H.264。

源頭編碼通常不刻意增加錯誤保護能力；若壓縮資料在傳輸中發生錯誤，可能造成解碼結果嚴重失真。

2. 通道編碼（channel coding）

通道編碼的主要目的，是在信息中加入適當的冗餘位元，使接收端能偵測或更正傳輸過程中由雜訊、干擾、衰減所造成的錯誤。

其處理對象是「傳輸通道」，重點在於：

• 增加錯誤偵測能力。
• 增加錯誤更正能力。
• 提升通訊系統的可靠度。
• 以增加頻寬、傳輸時間或資料量為代價，換取較低的錯誤率。

常見應用包括：

• 漢明碼、循環碼、BCH 碼、Reed–Solomon 碼。
• 卷積碼、Turbo 碼、LDPC 碼。
• 無線通訊、衛星通訊、數位廣播、光纖通訊及儲存系統。

3. 兩者比較

項目	源頭編碼	通道編碼
主要目的	去除冗餘、壓縮資料	加入冗餘、保護資料
對象	信息來源	傳輸通道
位元數	通常減少	通常增加
主要改善	頻寬及儲存效率	傳輸可靠度
代表技術	Huffman、Lempel–Ziv、JPEG	漢明碼、BCH、LDPC
使用時機	傳送前先壓縮	壓縮後再加入錯誤控制碼

典型的數位通訊流程為：

$$\text{原始信息} \longrightarrow \text{源頭編碼} \longrightarrow \text{通道編碼} \longrightarrow \text{調變與傳輸}$$

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（二）$(7,4)$ 漢明碼與 $(7,3)$ 最大長度序列碼

1. 基本參數

對於二元線性碼，若碼長為 $n$、信息位元數為 $k$，則碼率為

$$R=\frac{k}{n}.$$

$(7,4)$ 漢明碼具有：

$$n=7,\qquad k=4,\qquad n-k=3.$$

其最小漢明距離為：

$$d_{\min}=3.$$

$(7,3)$ 最大長度序列碼又稱 simplex code，具有：

$$n=7,\qquad k=3,$$

其最小漢明距離為：

$$d_{\min}=4.$$

兩者維度相加為：

$$4+3=7=n,$$

因此可形成互為二元對偶碼（dual code）的關係。

2. 對偶碼的意義

若 $C$ 為 $(7,4)$ 漢明碼，則其對偶碼 $C^\perp$ 為 $(7,3)$ simplex code。對偶碼中的每一個碼字，都與原碼 $C$ 中的每一個碼字正交：

$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\pmod 2.$$

在矩陣表示上，若 $G$ 是漢明碼的生成矩陣，$H$ 是其同位檢查矩陣，則：

$$G H^T=0.$$

漢明碼的同位檢查矩陣可視為 $(7,3)$ simplex code 的生成矩陣，因此兩個碼族在代數結構上互相對偶。

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3. 漢明碼的錯誤控制特性

$(7,4)$ 漢明碼的最小距離為 $3$，因此可：

• 更正最多 $1$ 個位元錯誤。
• 偵測最多 $2$ 個位元錯誤。

更正能力為：

$$t=\left\lfloor\frac{d_{\min}-1}{2}\right\rfloor =\left\lfloor\frac{3-1}{2}\right\rfloor =1.$$

偵測能力為：

$$d_{\min}-1=2.$$

其碼率為：

$$R_H=\frac{4}{7}.$$

漢明碼的特色是以少量檢查位元取得單一錯誤更正能力，適合使用於：

• 數位資料傳輸。
• 記憶體錯誤更正。
• 電腦及通訊系統中的單一位元錯誤控制。
• 錯誤型態以單一錯誤為主的系統。

漢明碼的核心工具是 syndrome。接收向量 $\mathbf{r}$ 經同位檢查矩陣 $H$ 計算：

$$\mathbf{s}=\mathbf{r}H^T.$$

當 $\mathbf{s}\neq 0$ 時，可由 syndrome 判斷單一錯誤所在位置。

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4. 最大長度序列碼的特性

$(7,3)$ 最大長度序列碼是由長度為 $7$ 的 M-sequence 所形成。對於 $k=3$ 的線性回授移位暫存器，最大序列長度為：

$$N=2^k-1=2^3-1=7.$$