115 年國安局特考三等電子組(選試英文) 考古題與詳解

Question 1

某具有載波頻率（carrier frequency）$1100\ \mathrm{kHz}$ 的調幅（AM）電壓訊號 $s(t)$，其複數封包（complex envelope）為 $$ g(t)=500\sqrt{2}[1+\sin(2200\pi t)]。 $$ (一) 請求出此訊號的電壓頻譜（voltage spectrum）$S(f)$。（3 分） (二) 請求出此訊息 $m(t)$ 的功率頻譜密度（power spectrum density，PSD）$Pm(f)$。（3 分） (三) 請求出此複數封包 $g(t)$ 的功率頻譜密度（PSD）$Pg(f)$。（3 分） (四) 請求出此調幅電壓訊號 $s(t)$ 的功率頻譜密度（PSD）$Ps(f)$。（3 分） (五) 倘若此調幅電壓訊號出現橫跨於 $50\ \Omega$ 的負載，請求出其平均功率（average power）。（4 分） (六) 倘若此調幅電壓訊號出現橫跨於 $50\ \Omega$ 的負載，請求出其尖峰封包功率（peak envelope power，PEP）。（4 分）

Accepted Answer

核心觀念 採用標準調幅訊號表示式 $$ s(t)=\operatorname{Re}\{g(t)e^{j2\pi fct}\} $$ 其中 $$ fc=1100\ 	ext{kHz}=1.1	imes10^6\ 	ext{Hz} $$ 且 $$ g(t)=500\sqrt{2}[1+\sin(2200\pi t)]. $$ 因為 $$ 2200\pi=2\pi(1100), $$ 所以訊息頻率為 $$ fm=1100\ 	ext{Hz}=1.1\ 	ext{kHz}. $$ 令 $$ A=500\sqrt{2}, \qquad A^2=500000. $$ 由複數封包可知 $$ m(t)=\sin(2\pi fmt)=\sin(2200\pi t). $$ --- （一）電壓頻譜 $S(f)$ 解題方法 先將調幅訊號展開： $$ s(t)=A[1+\sin(2\pi fmt)]\cos(2\pi fct). $$ 利用 $$ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)ight], $$ 得到 $$ s(t) = A\cos(2\pi fct) + \frac{A}{2}\sin[2\pi(fc+fm)t] - \frac{A}{2}\sin[2\pi(fc-fm)t]. $$ 因此，訊號包含： - 載波：$fc=1100\ 	ext{kHz}$ - 上側帶：$fc+fm=1101.1\ 	ext{kHz}$ - 下側帶：$fc-fm=1098.9\ 	ext{kHz}$ 利用 $$ \mathcal{F}\{\cos(2\pi f0t)\} = \frac{1}{2}[\delta(f-f0)+\delta(f+f0)] $$ 以及 $$ \mathcal{F}\{\sin(2\pi f0t)\} = \frac{1}{2j}[\delta(f-f0)-\delta(f+f0)], $$ 可得 $$ \begin{aligned} S(f) ={}& \frac{A}{2} \left[ \delta(f-fc)+\delta(f+fc) ight] \ &+\frac{A}{4j} \Big[ \delta(f-fc-fm) -\delta(f-fc+fm) \ &\qquad\quad +\delta(f+fc-fm) -\delta(f+fc+fm) \Big]. \end{aligned} $$ 代入數值： $$ \boxed{ \begin{aligned} S(f) ={}&250\sqrt{2} \left[ \delta(f-1.1	imes10^6) +\delta(f+1.1	imes10^6) \…

Question 2

某迴旋碼（convolutional code）的產生器序列（generator sequences）是

g^{(0)}=(0111)，\qquad g^{(1)}=(1110)。

(一) 繪出此迴旋碼之編碼器（encoder）。（6 分）

(二) 判斷此迴旋碼是否為災難性碼（catastrophic code）。（8 分）

(三) 請繪出此迴旋碼之狀態圖（state diagram）。（6 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三項迴旋碼基本能力： 1. 由產生器序列建立編碼器。 2. 以產生多項式的最大公因式判斷是否為災難性碼。 3. 由記憶單元內容建立狀態圖。 採用二元域 $GF(2)$ 運算，因此加法皆為模 2 加法，也就是 XOR： $$ 1+1=0,\qquad 1+0=1. $$ 將輸入序列記為 $ut$，並令編碼器具有三個延遲單元，狀態定義為 $$ St=(u{t-1},u{t-2},u{t-3}). $$ 產生器序列採「左端為目前輸入」的慣例，因此 $$ g^{(0)}=(0,1,1,1),\qquad g^{(1)}=(1,1,1,0). $$ --- （一）編碼器 1. 輸出方程式 由 $g^{(0)}=(0111)$ 可知，第一個輸出不取目前輸入，而取前三個延遲輸入： $$ vt^{(0)} =0ut+u{t-1}+u{t-2}+u{t-3}. $$ 因此 $$ vt^{(0)}=u{t-1}\oplus u{t-2}\oplus u{t-3}. $$ 由 $g^{(1)}=(1110)$ 可知，第二個輸出取目前輸入及前兩個延遲輸入： $$ vt^{(1)} =ut+u{t-1}+u{t-2}+0u{t-3}, $$ 因此 $$ vt^{(1)}=ut\oplus u{t-1}\oplus u{t-2}. $$ 暫存器更新方式為 $$ S{t+1}=(ut,u{t-1},u{t-2}). $$ 2. 編碼器結構 編碼器包含： - 三個串接的延遲單元 $D$； - 第一個 XOR 加法器接收 $u{t-1},u{t-2},u{t-3}$； - 第二個 XOR 加法器接收 $ut,u{t-1},u{t-2}$。 可用下列結構表示： 因此編碼器輸出為 $$ \boxed{ \begin{aligned} vt^{(0)}&=u{t-1}\oplus u{t-2}\oplus u{t-3},\ vt^{(1)}&=ut\oplus u{t-1}\oplus u{t-2}. \end{aligned}} $$ --- （二）是否為災難性碼 1. 產生多項式 將產生器序列轉為 $D$ 的多項式： $$ g^{(0)}(D)=D+D^2+D^3, $$ $$ g^{(1)}(D)=1+D+D^2. $$ 將第一式因式分解： $$ g^{(0)}(D)=D(1+D+D^2). $$ 因此兩個產生多項式為 $$ g^{(0)}(D)=D(1+D+D^2), \qquad g^{(1)}(D)=1+D+D^2. $$ 其最大公因式為 $$ \gcd\left(g^{(0)}(D),g^{(1)}(D)ight) =1+D+D^2. $$ 此最大公因式不是單項式 $D^k$，而是具有非平凡因子。因此此迴旋碼為災難性碼。 $$ \boxed{	ext{此迴旋…

Question 3

某離散通道的輸入 $X\in\{0,1,2\}$，與輸出 $Y\in\{0,1,2\}$。其傳輸矩陣（transition matrix）為 $$ \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}。 $$ 每小題 10 分，共 20 分。 (一) 請求出此離散通道的容量（channel capacity）。 (二) 請求出可達成上述離散通道容量時的輸入機率。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查離散無記憶通道的通道容量定義： $$ C=\max{PX} I(X;Y), $$ 其中互資訊為 $$ I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X). $$ 通道矩陣的第 $i$ 列代表在輸入 $X=i$ 時的輸出條件機率分布： $$ P{Y|X}= \begin{bmatrix} \frac23&\frac13&0\ 0&1&0\ 0&\frac13&\frac23 \end{bmatrix}. $$ 令輸入機率為 $$ P(X=0)=p0,\qquad P(X=1)=p1,\qquad P(X=2)=p2, $$ 且 $$ p0+p1+p2=1. $$ --- 解題方法 一、計算條件熵 $H(Y|X)$ 當 $X=0$ 或 $X=2$ 時，輸出分布皆為 $(2/3,1/3)$ 的排列，因此其熵相同： $$ h\left(\frac13ight) =-\frac23\log2\frac23-\frac13\log2\frac13. $$ 又因為 $$ h\left(\frac13ight)=\log2 3-\frac23, $$ 故 $$ H(Y|X) =(p0+p2)h\left(\frac13ight). $$ 輸入 $X=1$ 時，輸出必為 $Y=1$，因此該列熵為 $0$。 --- 二、利用通道對稱性設定輸入機率 輸入 $X=0$ 與 $X=2$ 的通道列互為對稱形式，因此最佳輸入分布必滿足 $$ p0=p2=a. $$ 令 $$ p0=p2=a,\qquad p1=1-2a. $$ 此時輸出機率為 $$ \begin{aligned} P(Y=0)&=\frac23a,\ P(Y=1)&=\frac13a+(1-2a)+\frac13a=1-\frac43a,\ P(Y=2)&=\frac23a. \end{aligned} $$ 因此 $$ PY=\left(\frac{2a}{3},\,1-\frac{4a}{3},\,\frac{2a}{3}ight). $$ 互資訊為 $$ I(X;Y)=H(Y)-2a\,h\left(\frac13ight). $$ --- 三、對互資訊微分求最大值 令 $$ t=\frac{2a}{3}, $$ 則 $$ PY=(t,1-2t,t), $$ 且 $$ 2a=3t. $$ 因此 $$ I(t)=H(t,1-2t,t)-3t\,h\left(\frac13ight). $$ 對 $t$ 微分並令其等於零： $$ \frac{dI}{dt} =2\log2\frac{1-2t}{t} -3h\left(\frac13ight)=0. $$ 故 $$ \log2\frac{1-2t}{t} =\frac32h\left(\frac13ight). $$ 由 $$…

Question 4

你決定與狡猾的洪小謙丟銅板博弈。若是出現正面，你贏壹佰元；若是出現反面，洪小謙贏壹佰元。由於洪小謙惡名昭彰，因此你懷疑銅板出現反面的機率 $p$ 並非公平的 $\frac{1}{2}$ 。你有四次丟擲銅板的機會來判斷此銅板是否公正。

(一) 你懷疑銅板出現反面的機率 $p=\frac{3}{4}$ 。請透過估測理論（detection theory）非欺騙與欺騙兩個假說（hypotheses）的 $H_0$ 與 $H_1$ ，判斷此銅板是否公正。（14 分）

(二) 使用你的決策規則，請計算出你決策的錯誤機率。（6 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查二元假說檢定（binary hypothesis testing）與最大概似／貝氏決策法則。

令 $X$ 表示四次丟擲中出現反面的次數，則：

$H_0$ ：非欺騙，銅板公平， $p=P(\text{反面})=\frac12$ 。
$H_1$ ：欺騙，反面機率為 $p=\frac34$ 。

在未特別給定先驗機率與損失成本時，採用最常見的假設：

P(H_0)=P(H_1)=\frac12

且判斷錯誤兩種錯誤的損失相同。因此可使用等先驗、等成本的最大概似決策法則。

解題方法

一、建立概似函數

四次丟擲中出現 $x$ 次反面的機率服從二項分布：

P(X=x|H_i)=\binom{4}{x}p_i^x(1-p_i)^{4-x}

在 $H_0$ 下， $p_0=\frac12$ ：

P(X=x|H_0) =\binom{4}{x}\left(\frac12\right)^x \left(\frac12\right)^{4-x} =\binom{4}{x}\frac1{16}

在 $H_1$ 下， $p_1=\frac34$ ：

P(X=x|H_1) =\binom{4}{x} \left(\frac34\right)^x \left(\frac14\right)^{4-x}

二、建立概似比

定義概似比：

\Lambda(x)=\frac{P(X=x|H_1)}{P(X=x|H_0)}

代入兩個假說的機率：

\begin{aligned} \Lambda(x) &= \frac{ \binom{4}{x} \left(\frac34\right)^x \left(\frac14\right)^{4-x} }{ \binom{4}{x} \left(\frac12\right)^4 }\\ &= \frac{3^x}{16} \end{aligned}

在等先驗、等成本條件下，決策門檻為 $1$ ：

\Lambda(x) \mathop{\gtreqless}_{H_0}^{H_1}1

因此：

\frac{3^x}{16} \mathop{\gtreqless}_{H_0}^{H_1}1

亦即：

3^x\mathop{\gtreqless}_{H_0}^{H_1}16

因為：

3^2=9<16,\qquad 3^3=27>16

所以決策規則為：

\boxed{ \begin{cases} X\leq 2，&\text{判定 }H_0\text{，認為銅板公平}\\ X\geq 3，&\text{判定 }H_1\text{，認為銅板遭到欺騙} \end{cases} }

（一）判斷銅板是否公正

將四次丟擲的結果依反面次數分類：

反面次數 $X$	概似比 $\Lambda(x)=\frac{3^x}{16}$	決策
$0$	$\frac1{16}$	判定 $H_0$
$1$	$\frac3{16}$	判定 $H_0$
$2$	$\frac9{16}$	判定 $H_0$
$3$	$\frac{27}{16}$	判定 $H_1$
$4$	$\frac{81}{16}$	判定 $H_1$

因此：

反面出現 $0、1、2$ 次：判定銅板公平。
反面出現 $3、4$ 次：判定洪小謙欺騙，銅板較可能為反面機率 $\frac34$ 的不公平銅板。

（二）決策錯誤機率

此決策規則有兩種錯誤：

Question 5

具有 $10\ \mathrm{dB}$ 的雜訊指數（noise figure）、 $80\ \mathrm{dB}$ 的增益（gain）與 $6\ \mathrm{MHz}$ 的頻寬之某接收器前端（receiver front end）。此接收器前端有天線接收到輸入訊號功率為

S_i=10^{-11}\ \mathrm{W}，

且有前偵測輸出（pre-detection output），如圖所示。假設傳輸線無損耗，且天線溫度為 $150\ \mathrm{K}$ 。

圖示資訊：

Receiver front end：
- $F=10\ \mathrm{dB}$
- $G=80\ \mathrm{dB}$
- $W=6\ \mathrm{MHz}$
Predetection output
Assume no line loss

(一) 請計算接收器前端溫度 $T_R^\circ$ 。（4 分）

(二) 請計算整個系統溫度 $T_S^\circ$ 。（4 分）

(三) 請計算輸出雜訊功率 $N_{\mathrm{out}}$ 。（4 分）

(四) 請計算輸入訊雜比 $(\mathrm{SNR})_{\mathrm{in}}$ 。（4 分）

(五) 請計算輸出訊雜比 $(\mathrm{SNR})_{\mathrm{out}}$ 。（4 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查接收器的雜訊指數、等效雜訊溫度、系統雜訊溫度，以及輸入與輸出訊雜比之計算。

採用標準參考溫度

T_0=290\ \mathrm{K}

雜訊指數與等效雜訊溫度的關係為

F=10^{NF/10}

T_R^\circ=(F-1)T_0

系統溫度為天線溫度與接收器等效雜訊溫度之和：

T_S^\circ=T_A^\circ+T_R^\circ

輸入端等效雜訊功率為

N_{\mathrm{in}}=kT_S^\circ W

輸出雜訊功率為

N_{\mathrm{out}}=kT_S^\circ WG

其中 $k=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ 。

解題方法與計算

已知：

NF=10\ \mathrm{dB},\qquad G_{\mathrm{dB}}=80\ \mathrm{dB}

W=6\ \mathrm{MHz}=6\times10^6\ \mathrm{Hz}

S_i=10^{-11}\ \mathrm{W},\qquad T_A^\circ=150\ \mathrm{K}

（一）接收器前端溫度 $T_R^\circ$

先將雜訊指數由分貝值換成線性值：

F=10^{10/10}=10

因此接收器等效雜訊溫度為

T_R^\circ=(F-1)T_0

T_R^\circ=(10-1)(290) =2610\ \mathrm{K}

（二）整個系統溫度 $T_S^\circ$

因為題目指定傳輸線無損耗，所以不需另外加入傳輸線的雜訊溫度：

T_S^\circ=T_A^\circ+T_R^\circ

T_S^\circ=150+2610 =2760\ \mathrm{K}

（三）輸出雜訊功率 $N_{\mathrm{out}}$

先將增益換成線性值：

G=10^{80/10}=10^8

輸出雜訊功率為

N_{\mathrm{out}}=kT_S^\circ WG

代入數值：

N_{\mathrm{out}} =(1.38\times10^{-23})(2760)(6\times10^6)(10^8)

\boxed{N_{\mathrm{out}}\approx2.28\times10^{-5}\ \mathrm{W}}

（四）輸入訊雜比 $(\mathrm{SNR})_{\mathrm{in}}$

輸入端總雜訊功率為

N_{\mathrm{in}}=kT_S^\circ W

N_{\mathrm{in}} =(1.38\times10^{-23})(2760)(6\times10^6) \approx2.28\times10^{-13}\ \mathrm{W}

因此

115 國安局特考三等電子組(選試英文) 通訊系統考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

（一）電壓頻譜 $S(f)$

解題方法

（二）訊息 $m(t)$ 的功率頻譜密度 $P_m(f)$

（三）複數封包 $g(t)$ 的功率頻譜密度 $P_g(f)$

第二題20 分

核心觀念

（一）編碼器

1. 輸出方程式

2. 編碼器結構

（二）是否為災難性碼

1. 產生多項式

2. 直接驗證

第三題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算條件熵 $H(Y|X)$

二、利用通道對稱性設定輸入機率

三、對互資訊微分求最大值

第四題20 分

核心觀念

解題方法

一、建立概似函數

二、建立概似比

（一）判斷銅板是否公正

（二）決策錯誤機率

第五題20 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）接收器前端溫度 $T_R^\circ$

（二）整個系統溫度 $T_S^\circ$

（三）輸出雜訊功率 $N_{\mathrm{out}}$

（四）輸入訊雜比 $(\mathrm{SNR})_{\mathrm{in}}$

其他考古題

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115 國安局特考三等 電子組(選試英文) 通訊系統 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

（一）電壓頻譜 S(f)S(f)S(f)

解題方法

（二）訊息 m(t)m(t)m(t) 的功率頻譜密度 Pm(f)P_m(f)Pm​(f)

（三）複數封包 g(t)g(t)g(t) 的功率頻譜密度 Pg(f)P_g(f)Pg​(f)

第 二 題20 分

核心觀念

（一）編碼器

1. 輸出方程式

2. 編碼器結構

（二）是否為災難性碼

1. 產生多項式

2. 直接驗證

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

一、計算條件熵 H(Y∣X)H(Y|X)H(Y∣X)

二、利用通道對稱性設定輸入機率

三、對互資訊微分求最大值

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

一、建立概似函數

二、建立概似比

（一）判斷銅板是否公正

（二）決策錯誤機率

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）接收器前端溫度 TR∘T_R^\circTR∘​

（二）整個系統溫度 TS∘T_S^\circTS∘​

（三）輸出雜訊功率 NoutN_{\mathrm{out}}Nout​

（四）輸入訊雜比 (SNR)in(\mathrm{SNR})_{\mathrm{in}}(SNR)in​

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115 國安局特考三等電子組(選試英文) 通訊系統考古題詳解

第一題20 分

（一）電壓頻譜 $S(f)$

（二）訊息 $m(t)$ 的功率頻譜密度 $P_m(f)$

（三）複數封包 $g(t)$ 的功率頻譜密度 $P_g(f)$

第二題20 分

第三題20 分

一、計算條件熵 $H(Y|X)$

第四題20 分

第五題20 分

（一）接收器前端溫度 $T_R^\circ$

（二）整個系統溫度 $T_S^\circ$

（三）輸出雜訊功率 $N_{\mathrm{out}}$

（四）輸入訊雜比 $(\mathrm{SNR})_{\mathrm{in}}$