107 國安局特考三等 電子組(選試英文) 通訊系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量線性非時變（LTI）系統的兩大核心特性：BIBO 穩定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability） 與 因果性（Causality）。

1. BIBO 穩定性之充要條件： 連續時間 LTI 系統為 BIBO 穩定的充要條件是其脈衝響應 $h(t)$ 必須絕對可積分（absolutely integrable）：

從拉氏轉換（Laplace Transform）與頻域角度來看，因果 LTI 系統為 BIBO 穩定的充要條件為其轉移函數 $H(s)$ 的所有極點（poles）皆落在 $s$ 平面的左半平面（Left-Half Plane, LHP），且其收斂區間（ROC）包含虛軸（$j\omega$ 軸）。

2. 因果性之充要條件： 系統在某一時刻的輸出僅取決於當前與過去的輸入，與未來的輸入無關。對於 LTI 系統，其充要條件為系統在負時間沒有脈衝響應，即：

解題方法

(一) 穩定性分析

時域推導（定義法）：

根據 BIBO 穩定性的定義，檢驗 $h(t)$ 之絕對積分值：

由於單位步階函數 $u(t)$ 在 $t < 0$ 時為 $0$、在 $t \ge 0$ 時為 $1$，積分範圍縮減為 $[0, \infty)$：

對於任意實數 $t$，餘弦函數之振幅滿足 $|\cos(10\pi t)| \le 1$。利用比較審斂法將被積函數進行上界放大：

計算該指數積分：

由此可得：

核心觀念

本題主要測驗通訊系統中兩種最基礎的多工技術（Multiplexing）及其搭配調變後的「理論最小傳輸頻寬」計算：

1. 分頻多工（FDM）搭配單邊帶調變（SSB）：

• 單邊帶調變（SSB）頻寬：基頻訊號頻寬為 $W$ 時，SSB 調變僅保留上邊帶（USB）或下邊帶（LSB），因此已調變訊號的頻寬與基頻訊號頻寬相同，即 $B_{\mathrm{SSB}} = W$。
• FDM 最小頻寬：將多個訊號在頻域上分別調變至不重疊的載波頻率。在不計防護頻帶（Guard Band）的理論極限下，總頻寬為各訊號頻寬之和： $B_{\mathrm{FDM}} = N \times B_{\mathrm{SSB}}$

2. 分時多工（TDM）搭配脈波振幅調變（PAM）：

• 奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）：為避免頻譜混疊（Aliasing），頻寬為 $W$ 的低通訊號，其最低取樣頻率（Nyquist Rate）為： $f_s = 2W$
• TDM 總脈波傳輸率（Aggregate Pulse Rate）：將 $N$ 組訊號之抽樣值在時間軸上交錯排列，每秒產生的總脈波數（符元率）為： $R_s = N \times f_s$
• 基頻 PAM 奈奎斯特最小頻寬準則（Nyquist Criterion for Zero ISI）：根據奈奎斯特第一準則，在無符元間干擾（Zero ISI）的要求下，傳輸脈波率為 $R_s$ 的基頻系統，採用理想 Sinc 脈波時之理論最小傳輸頻寬為： $B_{\min} = \frac{R_s}{2}$

解題方法

已知條件：

• 訊號組數：$N = 12$
• 每組訊號頻寬：$W = 20\ \mathrm{kHz}$

(一) 分頻多工（FDM）／單邊帶調變（SSB）之最小頻寬

1. 單一訊號調變頻寬： 單邊帶調變（SSB）僅傳送單一邊帶，其佔用頻寬等於原基頻訊號頻寬： $B_{\mathrm{SSB}} = W = 20\ \mathrm{kHz}$

2. FDM 理論最小傳輸頻寬： 題目要求計算「最小頻寬」，故考慮防護頻帶為零的理想狀況，將 12 組訊號在頻域緊密排列： $B_{\min} = N \times B_{\mathrm{SSB}} = 12 \times 20\ \mathrm{kHz} = 240\ \mathrm{kHz}$

核心觀念

本題評量窄頻數位通訊系統中，二維正交調變（如 QAM、QPSK）之**符號錯誤率（Symbol Error Rate, SER）**與一維分量（同相分量 $I$ 與正交分量 $Q$）錯誤率之間的機率關聯。核心知識點涵蓋：

1. 窄頻帶系統的正交分解與統計獨立性： 在加性高斯白雜訊（AWGN）通道中，窄頻雜訊可分解為同相雜訊 $n_I(t)$ 與正交雜訊 $n_Q(t)$。因兩者載波正交且為零均值高斯程序，在同相與正交基底上的投影不相關（Uncorrelated）；在高斯分佈下，不相關即等同於統計獨立（Statistically Independent）。
2. 符號正確接收與錯誤事件的互補性： 整體二維符號被正確解調的充要條件為「同相通道與正交通道皆被正確判決」。
3. 機率論之餘事件原理與排容原理（Inclusion-Exclusion Principle）：

• 餘事件法：$P(\text{錯誤}) = 1 - P(\text{正確})$
• 聯集法：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

解題方法

步驟一：建立通道模型與確立統計獨立性

設傳送之窄頻帶帶通訊號為： $s(t) = s_I(t)\cos(2\pi f_c t) - s_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 接收端於 AWGN 通道下接收訊號 $r(t) = s(t) + n(t)$，其中雜訊分解為： $n(t) = n_I(t)\cos(2\pi f_c t) - n_Q(t)\sin(2\pi f_c t)$ 經相干解調（Coherent Demodulation）後，同相分支與正交分支之檢波輸出分別僅受 $n_I(t)$ 與 $n_Q(t)$ 影響。

由於 $n(t)$ 為零均值白高斯雜訊，其同相與正交分量 $n_I(t)$ 與 $n_Q(t)$ 互為獨立的高斯隨機程序。若傳送端同相與正交資料符號亦互相獨立（如常見之矩形星座圖 QAM），則同相通道判決事件與正交通道判決事件具備統計獨立性。

步驟二：定義事件

定義以下隨機事件：

• $E_I$：同相通道（I-channel）判決錯誤之事件，其機率 $P(E_I) = P_{eI}$。
• $C_I$：同相通道判決正確之事件，其機率 $P(C_I) = 1 - P_{eI}$。
• $E_Q$：正交通道（Q-channel）判決錯誤之事件，其機率 $P(E_Q) = P_{eQ}$。
• $C_Q$：正交通道判決正確之事件，其機率 $P(C_Q) = 1 - P_{eQ}$。
• $E$：整個二維系統之符號判決錯誤事件，其平均符號錯誤機率為 $P_e$。
• $C$：整個二維系統之符號判決正確事件，其機率為 $P_c$。

步驟三：數學推導（兩種標準證法）

【證法一：利用餘事件與正確接收機率（最簡潔且不易出錯）】

一個二維符號只有在同相與正交兩通道同時判決正確時，整體符號才算接收正確，即： $C = C_I \cap C_Q$

核心觀念

1. 卷積編碼器基本參數：

• 編碼率（Code Rate, $R$）：定義為 $R = k/n$。本題 $R = 1$ 表示每輸入 $k = 1$ 個位元，編碼器即產生 $n = 1$ 個輸出位元。
• 額定長度／約束長度（Constraint Length, $K$）：$K = 2$ 代表輸出位元由當前輸入位元與過去 $K - 1 = 1$ 個歷史位元共同決定，故系統內部具備 $m = K - 1 = 1$ 個記憶元件（即單一正反器 Flip-flop）。

2. 電路架構與生成多項式：

• 本電路為標準前饋型（Feedforward）有限脈衝響應卷積編碼器。
• 電路包含一個輸入端（Input）、一個正反器（儲存狀態 $s[n] = x[n-1]$）及一個模二加法器（Modulo-2 adder，即互斥或閘 $\text{XOR}$，符號為 $\oplus$）。
• 其系統轉移關係以生成多項式表示為： $G(D) = 1 + D$
• 時域布林輸入輸出方程式為： $y[n] = x[n] \oplus s[n]$ 其中 $x[n]$ 為時刻 $n$ 的輸入位元，$s[n]$ 為當前正反器所存之狀態數值，$y[n]$ 為輸出位元。

3. 狀態轉移特性：

• 正反器作為移位暫存器（Shift Register）之單元，在當前時脈週期輸出目前所儲存的數值 $s[n]$ 供模二加法計算，並於時脈觸發邊緣將當前輸入位元寫入，形成下一狀態： $s[n+1] = x[n]$

解題方法

(一) 正反器數值為 0、輸入為 1 時之輸出

1. 已知條件：

• 當前正反器數值 $s[n] = 0$。
• 當前輸入位元 $x[n] = 1$。

2. 推導計算： 依據編碼器輸出方程式進行模二加法運算： $y[n] = x[n] \oplus s[n] = 1 \oplus 0 = 1$
3. 結果：此時編碼器之輸出為 $1$（且下一狀態更新為 $s[n+1] = 1$）。

(二) 正反器數值為 1、輸入為 0 時之輸出

1. 已知條件：

• 當前正反器數值 $s[n] = 1$。
• 當前輸入位元 $x[n] = 0$。

2. 推導計算： 依據編碼器輸出方程式進行模二加法運算： $y[n] = x[n] \oplus s[n] = 0 \oplus 1 = 1$
3. 結果：此時編碼器之輸出為 $1$（且下一狀態更新為 $s[n+1] = 0$）。

(三) 初始值為 0，輸入訊息序列 10111 之輸出序列

1. 已知條件：

• 初始狀態：$s[0] = 0$。
• 輸入訊息序列：$X = (x[0], x[1], x[2], x[3], x[4]) = (1, 0, 1, 1, 1)$。

2. 各時脈週期狀態轉移與輸出逐步推導：

• $n = 0$：
• 輸入 $x[0] = 1$，現態 $s[0] = 0$。
• 輸出 $y[0] = x[0] \oplus s[0] = 1 \oplus 0 = 1$。
• 次態 $s[1] = x[0] = 1$。
• $n = 1$：
• 輸入 $x[1] = 0$，現態 $s[1] = 1$。
• 輸出 $y[1] = x[1] \oplus s[1] = 0 \oplus 1 = 1$。
• 次態 $s[2] = x[1] = 0$。
• $n = 2$：
• 輸入 $x[2] = 1$，現態 $s[2] = 0$。
• 輸出 $y[2] = x[2] \oplus s[2] = 1 \oplus 0 = 1$。
• 次態 $s[3] = x[2] = 1$。
• $n = 3$：

核心觀念

1. 循環冗餘檢查（Cyclic Redundancy Check, CRC）： CRC 為通訊系統與資料鏈結層常用的線性區塊錯誤偵測碼（Linear Block Code），其運算基礎建立在伽羅瓦域 $\text{GF}(2)$ 的多項式代數與**模二算術（Modulo-2 Arithmetic）**之上。模二加法與減法皆等價於「互斥或」（$\text{XOR}$，符號以 $\oplus$ 表示）。

2. 生成多項式與檢查碼長度：

• 設待傳送之訊息長度為 $k$ 位元，對應訊息多項式為 $D(x)$。
• 生成多項式 $G(x)$ 的最高次數（階數，Degree）為 $r$，其二進位係數表示法長度為 $r+1$ 位元。
• 編碼時產生的檢查碼（Frame Check Sequence, FCS / 冗餘位元）長度固定為 $r$ 位元。

3. 系統碼（Systematic Code）編碼原理：

• 將訊息多項式乘上 $x^r$，即 $x^r D(x)$（等同於在原字元串後方補上 $r$ 個 $0$）。
• 以生成多項式 $G(x)$ 作為除式，進行模二除法： $x^r D(x) = Q(x) G(x) \oplus R(x)$ 其中 $Q(x)$ 為商數多項式，$R(x)$ 為餘數多項式（餘數次數必小於 $r$）。
• 最終傳送的碼字（Codeword）多項式為： $T(x) = x^r D(x) \oplus R(x)$ 對應之字元串即為將原訊息 $D$ 與長度為 $r$ 位元的餘數 $R$ 直接串接（$T = D \parallel R$）。

解題方法

步驟一：分析生成多項式與除數

給定生成多項式： $G(x) = x^4 + x + 1 = 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0$

• 最高次方階數 $r = 4$，代表產生的 CRC 檢查碼長度為 $4$ 位元。
• 對應之模二除數二進位表示為：10011（長度為 $r+1=5$ 位元）。

步驟二：訊息字元串補零擴展

待傳送訊息字元串為： $D = 1101011011 \quad (k = 10 \text{ 位元})$ 在訊息後方補上 $r = 4$ 個 $0$，得到被除數： $11010110110000 \quad (14 \text{ 位元})$

步驟三：進行模二長除法（Modulo-2 Division）

模二除法中，不進行借位或進位，每一輪除法運算皆使用 $\text{XOR}$：

• 若當前被除數最高位元為 $1$，商數對應位元記為 $1$，與除數 10011 做 $\text{XOR}$。
• 若當前被除數最高位元為 $0$，商數對應位元記為 $0$，直接移至下一位元。

直式長除法詳細過程如下：

 1100010100 (商數)
 -------------------
 10011 ) 11010110110000
 ^ 10011
 -----
 10011
 ^ 10011
 -----
 0000110110000
 10110
 ^ 10011
 -----
 010100
 ^ 10011
 -----
 01110 (最終 4 位元餘數)

分步拆解核算：

1. 取前 5 位 11010，與 10011 作 $\text{XOR}$ 得 01001。
2. 落下下一位 1，得 10011；與 10011 作 $\text{XOR}$ 得 00000。
3. 依序落下後續位元，直至位元串最高位為 $1$ 且足夠長度（5 位元）：